标题: 笛卡儿积，直和和张量积，以及对直积的争议
作者: blackhole
2007年的某天，我在繁星客栈上看到直积和直和在有限维是一回事的评论，我立刻陷入巨大的疑惑和震惊之中。这种疑惑象一块巨石，压得我透不过气来。为了解惑，我必须使出浑身解数来换得内心的安宁。
一、追本溯源
集合的笛卡儿积（也称为集合的直积），简单的说，就是从两个集合中各拿出一个元素，构成有序组。所有这样的有序组就组成两个集合的笛卡儿积。集合A和B的笛卡儿积表示为A×B，它也是一个集合。其中的元素表示为(a,b)，其中a∈A, b∈B。之所以使用“积”这个字，一个简单的理由是，如果两个集合都是有限集，那么其笛卡儿积的元素数目是两集合元素数目之积。
现在有两个有限维线性空间V,W，其数域同为F。（若不相同，则需一个是另一个的子集，此时取此子集为F。）考虑二者的笛卡儿积V×W。它现在还只能是个集合，其中尚未引入代数结构。这可以有两种方案。
方案一：
定义V×W中任意两元素的和为
(v1,w1)+(v2,w2)=(v1+v2,w1+w2)。 （1）
定义F中的元素λ与V×W中元素的数乘为
λ(v,w)=( λv, λw)。 （2）
这样，集合V×W就构成了域F上的线性空间。此即线性空间V和W的直和，记为V○+W。忽略V○+W中的代数结构，可以认为V×W=V○+W，即二者的元素完全一样。
设V中的基矢为ev_i(i=1,...,n)，W中的基矢为ew_i(i=1,...,m)，则线性空间V○+W中元素的一般表达式为（Σx_i ev_i, Σy_i ew_i）。其独立变量x_i, y_i的个数为n+m（每个都从域F中取值），故此直和空间的维数维n+m。
方案二：
首先将集合V×W中的部分元素等同起来：
(λv, w)= (v, λw)。 （3）
然后对部分元素定义二元运算——和：
(v1,w)+(v2,w)=(v1+v2,w), （4）
(v,w1)+(v,w2)=(v,w1+w2)。 （5）
又定义数乘：
λ(v,w)=( λv, w) =( v, λw)。 （6）
显然，对于V×W中两元素，(v1,w1)+(v2,w2)当且仅当v1, v2线性相关或w1,w2线性相关时才∈V×W。如果不是这样，则它们的和是没有定义的；或者可以认定它们的和有意义，只是(v1,w1)+(v2, w2)\∈V×W（\∈表示“不属于”）。由于我们需要的是线性空间，故此时显然需将集合V×W的范围扩大以包含这种新的元素。
具体的操作如下：（感谢青松的精炼总结）
1. 让V×W中的元素进行各种有限线性组合（加法和数乘），命L(V×W)为所有这种组合构成的集合。它显然构成线性空间。可以认为V×W是L(V×W)的生成元。
2. 在L(V×W)中利用关系（4）－（6）对各元素进行归并（等同），去掉冗余矢量。
3. L(V×W)在进行这种化简后仍然构成线性空间，此即空间V，W的张量积，记为V○×W。
此张量积空间中的任意矢量皆可表示为Σa_(ij) (ev_i,ew_j)，有nm个独立变量，故此空间的维数为mn。
从较高级的语言来说，这里所谓的归并就是在L(V×W)中建立等价关系，其得到的陪集的集合构成线性空间，称为商空间。它就是V○×W。
几点说明。先令V×W/U表示V×W在元素归并后的集合（本质上这是商的表示，此处不谈，仅用其符号）。
1、V○×W中的元素分为两类：处于集合V×W/U中的和处于V×W/U外的。前者对应于非纠缠态（或矢量分析中的并矢），后者对应于纠缠态。
2、在任何维数情况下，V×W/U< V×W，即笛卡儿积中总会有冗余。
3、在大多数情况（m,n>1）下，V○×W> V×W/U，即在张量积中有“纠缠态”。
4、在大多数情况（mn>m+n）下，dim(V○×W)>dim( V○+W)。此结论几乎就是同义反复。此外的情况是1*n<1+n和2*2=2+2。
对于维数中有一个为1(1*n<1+n)的情形，此两空间的笛卡儿积一定有冗余，例如 (2,(1,3))=(1,(2,6)) （设n=2）。此外，此集合中的所有元素进行任意有限线性组合时，所得到的元素在归并后都处于此集合之中。用物理的语言说，由于有一个空间是一维的，故不可能构成“纠缠态”。此时dim(V○×W)<dim( V○+W)。
对于维数2*2=2+2的特例，可以这样形象解释。首先笛卡儿积中的冗余会减少一些元素。而此集合中的所有元素进行加法和数乘时，又会得到非此集合之中的元素（纠缠态）。一减一增，刚好达到平衡：dim(V○×W)=dim( V○+W)。
下面就两个两维空间取张量积的过程举几个例子。
因冗余而减少的元素有：((4,8),(1,5))= ((2,4),(2,10))= ((1,2),(4,20))= ((4/3,8/3),(3,15))= …
因得到“纠缠态”而增加的元素有：((1,2),(3,4))+ ((1.2,2),(3.1,4))。
此外值得一提的是四个“Bell基”：((1,0),(1,0))± ((0,1), (0,1))，((1,0),(0, 1))± ((0,1), (1,0))。
作为对有序对的强调，对于直和而言的一个例子是，平面上（1，2）和（2，1）不是同一个点。对于张量积的一个例子是，e_x e_y≠e_y e_x.
又：如果是两个线性空间还是内积空间，那么要想是其直和和张量积也成为内积空间，需在第一种和第二种方案中分别添加对内积的定义：
(v1,w1)•(v2,w2)= v1•v2+ w1•w2 (7)
(v1,w1)•(v2,w2)= (v1•v2)(w1•w2)。 （8）
当然此时的内积都从域F中取值。
总之，线性空间的直和和张量积都来自于集合的笛卡儿积这个原始概念。而它们之间的区别，首先在于对此笛卡儿积赋予不同的代数结构。对直和而言，在忽略代数结构的前提下可认为直和＝笛卡儿积；而且对张量积而言，一方面它比笛卡儿积大（多数情况），另一方面笛卡儿积中的元素有冗余。
二、争论的根源和现状
以上意见应该是大家都能接受的，其中刻意回避了“直积”一词。就直积而引起的争论，在本质上不是来自于客观的学理，而是来自于主观的习惯或定义。这一方面简化了问题：不用争论太多了；另一方面又使问题复杂化：既然不是客观学理，就不会有唯一结论。
争论的现状是存在两种相反的观点：
A．直积＝直和，为数学家所偏好；
B．直积＝张量积，为物理学家所偏好。
观点A的理由是：
根据前面的分析，在忽略代数结构的前提下可认为直和＝笛卡儿积，而集合的笛卡儿积又称为直积，故线性空间的直和＝直积。这符合通常的学术称谓原则，比较“庙堂”。（真的非常符合吗？见下。）
还有一点需说明。虽然数学家和物理学家都同意把第一种方案的结果称为直“和”，但他们其实是出于不同的原因。弄清楚各自的原因，也许有助于双方理解对方。
对数学家而言，本没有“和”，只有所谓的二元运算（或操作）：一集合中两元素经过二元运算后还是此集合中的元素。那么总要给它一个名称。用什么名字呢？现成的有“和”跟“积”。这里数学家偷了个懒，直接采用“积”或“乘法”来命名一般的二元运算。（其实个人感觉，如果发明一个新的词来指称一般二元运算，可能以后的名称系统要清晰些。）有一种特殊的“积”，它跟两元素的顺序无关，即Abel情况，而两个数的通常的和也跟顺序无关，于是就这么牵强地把这种特殊的“积”叫做“和”。（其实通常的积也跟顺序无关啊。Hehe。）而线性空间正是这种情况，所以其中的二元运算又称为“和”（原本作为一般二元运算而言应该叫“积”的）。于是，本来两线性空间的笛卡儿积加上第一种代数结构方案后该称为“直积”（这个“积”字的使用不是来自于指称二元运算，而是来自于指称集合关系的笛卡儿积的“积”）的，但由于是Abel情况，故又称为“直和”。（线性空间是一种特殊的模，而模必须是Abel的，所以直和可以一般地对模有定义。）
物理学家的想法就简单多了：基矢不就是两空间的基矢放在一块吗？维数不就两维数之和吗？ 这不就是“直接加”起来吗？所以就叫“直和”了。
观点B的理由是：
1、让直和、直积（＝张量积）并举在形式上很完美，很对称，如各自的维数分别为m+n和mn，体现了“和”跟“积”。
2、就张量积在物理（如量子力学）中的应用来说，称为直积在语义上非常自然：两无关粒子体系的波函数或有几个无关自由度的粒子的波函数不就是把各自的波函数“直接乘”起来吗？
3、对于矩阵，大家都同意直积＝张量积＝kronecker积吧？这自然而然会诱导出，对于矢量和容纳矢量的线性空间都有直积＝张量积＝kronecker积。
这种理由也很强，但比较“江湖”。本人天生就是B派中人，所以可以理解我刚看到另一个派观点时的震惊。
而且从前面的学理分析中还可以得到弱化A派观点的天然性的理由：直和和张量积不都是笛卡儿积（直积）的儿子吗？都是试图加上某种代数结构而已。一个是一加就加上了，得到直和；一个是一加才发现比较麻烦，七弄八弄弄出了张量积。直和长得漂亮，而张量积长得丑陋，皇上的别名就只能继承给直和啊。（这里当“泛性”之类的东东不存在。）
总之，双方理由都很充分。为尽量维持和平，我建议B派对于A派言论“R与R^2的直积是R^3”可以采用进一步解释的方式来减少对抗情绪：先把“直积”区分为集合意义下的直积（≡笛卡儿积≈直和）和线性空间意义下的直积（＝张量积），然后视此言论为“R与R^2取集合意义下的直积时得到R^3”而同意之。
前面说了，现在的争论不是学理上的，所以只有靠实力来解决了。下面例举分别支持两位太子的势力。
1、数学著作持观点A：
太多了，只简单列出两个网页：
http://en.wikipedia.org/wiki/Direct_product#Direct_product_of_modules
http://mathworld.wolfram.com/DirectProduct.html
（注：该页中有一句：the direct product of two vector spaces of dimensions m and n is a vector space of dimension mn. 此处mn应为m+n之误。刚看到时可把我乐坏了。）
2、物理著作持观点B：
太多了，只列几个：
Principles of Quantum Mechanics, R. Shankar
Quantum Theory: Concepts and Methods, Asher Peres
高等量子力学，喀兴林
引人注目的是双方的叛徒，因为这属于少数。
3、数学著作持（或相当于持）观点B：
a、Concise Encyclopedia of Mathematics CD-ROM中，其Tensor Product词条就直接指向Direct Product (Tensor)词条（此条的内容主要涉及广义相对论中的张量）。
b、Lectures on Matrices, J. H. M. Wedderburn, 1934, p. 151, 里面谈到了两个结合代数的直和和直积，其各自的定义直接对应于前面的方案一和二。
c、《抽象代数学》卷2（线性代数部分）（中译本），第七章，向量空间的积。其线条是：直积→Kronecker积→张量空间。
d、《环与代数》（著者不祥）p. 22，在谈论两个代数的内张量积时，括号内注明：或直积，或Kronecker积。
（后三者已打包发至stars_forum1@yahoo.com，信名为direct product.rar by blackhole。）
4、物理著作持（或相当于持）观点A：
（暂缺。）
这就是两个太子争夺皇上别名继承权的故事。作为B派中人，我很高兴地发现A派有叛徒，而本派没有发现。
三、本文的写作目的兼摘要
1、追究两个太子跟皇上到底有多密切的关系。
2、告诉B派A派意见的合理性：直和是长得最帅的，而且A派是直通皇上的。
3、告诉A派B派意见的合理性：张量积也有继承权，且继承之后事情在表面上会变得很简单。
（本文的基金支持为母亲做的饭。）
参考文献：
A派的总纲领见本站
http://www.changhai.org/forum/collection_article_load.php?aid=1166728646
下面是A派的聚会：
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1166719955
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1165561971
本派的发言此前很少，就在第三帖中找吧。
本次双方的大讨论见
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185529999
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185551167
http://www.changhai.org/forum/article_load.php?fid=5&aid=1185619476