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宇宙学常数、超对称及膜宇宙论

- 上篇:宇宙学常数 -

- 卢昌海 -

我们来讲述现代宇宙学中的一个 “新瓶装旧酒” 的小故事。 故事中的 “新瓶” 是因超弦理论而兴起的一种新的宇宙学理论, 称为膜宇宙论 (Brane Cosmology), 只有短短几年的历史, 不可谓不新; 而 “旧酒” 则是与现代宇宙学的第一篇论文同时诞生的宇宙学常数, 已经 “窖藏” 了八十六年 (期间被零星出土过几次), 不可谓不旧。 以前本站介绍的大都是科学界较为主流的观点, 这次的故事却只是一个 "Minority Report"。 但是在这个故事中, 现代物理的几条线索以一种令人赞叹的美丽方式交织在一起, 闪现出了一朵小小的智慧火花。 这朵小小的火花将一闪而逝还是会点燃一片辽阔的夜空, 我们还不得而知。

一. 宇宙学项与宇宙学常数

让我们把时间推回到 1917 年, 那是现代宇宙学诞生的年代, 也是我们那坛 “旧酒” 酿造的年代。 那一年 Einstein 发表了一篇题为 “基于广义相对论的宇宙学考察” 的论文, 研究宇宙的时空结构。 在那篇文章中, Einstein 第一次将广义相对论运用到了宇宙学中, 为现代宇宙学奠定了理论框架。 但是 Einstein 的研究却有一个先天的不足, 那就是观测数据的严重匮乏, 特别是当时距 Hubble 发现宇宙膨胀还差整整十二个年头。 那时大多数天文学家心目中的宇宙在大尺度上是静态的, Einstein 试图构造的也是一个静态的宇宙学模型。

不幸的是, 这样的模型与广义相对论却是不相容的。 这一点从物理上讲很容易理解, 因为普通物质间的引力是一种纯粹的相互吸引, 而在纯粹吸引作用下的物质分布是不可能达到静态平衡的。 为了维护整个宇宙的 “宁静”, Einstein 不得不忍痛对自己心爱的广义相对论场方程作了修改, 增添了一个所谓的 “宇宙学项”:

Gμν = 8πGTμν + Λgμν

式中左边的 Gμν 是 Einstein 张量, 描述时空的几何性质, 右边的 Tμν 是物质场的能量动量张量, 这两项构成了原有的广义相对论场方程。 最后一项 Λgμν 就是宇宙学项, 其中的常数 Λ 被称为宇宙学常数。 如果宇宙学常数为零则场方程重新退化为没有宇宙学项的场方程。

现代宇宙学中通常把宇宙学项并入能量动量张量, 这相当于引进一种能量密度为 ρΛ=Λ/8πG, 压强为 pΛ=-Λ/8πG 的能量动量分布。 这是一种十分奇特的能量动量分布, 因为在广义相对论中, 当能量密度与压强之间满足 ρ+3p<0 时, 能量动量分布所产生的 “引力” 实际上具有排斥的作用。 因此在一个宇宙学常数 Λ>0 的宇宙学模型中存在一种排斥作用。 这种排斥作用与普通物质间的引力相平衡使得 Einstein 成功地构造出了一个静态的宇宙学模型, 其宇宙半径为 R=Λ-1/2。 虽说静态宇宙模型的构造是如愿以偿了, 但 Einstein 对所付出的代价却很耿耿于怀, 他在那年给好友 Ehrenfest 的信中说自己对广义相对论作这样的修改 “有被送进疯人院的危险”。 几年后, 在给 Weyl 的一张明信片中他又写道: “如果宇宙不是准静态的, 那就不需要宇宙学项”。

那么, 我们的宇宙究竟是不是准静态 (大尺度上静态) 的呢?

答案很快就有了。 1929 年 (Einstein 给 Weyl 的明信片发出后的第六个年头), Wilson 观测台的天文学家 Hubble 研究了遥远星系的红移与距离之间的相互关联, 结果发现那些星系正系统性地远离我们而去, 其远离的速率与它们离我们的距离成正比 (比例系数被称为 Hubble 常数), 这便是著名的宇宙膨胀现象, 也称 Hubble 定律。 宇宙膨胀现象的发现表明我们的宇宙在大尺度上不是静态的, 从而 Einstein 引进宇宙学项的原始动机不再成立。 Einstein 兑现了他对 Weyl 说过的话, 于 1931 年发表文章放弃了宇宙学项。 Einstein 的静态宇宙模型虽然被观测否定了, 但在他心中也许不无如获重释的愉悦, 因为他终于可以把宇宙学项从广义相对论中驱逐出去了。

可是天下之事难以尽如人愿, Einstein 虽不想再看到宇宙学项, 但宇宙学项这个潘多拉盒子既已打开, 它的命运就非一人所能主宰, 即便 Einstein 本人也已无法将它彻底关上了。 由于当时对描述宇宙膨胀速率的 Hubble 常数的测定结果所给出的宇宙年龄仅为 20 亿年, 比地球的年龄还小得多, 而宇宙学项的存在可以修正 Hubble 常数与宇宙年龄之间的关系, 因此一些天文学家 - 比如 Lemaître - 仍然坚持引进宇宙学项以解决宇宙年龄问题。 后来宇宙学项还被 Bondi, Hoyle 等人用于构筑目前已被基本放弃的稳恒态宇宙模型 (Steady State Model)。

随着观测精度的改善, 到了二十世纪五十年代, 由 Hubble 常数的测定所给出的宇宙年龄与天体年龄之间的矛盾已大为缓和, 待价而沽的宇宙学项随之急剧贬值。 此后的一段时间内, 宇宙学项如幽灵般游走于观测与理论的边缘, 两者一出现矛盾, 就将之请出 (Λ≠0), 矛盾一消失 (通常由于观测精度的改善), 又将之遗弃 (Λ=0)。 如此招之即来, 挥之即去, 地位甚是 “凄凉”。 宇宙学常数在零与非零之间的这种飘忽不定在很大程度上要归因于宇宙学观测所存在的巨大的误差。 这种误差使得很长一段时间内人们对宇宙学常数的取舍往往只能建立在错误或不充分的依据之上。 但是常言道: 是金子, 总有发光的一天。 宇宙学最近几年的发展又一次将宇宙学项请到了前台, 引用 Gamov 自传 «My World Line» 中的一句旧话来说就是: “Λ 又一次昂起了丑陋的脑袋”。

只不过这一次它的脑袋昂得如此之高, 也许再也没有人能将它按到台下去了。

二. 暗物质

如前所述, 一个非零的宇宙学常数代表了宇宙物质的一种十分奇特的组成部分[注一]。 因此在下面的两部分中我们先来简单回顾一下天文学家们对宇宙物质组成的研究。 我们将会看到, 最新的观测和理论为什么要求宇宙物质中有这样一种奇特的组成部分。

宇宙中最显而易见的组成部分当然是天空中那些晶莹闪烁的星星以及美丽多姿的星云星系等, 在宇宙学上这些被统称为可见物质。 在过去, 人们曾经很自然地把可见物质作为宇宙物质的主要组成部分。 但是到了近代, 尤其是二十世纪八十年代, 这种观点却遭到了来自观测和理论的双重挑战。

在观测上, 人们发现宇宙中的某些运动学现象 - 比如星系旋转速率的分布 - 无法完全用可见物质形成的引力场来解释。 换句话说, 为了解释某些观测现象, 必须假定宇宙中除了可见物质外, 还存在某种不可见的物质, 这种物质被形象地称为暗物质 (Dark Matter)。 定量的研究还表明这些暗物质的存在绝不是点缀性的, 它们对宇宙物质的贡献要比可见物质还大一个数量级左右。

对暗物质的另一类支持来自于对宇宙动力学的理论研究。 现代宇宙学假定宇宙在大尺度上是均匀及各向同性的 (这被称为宇宙学原理), 在这一基本假定下宇宙的几何结构由所谓的 Robertson-Walker 度规描述。 根据宇宙物质密度的不同, 由 Robertson-Walker 度规描述的宇宙有三种基本类型: 如果宇宙中的物质密度大于一个临界密度 ρc (其数值为 3H02/8πG, 其中 H0 为当前的 Hubble 常数 - 在宇宙学中下标 0 通常表示一个量的当前数值), 则宇宙的空间曲率为正, 这样的宇宙是封闭的; 如果宇宙中的物质密度等于临界密度, 则宇宙的空间曲率为零, 这样的宇宙是开放的; 如果宇宙中的物质密度小于临界密度, 则宇宙的空间曲率为负, 这样的宇宙也是开放的。 宇宙学上通常用 Ω 表示宇宙物质密度与临界密度之比, 因此上述三种情形分别对应于 Ω>1、 Ω=1 及 Ω<1。

那么这三种情形究竟哪一种适合于我们的宇宙呢? 这原本是一个应该交由观测来裁决的问题, 但理论学家们研究了一下宇宙的动力学演化, 却发现了一条重要的思路。 理论学家们发现 Ω 满足这样一个关系式 (下标 0 表示当前值):

(Ω - 1)/(Ω0 - 1) = (R/R0)α

其中 R 为描述宇宙线度的物理量, α 是一个取值为正的指数, 其数值取决于宇宙中是幅射还是物质占主导, 如果是幅射占主导 (这是宇宙早期的情形), 则 a=2, 如果是物质占主导 (当前的情形), 则 a=1[注二]。 从这一关系式可以看到, 宇宙尺度越小 Ω 与 1 就越接近。 虽然我们对于 Ω 的了解还很不精确, 但却已经可以确定其当前值 (即 Ω0) 的数量级在 1 附近。 由于今天宇宙的尺度达 1026 米, 由此天文学家推算出在宇宙的极早期 (尺度为 10-35 米 - Planck 长度 - 时) 的 Ω-1 约为 10-60 或更小。 也就是说宇宙极早期的 Ω 约为:

Ω = 1.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000001

虽然谁也不能说大自然就一定不会采用这样一个极度接近于 1 却又偏偏不等于 1 的数值, 但是当一个计算结果出现这样一种数值时, 我们显然有理由要求一个合理的解释。 我们需要有一个理论来解释为什么在我们宇宙的初始条件中会出现一个如此接近于 1 的 Ω, 或者说为什么我们宇宙的初始空间曲率会如此地接近于零 - 这在宇宙学上被称为平直性问题 (Flatness Problem)。 这样的一个理论由 Guth 和 Linde 等人于二十世纪八十年代初所提出, 被称为暴胀宇宙论 (Inflationary Cosmology), 现在已是标准宇宙论的一个重要的组成部分[注三]。 暴胀宇宙论不仅解释了宇宙早期 Ω 与 1 之间异乎寻常的接近, 还进一步预言今天的 Ω (即 Ω0) 也非常接近于 1。 按照前面所说, Ω=1 表明宇宙的物质密度等于临界密度。 因此暴胀宇宙论对 Ω0 的预言也可以表述为目前宇宙的物质密度非常接近于临界密度。 但即使考虑到对宇宙物质密度及临界密度的观测都存在很大的误差, 我们所观测到的可见物质密度也远远达不到临界密度, 两者的差距在一到两个数量级之间。 暗物质很自然地被用来填补这一差距。

因此在二十世纪八十年代左右, 无论是观测还是理论都倾向于认为宇宙的主人不是天空中那些充满诗情画意的星座, 而是一些看不见摸不着的神秘来宾 - 暗物质。 至于暗物质究竟是由什么组成的, 天文学家们众说纷纭。 有人认为是有质量的中微子, 有人认为是目前尚未观测到的超对称粒子, 也有人认为是不发光的普通物质, 甚至可能是大量的黑洞等。 无论具体的猜测是什么, 有一个看法是比较一致的, 那就是暗物质的能量动量性质 (从而其引力效应) 与普通物质是一样的, 这一点在暗物质的探测中扮演着重要的作用。

三. 暗能量

但是随着研究的深入, 人们渐渐发现引进暗物质虽可以解释诸如星系旋转速率分布之类的观测现象, 但种种迹象表明, 尽管暗物质的数量远远多于可见物质, 却仍不足以使宇宙的物质密度达到临界密度。 换句话说如果我们相信暴胀宇宙论的预言, 即宇宙的物质密度非常接近于临界密度 (Ω0≈1) 的话, 那么宇宙中除了可见物质与暗物质外还必须有一些别的东西! 由于对暗物质的探测假定了其能量动量性质与普通物质相同, 因此在这种探测中漏网的 “别的东西” 具有与普通物质不同的能量动量性质。

这种 “别的东西” 存在的另一个理由来自于对宇宙年龄的推算。 由于暗物质与可见物质产生引力的规律相同, 简单的计算表明, 在一个 Ω0=1 的宇宙中若物质全部由可见物质与暗物质构成, 则宇宙年龄与 Hubble 常数的关系为:

t0 = (2/3)H0-1

目前对 Hubble 常数 H0 的最新测量结果是 H0=(0.73±0.05)×100 km·s-1·Mpc-1, 由此推算出的宇宙年龄大约为 90-100 亿年。 这一数字虽比 Hubble 当年 20 亿年的尴尬结果体面一些, 但由于误差之小让人失却了回旋退让的余地, 与天体年龄之间的实际矛盾反而变得更为尖锐了[注四]。 无奈之下天文学家们又想起了 Einstein 窖藏的那坛 “旧酒”。 于是宇宙学的历史又轮回到了二十世纪的上半页, 宇宙学常数被重新请回舞台来解决宇宙年龄问题。 只不过大半个世纪后的今天宇宙学的观测精度已非昔日可比, 因此这次我们不仅把它请了回来, 还可以替它量身裁衣, 让它在台上真正亮丽地登场了。

引进了宇宙学常数后宇宙年龄与 Hubble 常数的关系式被修正为 (假定 Ω=1 且宇宙学常数为正):

t0 = (2/3)H0-1ΩΛ-1/2 ln[(1+ΩΛ1/2)/(1-ΩΛ)1/2)]

其中 ΩΛ 是宇宙学项对 Ω 的贡献 (ΩΛ≡ρΛc=Λ/3H2)。 不难看到, 若 ΩΛ=0 (即没有宇宙学项), 上述公式便退化为 t0=(2/3)H0-1, 而若 ΩΛ 趋于 1 (即宇宙学项是唯一的物质分布), 它所给出的宇宙年龄趋于无穷, 因此这一公式具有拟合任意大于 (2/3)H0-1 的宇宙年龄的能力。

那么宇宙的年龄究竟有多大呢? 对宇宙元素合成及天体年龄等方面的综合研究表明它大约在 130-140 亿年之间, 由此对应的 ΩΛ 大约为 0.7。 ΩΛ≈0.7 这一结果也被其它一些独立的观测研究 - 比如对超新星的观测及对宇宙微波背景幅射的细致研究 - 所证实。 这些高精度的观测与分析同时也对暴胀宇宙论的理论预言 Ω≈1 提供了有力的支持, 目前对 Ω 的最佳观测结果为 Ω=1.02±0.02。

因此从迄今最为精密的观测结果来看, 我们宇宙的真正主人既不是可见物质, 也不是暗物质, 而是沉浮了大半个世纪、 被 Einstein 称为自己一生所犯最大错误[注五]的宇宙学常数。 这真是 “三十年河东, 三十年河西”。 宇宙学常数笑得最晚, 却笑得最为灿烂。 天文学家们把由宇宙学常数描述的能量称为暗能量 (Dark Energy), 如上所述, 它约占目前宇宙能量密度的 70%。

从可见物质到暗物质, 又从暗物质到暗能量, 人类在探索宇宙之路上走出的这一串长长的足印也是现代宇宙学发展的一个缩影。 宇宙学常数及暗能量的存在解释了许多观测现象, 却也提出了一系列棘手的问题: 宇宙学常数的物理起源何在? 它为什么取今天这样的数值? 占目前宇宙密度 70% 的暗能量究竟又是由什么组成的?

关于这些问题, 我们将在本文的 中篇下篇 中加以讨论。

>> 接中篇

注释

  1. 这里及若干类似文句中 “物质” 一词泛指能量动量分布, 读者可以从上下文中分辨其涵意。
  2. 假如幅射和物质都不占主导地位, 或存在其影响不可忽视的宇宙学常数, 则这一简单的指数规律并不成立, 但这并不影响我们用它来对 Ω-1 在宇宙早期的数值做上界估计。
  3. 顺便提一下, 暴胀宇宙论本身与宇宙学常数也大有渊源; 此外, 暴胀宇宙论所能解决的也远不止是平直性问题。 这些留待以后有时间再另文叙述。
  4. 有关这一矛盾, 若干年前我在哥伦比亚大学物理系听一个题为 "The Oldest Stars" 的学术报告时天体物理学家 M. Ruderman 曾有过一个很幽默的表述方式。 他在为报告作序时说最近天文学上的一个很重要的发现是 "the oldest stars are older than the universe" (“最古老的恒星比宇宙更为古老”)。
  5. 这一流传甚广的说法出自 Gamov 自传 《My World Line》 中的回忆, Einstein 本人并未为此留下任何文字记录。

参考文献

  1. E. W. Kolb & M. S. Turner, The Early Universe (Addison-Wesley Publishing Company, 1990).
  2. T. Padmanabhan, Cosmological Constant - the Weight of the Vacuum, Phys. Rept. 380, 235, 2003.
  3. N. Straumann, The History of the Cosmological Constant Problem, gr-qc/0208027.
  4. A. D. Dolgov, Cosmology at the Turn of Centuries, hep-ph/0306200.

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