来自人人上王怡的日志 鄙人稍作修改

2013.8.23 张益唐先生报告之证明概要


23号下午张益唐先生受邀到校做了名为《Bounded gaps between primes and relevant problems》的报告，对他证明“存在无穷多对间隔小于7000万的素数”的思路做了大概讲述。我有幸前去听了这场报告。这篇日志里写的东西，有些我是懂的，有些不明所以，但我都尽量写清楚了，也做了一点补充。
关于张益唐先生及间隔有限的素数对的介绍，请见季理真教授的《素数不再孤单——孪生素数和一个执着的数学家张益唐的传奇》。

关于肖boss的发言以及一些美的体会请见陈张弛gg日志《【整理】素数不孤单——张益唐素数结论之肖杰表述》。
（张益唐先生说，由于在场有不少本科生，还有大一的同学，所以他不能讲得过于专业化。数论很有意思，其中很多问题，就连小学生都知道是什么，但它们的证明非常困难。另外，他建议我们有问题要经常思考，即便有些问题不一定能想出来，但要保持这个状态。）
下面开始。
1.人们（例如Goldstone, Pintz, Yildirim）在研究孪生素数猜想时已用了这样的概念：设一个有限非负整数集

称是"可允许的”,如果对任意素数p，存在正整数n，使得p与)互素。（这样的会有比较好的性质）
例如，{2,3}不是可允许的，因为对p=2不满足；{0,2,4}不是可允许的，因为对p=3不满足；但{0,2},{0,2,6}都是可允许的。
2.1920年左右Hardy和Littlewood提出了这样的猜想：对于一串可允许的，存在无穷多个n使得都是素数，而孪生素数猜想正是这个猜想的特殊情况。

3.张益唐证明了如下定理：
设是可允许的，且若其个数kge 3.5times 10^6,那么存在无穷个n使得中至少有两个素数。
注：由这个定理就可以推出

也即存在无穷多对素数，其差小于7000万（有限！）。 推导过程我放在后面的“补充”里。

4.怎么切入3中定理呢？

张益唐采用解析数论的办法。解析数论通常会处理有限和，其侧重点是怎么算这个和。有时候会用一些定义在自然数集上的“算术函数”(arithmetic function)。例如设



对于这样的函数，一种最自然的想法就是求和。例如如上的函数求和就有


其中pi(x)是小于等于x的素数个数。

5.为什么要研究这样f(n)的和呢？因为我们想让一个“可允许”的几何中的素数个数大于1，也就是 对于无穷个n成立，这样就能间接地说明mathcal{H}这个集合中有两个素数了，因为f(n+h_k)只能为整数。但是这样简洁明了的方法行不通，我们只好退而求其次。引入一个“权”函数φ(x)。

我们令

。并来研究 S_2/S_1 的大小。比如我们就令φ(n)equiv 1,那么如果我们证明出来 S_2>S_1成立，利用鸽笼原理，立刻就能得到存在一个n使得，也就是存在一个n,让n+mathcal{H}这个集合中有两个素数。
不过直接研究对于似乎不是一个好方法，因为说不定存在的那个n一直是个很小的数，所以有时候会利用进行求和。比如我们还是令

这时候我们令

那么如果,就会有 对于某个n成立，这样同样可以看出，存在i,j使得f(n+h_i)与f(n+h_j)都是大于0。我们如下的结果都是要证明后面这样一个。

但是这些尝试的结果都不尽如人意。有人令φ(n)=n,n^2,n^3,但是都没有什么出众的结果。这个问题有很长的历史，在其中做出开拓性贡献的是Selberg。

6.既然这样一个φ(n)的权我们设为正的(如果是负的话，这些不等式估计就毫无意义了)，那么我们就可以引入一个函数λ(n),使得φ(n)=λ(n)^2，现在问题就转变为寻找一个λ(n)，让它能导出证明。

而从数论中筛法的角度,Goldston,Pintz,Yildirim三人引入一个这样的λ(n),即

其中P(n)就是我们前面提到过的P(n)，D=x^{ε},0<ε<1/2,而μ(n)为Möbius函数 ，新的常数l与k有关(论文中张选取了l=180)。

从Hardy、Littlewood到 Goldston、Pintz、Yildirim，80年来才找到这个比较有用的形式。

7.计算两个和，即

大致的计算结果是，其中O(mathcal{E})是误差项。

Goldston等人得出了这样的结果:即在(上述常数D中用到的)ε<frac{1}{4}时，为负数，显然不能满足要求，但如果,虽然,但是这两者相减的误差项却很难估计。所以他们三人就止步于此了。

8.张益唐的想法是对lambda(n)进行一些调整，在式子



中，有些d对λ(n)的贡献其实很小，所以很小的应该和很大的区分开来。考虑使 μ(d)!=0的数d，比如如果它有>x^{1/10}的因子，那么实际上它对整个序列的和的贡献（即对λ(n)的贡献）是很小的。我们可以把所有含有因子大于x的某个幂次的数“筛”掉，余下来的就是贡献比较大的数了（也许你会问，没筛掉不是会更大吗？实际上，没筛掉的话会对整个和每一项的估计都变少，从而影响整个数列的和）。

张益唐选取的是,也就是D=x^{frac{1}{4}+ϖ},而且拥有大于x^ϖ的素因子的数将会被“筛”掉。

（张益唐这时提到了杨振宁先生说过的关于治学的话：“宁拙毋巧，宁朴勿华。”开始研究的时候宁愿“笨拙”一点，Goldston等人在计算中采用了比较漂亮的办法，而张益唐用了一些比较原始的办法，算出了同样的结果，同时有了更细致的观察）

所以如上的λ也就变成了


9.而最关键的东西来了！现在对应的误差项是可以估计出来的！假如d满足（其中epsilon是一个很小的正常数）,我们可以看出来它的素因子相当小，但是d又很大，所以它素因子个数很多。

我们再给定一个正常数R<d,对于d = p_1cdots p_b,则存在a使得r= p_1cdots p_a < R,且p_1cdots p_{a+1} > R。这就给了d一个分解，即分解为d=rq,其中r=p_1cdots p_a有

所以误差项原来是,而现在有不等式估计



10.接下来用到解析数论中另外一些典型的办法，例如一些组合技巧，素数的数论函数和分解。又牵涉到一些新的参数，最后用到代数几何中的一些深刻结果。总共把误差项分为三类估计，前两类用到了Weil’s bound for Kloosterman sums，第三类用到了更深刻的由Deligne证明的Weil猜想。
（兜了不少圈子，最终证出来后，张益唐发现一些辛苦证明的结果可以从已知的Heath-Brown恒等式推出来。可是一开始宁朴勿华吧，不要想着做得多现成多漂亮，宁愿回到最原始的出发点上去，硬算一遍，以便看出很多东西。误差的第三类估计，原先也是差一点点而过不去的，但适当用了d=rq的分解后，就解决了。这是他最满意的一点。如果读他的paper，建议看第5页，上面把他的idea解释了。他个人认为解析数论仍然很有前途。）

11.陶哲轩在他的博客上发布了一个PolyMath的项目(可见http://michaelnielsen.org/polymath1/index.php?title=Bounded_gaps_between_primes) 用张益唐的新方法对Bombieri-Friedlander-Iwaniec在1986年提出的猜想(似乎是对{n+H1,n+H2,⋯n+Hm}为连续的素数，Hm−H1的大小最小为多少进行的猜测)进行了检验，其中有的结果假设了Elliott-Halberstam猜想和Deligne定理.不过结果是喜人的。成果可以看一下链接中，这里没法打表格，我就不费心拷贝了。

补充

（1）利用3中定理

设是可允许的，且若其个数,那么存在无穷个n使得n+h_1,n+h_2cdots n+h_k中至少有两个素数。

可以证得

推导入下：

如果mathcal{H}={q_1,q_2cdots q_k}是k个素数构成的集合，而且每个素数都比k来的大，那么mathcal{H}就是可允许的，这是因为不在mathcal{H}的素数，显然没法构成完全剩余系，而在mathcal{H}中的素数，mathcal{H}元素个数又比它来的少。

素数有无穷多个，因此可以让kge 3.5times 10^6,由3中定理可知，存在无穷多个n使得n+q_1,n+q_2cdots n+q_k中至少有两个素数。从而就有|n+q_i-n+q_j|=|q_i-q_j|<infty即证明了其有有界的间隔。

而回忆pi(x)的定义：

pi(x)是小于等于x的素数个数。

计算机计算有



从而可以在[3.5times 10^6,7times 10^7]之间选择kge 3.5times 10^6个素数出来，其间隔自然小于7000万了

PS：标题打错了，应该是“张益唐关于素数间隔有限的陈述”，ctrl v的时候弄错了，请问还能够改过来吗？
PSS：来自我的博客的改编
http://www.cnblogs.com/misaka01034/p/ZhangProof.html
谢谢！（没内力了，我遁）