宇宙中有一只装了水的桶，此外宇宙空无一物。水和桶相对静止。
情况1：桶静止，水面平静
情况2：桶旋转，水面下凹

牛顿认为情况1和情况2都可以出现。
马赫认为情况2是不可能的，因为运动是相对的，只有相对于宇宙其他物质旋转，水面才会下凹。

相对论在这一点上是支持牛顿的吧
问题是，桶相对于什么东西在旋转？绝对空间？

情况1：桶静止，水面平静
情况2：桶旋转，水面下凹
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我帮快刀兄修改一下描述：
假定整个宇宙中，只存在装满水的水桶，假设存在以下两种情况：
情况1：桶与桶内的水相对静止，且都不旋转，此时水面是平的，平静的。
情况2：桶与桶内的水相对静止，且一起旋转（即二者旋转的角速度相同），此时水面却是下凹的。

问题：既然桶与桶内的水都是相对静止的，为何出现以上两种不同的情形。如果你辩论说，那是因为第二种情形下，水桶与其中的水一起旋转，但是旋转是相对的，由于整个宇宙中，只存在装满水的水桶，那么这个旋转运动到底是相对谁在运动？马赫根据这个问题给出了“马赫原理”（马赫猜想）。

与第一种情形不同的是，第二种情形下，沿径向不同半径处的水之间，存在相对的加速度，这是学过物理的人都会想到的

我读大一的时候思考过这个问题，我想不借助加速度的概念来分析问题，当时的想法是，“相对静止”的概念，应该是线速度相等，而不是角速度等，不同半径处的水，沿切向的线速度是不相等的。我把此想法写给刘辽教授请教，他回信了，但只是给我提供几个参考文献。

::沿径向不同半径处的水之间，存在相对的加速度
::“相对静止”的概念，应该是线速度相等，而不是角速度等，不同半径处的水，沿切向的线速度是不相等的

没有参照系，显然无法确定水的速度。
如果能确定不同半径的水存在着相对速度，即相对运动，也能表明第二种情况和第一种不同。但有什么办法确定它们存在着相对运动呢？
对于加速度也一样，怎样判断它们是否存着相对加速度

快刀兄说的是，我忘了本问题的前提：宇宙中没有其他任何物体，没有其他任何参照系。我提到“线速度不同”等等，其实是从除了水桶和水之外的第三者的角度上来说的。另一方面，定义加速度，首先需要速度概念。

即便空无一物，时空流形也具有几何结构，而水桶里的水的每一个微团在该流形上的世界线如果不是流形上的测地线，就会受到惯性力。跟坐标系的选取毫无关系。

GR中时空整体确实是绝对的。但物理上一般不能说绝对空间，为了强调时间跟空间的差异习惯说绝对时空。数学上全都叫空间倒是无所谓的。

to Fantadox:

此时如何定义“惯性力”呢？


关于这个问题的物理答案，搞物理的一般都知道。
我想楼主开设此楼，目的可能是假设让大家回到马赫的那个时代，通过哲学思辨或者理想实验的办法，如果理解这一问题。毕竟这一问题在当年引起爱因斯坦的巨大兴趣。

惯性力显然在物体随动参考系中就可以固有地定义。

不受除引力之外的力，物体沿测地线运动，惯性力为0。如果受除引力之外的力，物体偏离测地线运动，惯性力跟物体所受的非引力的合力大小相等方向相反。比方说你站在地上，地面给你的支撑力就是你站在地面上受到的惯性力。

GR中显然时空是一个物理的参与者。如果物体在时空中的世界线不是测地线，就等于在时空背景中加速运动。马赫的想法其实比牛顿更对，唯一的问题是马赫不知道背景时空也是有物理效应的东西，当然牛顿也不知道。马赫的思想实验只要稍加修改就跟GR相容了：把整个宇宙转起来的时候，别忘了把背景时空也跟着转起来。事实上转动一个桶，本身就相当于桶不动，将整个宇宙的时空流形转了起来，相当于在大转盘参考系中观察一个相对于参考系不动的水桶，在GR中计算桶里的水也会凹陷。

纠正
原文：
地面给你的支撑力就是你站在地面上受到的惯性力。
应改为：
地面给你的支撑力就是你站在地面上受到的惯性力的反作用力。

以前也在站长一篇文章后面留言问过类似的问题，大意就是，当宇宙空无一物的时候，怎么判断一个参考系是不是加速的/有自转的。

我理解的马赫原理，就是说宇宙空无一物，则不光不能区分静止和运动，连加速与非加速，自转与非自转都不能区分。之所以我们能区分加速与非加速，自转与非自转，就是因为宇宙不是空无一物；遥远的物质分布决定了哪些参考系在加速或自转。

当然，在后来的广义相对论中并不是这样，虽然爱因斯坦声称受到马赫的影响。

Fantadox兄讲解得好！

dfj:

我理解的马赫原理，就是说宇宙空无一物，则不光不能区分静止和运动，连加速与非加速，自转与非自转都不能区分。之所以我们能区分加速与非加速，自转与非自转，就是因为宇宙不是空无一物；遥远的物质分布决定了哪些参考系在加速或自转。
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GR里面即便宇宙“空无一物”，时空本身也是有几何结构的物理对象，总是可以判断其中一条线是不是测地线，而这跟参考物的选取没有任何关系。就好像球面上，即便不建立任何参考系，一条球面曲线是不是大圆总是确定的，曲线各点上偏离大圆的程度也总是确定的。任意建立一个参考系，该参考系的坐标线是否构成测地线也是绝对确定的。

对，所以我说“后来的广义相对论中并不是这样，虽然爱因斯坦声称受到马赫的影响”。

但是另一方面，没有办法制造一个空无一物的宇宙，所以空无一物的宇宙中到底怎样，我们不知道。在气球的例子中，即便没有人为坐标，气球的橡胶分子组成天然的坐标架；宇宙中遥远的星系也组成天然的坐标架。问题就是当不存在气球（的橡胶分子）时谈气球的大圆是否还有意义，或者说不存在遥远星系时是否还能区分加速与非加速。

to dfj:
但是另一方面，没有办法制造一个空无一物的宇宙，所以空无一物的宇宙中到底怎样，我们不知道。在气球的例子中，即便没有人为坐标，气球的橡胶分子组成天然的坐标架；宇宙中遥远的星系也组成天然的坐标架。问题就是当不存在气球（的橡胶分子）时谈气球的大圆是否还有意义，或者说不存在遥远星系时是否还能区分加速与非加速。
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没有办法“制造”任何一个宇宙，GR里面不管宇宙怎么制造，空无一物的宇宙在GR里面可以存在，就是只有引力波的宇宙，静态的情况就是平直的Minkowski时空。

关于球面，我说的是纯粹的几何面，没说橡胶气球。一根曲线是不是测地线跟这个曲面是什么东西组成的没有任何关系。没有参考物顶多你不能不能谈论速度加速度的具体数值，但世界线的测地曲率本身是绝对的，跟有没有参考物能不能给出具体的数值没有任何关系。

你说的这些当然是对的，但在我看来跟这个主题无关。你的回答相当于针对广义相对论(的数学模型)的答疑。
我理解的主题是假定广义相对论还没被提出，或者广义相对论不完全正确，在此基础上看有什么逻辑可能性。

“没有参考物顶多你不能谈论速度加速度的具体数值，但世界线的测地曲率本身是绝对的”
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你这里就是假定了广义相对论的世界模型，时空像个软橡皮泥（爱因斯坦说的，大意）。
而我所理解的主题，就是要质疑这个软橡皮泥世界模型。

如果没有遥远的物质分布作为这个软橡皮泥的框架，你凭什么说你算出的测地曲率是正确的？为什么我不能随意规定一个曲率分布？为什么我不能规定宇宙在相对你采用的那个参考系做奇怪的加速运动的参考系才是均匀各向同性的？在没有参照物的情况下，如何判断哪种规定是正确的？

我们相信现有的RW度规描述了宇宙的几何，那是因为有观测证据支持，而这些观测对象就是遥远的物质分布。这些物质分布本身也组成了独一无二的坐标架。那如果根本不存在遥远的物质分布呢？

回到主贴的问题，那就是，在不存在遥远物质分布的情况下，你怎么从物理上/可操作的意义上区分一个完全静止的水桶和一个在自转的水桶？主贴的情况2是否会出现？

我个人的回答就是：没办法区分；不知道情况2是否会出现，因为没办法把宇宙物质清空来做这个实验（或者可以利用宇宙自身的膨胀来清空，但这实验的时间尺度就太长了；比如不排除这种可能：在桶的自转角速度不变的情况下，随着宇宙的膨胀，水面的弯曲程度越来越小；据我所知广义相对论里没有这样的效应，但这里的前提是假定广义相对论不全对。）。

to dfj:

如果没有遥远的物质分布作为这个软橡皮泥的框架，你凭什么说你算出的测地曲率是正确的？为什么我不能随意规定一个曲率分布？为什么我不能规定宇宙在相对你采用的那个参考系做奇怪的加速运动的参考系才是均匀各向同性的？在没有参照物的情况下，如何判断哪种规定是正确的？
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参照物只不过是确定坐标的标记点，有没有参照物，时空作为实际的物理对象，具有实实在在的物理性质，时空本身的性质并不依赖与参照物的选择。你可以随时随地去测量：把足够小的探测粒子放进去，在时空的每个局部都能检查其局部曲率，你随意规定的曲率分布能跟这个测量相符么？

请注意，时空的性质并不受探测粒子的影响，你放粒子进去是为了探测时空的物理性质，而不是赋予时空以原本不存在的物理性质。GR中时空本身跟其中的物质分布都是实实在在的物理对象，时空跟物质之间存在相互作用。既然时空本身就是物理对象，谈论一个物理对象的性质凭什么非要引入其他物理对象呢？

我当然明白你的想法是什么意思，不过你的想法跟这种想法完全类似：如果人类不存在，整个世界都没有意义了，因为没有观察者，谈什么曲率什么物质都是空话。进一步这个想法还可以推广，如果我不存在，那么整个世界就都没意义了，因为无论这个世界上发生了什么，连我都不存在了我又如何才能知道呢？我认为这是一种非常奇怪的思路，你研究一个物理对象，当然会涉及到你的参与方式，但你不能因此认为这个物理对象离开你的参与连物理性质都消失不见了。

如果GR没有被提出，或者GR不正确，也不能离开物理现实凭空思考这个世界有什么样的可能，否则任何事情都可能发生，世界的物理规律可以是任何一个数学模型所描述的。经验科学如果不考虑经验证据的限制，结果就是这样，什么都可以，于是就变成了纯数学，跟现实无关。

Mach对Newton的质疑，起源于这样一件事：在牛顿理论中，时空跟物质毫无相互作用，只是给物质提供一个运动的场所。这种情况下还要谈论物质是否相对于背景时空运动或加速，就完全没有意义。但Mach并未意识到时空本身可能也是实实在在的物理对象，他也想当然地认为时空就是物质运动的场所，这样一来解决Mach质疑的唯一方法就是一个物体相对于宇宙中其他物体的运动。但实际上解决Mach的质疑还有一条路，就是Einstein发现的道路：时空是实实在在的物理对象，跟物质之间有相互作用。

PS
to dfj：

如果时空只是物质运动的场所，跟物质之间完全没有任何相互作用，那么谈论时空的几何结构也就没任何意义了，这种情况下随便你认为时空是怎么弯曲的，反正都不会影响物质运动，不同的弯曲方式仅仅相当于变换了个坐标系。这种情况下顶多只需要考虑时空的拓扑结构，几何结构是多余的。