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Riemann 猜想漫谈 (七)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十. 探求天书

Siegel 是一位非常反战的德国人, 早年曾因拒服兵役而遭到拘压, 幸亏 Landau 的父亲出面帮助才得以重归自由。 他曾计划在柏林学习天文学, 因为天文学是看上去最远离战争的学科。 但是入学那年的天文学课程开得较晚, 为了打发时光, 他去旁听了德国数学家 Ferdinand Georg Frobenius (1849-1917) 的数学课。 这一听很快改变了他的人生轨迹, 使他最终成为了一名数学家。

Siegel 于 1919 年来到 Göttingen, 跟随 Landau 研究数论。 当时 Hilbert 的二十三个数学问题已非常出名, 而 Landau 本人对 Riemann 猜想——即 Hilbert 第八问题的一部分——也颇有研究。 在这种氛围的影响下, Siegel 也开始了对 Riemann 猜想的研究。 他对 Riemann 猜想的一些想法得到了 Hilbert 本人的赏识, 在 Hilbert 的支持下, Siegel 于 1922 年获得了 Frankfurt 大学 (Goethe University Frankfurt) 的教职。

但尽管如此, Siegel 对 Riemann 猜想的研究并没有取得实质性的进展。 正当他为此而苦恼的时候, 一封来自 Bessel-Hagen 的信件寄到了他的案头。 这位 Bessel-Hagen 我们在 上节 中曾经提到过, 他就是那位据传有可能得到过一部分被 Riemann 妻子索回的 Riemann 手稿的数学及数学史学家[注一]。 Bessel-Hagen 当时正在研究 Riemann 的手稿, 但和 Siegel 研究 Riemann 猜想一样苦苦无法取得实质性进展。 由于 Bessel-Hagen 自身的背景侧重于数学史, 对于破解像 Riemann 的手稿那样艰深的东西来说, 这样的背景显然是不够的。 于是他便想到建议数学功底高他几筹的纯数学家来试试, 看他们是否能有所突破。 在 Göttingen 的数学家中对 Riemann 猜想感兴趣的当首推 Hilbert 和 Landau, 但这两位都是大师级的人物, Bessel-Hagen 不敢贸然相扰, 于是他把目光投向了正在研究 Riemann 猜想的只比他大两岁的年轻人 Siegel, 写信建议他来研究 Riemann 的手稿。

对 Siegel 来说 Bessel-Hagen 的建议不失为是一个散心的机会。 另一方面, 如我们在 上节 中所说, 当时数学界对 Riemann 及其猜想的怀疑已开始蔓延, 这种怀疑气氛也影响到了 Göttingen。 Riemann 是不是真的只凭直觉提出他的猜想? Siegel 对此也不无好奇, 有意一探究竟。 于是他写信向 Göttingen 图书馆索来了 Riemann 的手稿。

当那位已被岁月部分地涂抹成只凭直觉研究数学的前辈宗师的手稿终于出现在 Siegel 眼前的时候, 他不由地想起了 Gauss 爱说的一句话: 工匠总是会在建筑完成后把脚手架拆除的。 现在他所看到的正是一位最伟大工匠的脚手架, 任何人只要看上一眼就绝不会再相信那些有关 Riemann 只凭直觉研究数学的传言。 只可惜那些臆想并散布传言的数学家们——包括与 Riemann 的手稿近在咫尺的睿智的 Göttingen 的数学家们——竟然谁也没有费心来看一眼这些凝聚着无比智慧的手稿!

在 Riemann 的手稿中, Siegel 发现了 Riemann 在论文中只字未提的 Riemann ζ 函数的前三个非平凡零点的数值[注二]! 很显然, 这表明 Riemann 的论文背后是有着计算背景的。 Riemann 的这一计算比我们在 第八节 中提到的 Gram 的计算早了四十四年。 这倒也罢了, 因为 Gram 对零点的计算虽比 Riemann 的晚, 精度却比 Riemann 的高得多。 但是 Siegel 对 Riemann 计算零点的方法进行了细致的整理和研究, 结果吃惊地发现 Riemann 所用的方法不仅远远胜过了 Gram 所用的 Euler-Maclaurin 公式, 也远远胜过了 Hardy 和 Littlewood 等人对 Euler-Maclaurin 公式的改进。 一句话, Riemann 用来计算零点的方法远远胜过了数学界当时已知的任何方法。 而这个 “当时” 乃是 1932 年, 距离 Riemann 猜想的提出已有七十三个年头, 距离 Riemann 逝世也已有六十六个年头, Riemann 又一次跨越时间远远地走到了整个数学界的前面。 而且 Riemann 的这一公式是如此的复杂[注三], 有些数学家甚至认为假如不是 Siegel 把它从 Riemann 的手稿中整理出来的话, 也许直到今天, 数学家们都无法独立地发现它。

Siegel 在整理这一公式上的功绩和所付出的辛劳是怎么评价也不过分的, 如我们在 上节 中所说, Riemann 的手稿乃是诸般论题混杂、 满篇公式却几乎没有半点文字说明的手稿。 而且 Riemann 一生最后若干年的生活很不宽裕, 用纸十分节约, 每张稿纸的角角落落都写满了东西, 使得整个手稿更显混乱。 再加上 Riemann 所写的那些东西本身的艰深。 Siegel 能从中整理出如此复杂的公式对数学界实在是功不可没。 为了表达对 Siegel 这一工作的敬意, 数学家们将他从 Riemann 手稿中整理发现的这一公式称为 Riemann-Siegel 公式。 Riemann 若泉下有知, 也当乐见他的这位后辈同胞的名字通过这一公式与自己联系在一起, 因为在这之后, 再也没有人会怀疑他论文背后的运算背景了。

发表于 1932 年的 Riemann-Siegel 公式是 Göttingen 数学辉煌的一抹余辉。 随着纳粹在德国的日益横行, 大批杰出的科学家被迫或主动离开了德国, 曾经是数学圣地的 Göttingen 一步步地走向了衰落。 1933 年, Landau 因其 “ 犹太式的微积分与雅里安 (Aryan) 的思维方式背道而驰” 而被剥夺了授课资格, 离开了他一生挚爱的数学讲堂。 出于对战争的厌恶, Siegel 也于 1940 年离开了德国。 Göttingen 的衰落是德国文化史上最深重的悲剧之一。 在这场悲剧中最痛苦的也许要算是 Hilbert, 他是自 Gauss 和 Riemann 之后 Göttingen 数学传统的灵魂人物, 从某种意义上讲, Göttingen 也是 Hilbert 的灵魂。 他一生为发扬 Göttingen 的数学传统付出了无数的心力, Göttingen 记录了他一生的荣耀与自豪, 而今在他年逾古稀的时候却要残酷地亲眼目睹这一切的辉煌烟消云散。 1943 年, Hilbert 黯然离开了人世, Göttingen 的一个时代走到了终点。

十一. Riemann-Siegel 公式

Riemann-Siegel 公式的推导极其复杂, 不可能在这里加以介绍。 不过为了使读者对 Riemann ζ 函数非平凡零点的计算有一个大致了解, 我们将对计算零点的基本思路作一个简单叙述, 并给出 Riemann-Siegel 公式的表述 (给出这一复杂公式的表述并不是为了显摆, 而是因为我们将在 下一节 中一同来使用这一公式)。

读者们也许还记得, 在 第五节 中我们曾经介绍过 Riemann 所引进的一个辅助函数

ξ(s) = Γ(s/2 + 1) (s - 1) π-s/2 ζ(s)

它的零点与 Riemann ζ 函数的非平凡零点重合。 因此, 我们可以通过对 ξ(s) 零点的计算来确定 Riemann ζ 函数的非平凡零点。 这是计算 Riemann ζ 函数零点的基本思路。 由于 ξ(s) 满足一个特殊的条件: ξ(s)=ξ(1-s), 运用复变函数论中的反射原理 (reflection principle) 很容易证明 (读者不妨自己试试), 在 Re(s)=1/2 的直线 (即 Riemann 猜想中的临界线) 上 ξ(s) 的取值为实数。 这表明在临界线上通过研究 ξ(s) 的符号改变就可以确定零点的存在。 这是利用 ξ(s) 计算零点的一个极大的优势。 接下来我们将只考虑 s 的取值在临界线上的情形, 为此令 s=1/2+it (t 为正实数)。 利用 ξ(s) 的定义可以证明 (请读者自行完成):

ξ(1/2+it) = [eRe ln Γ(s/2) π-1/4(-t2 - 1/4)/2] [ei Im ln Γ(s/2) π-it/2ζ(1/2+it)]

很明显, 上式中第一个方括号内的表达式始终为负, 因此在计算 ξ(s) 的符号改变——从而确定零点——时可以忽略。 这表明要想确定 Riemann ζ 函数的非平凡零点, 实际上只需研究上式中第二个方括号内的表达式就可以了。 我们用 Z(t) 来标记这一表达式, 即:

Z(t) = ei Im ln Γ(s/2) π-it/2ζ(1/2+it)

至此, 研究 Riemann ζ 函数的非平凡零点就归结为了研究 Z(t) 的零点, 而后者又可以归结为研究 Z(t) 的符号改变。

那么 Riemann-Siegel 公式是什么呢? 它就是 Z(t) 的渐进近展开式, 其具体表述为:

其中:

上面式子中的 R(t) 被称为剩余项 (remainder), 其中的 N 为 (t/2π)1/2 的整数部分, R(t) 中各项的系数分别为:

其中 p 为 (t/2π)1/2 的分数部分, Ψ(n)(p) 为 Ψ(p) 的 n 阶导数。

这就是 Siegel 从 Riemann 手稿中整理出来的计算 Riemann ζ 函数非平凡零点的公式[注四]。 确切地讲它只是计算 Riemann ζ 函数——或者更确切地讲函数 Z(t)——的数值的公式, 要想确定零点的位置还必须通过多次计算逐渐逼近, 其工作量比单单计算 Riemann ζ 函数的数值大得多。 读者们也许会感到奇怪, 如此复杂的公式加上如此迂回的步骤, 在没有计算机的年代里能有多大用处? 的确, 计算 Riemann ζ 函数的非平凡零点即便使用 Riemann-Siegel 公式也是极其繁复的工作, 别的不说, 只要看看 C4 中对 Ψ(p) 的导数竟高达 12 阶之多就足令人头疼了。 但是同样一件工作, 在一位只在饭后茶余瞥上几眼的过客眼里与一位对其倾注生命、 不惜花费时光的数学家眼里, 它的可行性是完全不同的。 就像在一位普通人、 甚或是一位普通数学家的眼里 Riemann 能做出如此深奥的数学贡献是不可思议的一样。

不过, 也不要把 Riemann-Siegel 公式看得太过可怕, 因为在 下一节 中, 我们就将一起动手用这一公式来计算一个 Riemann ζ 函数的非平凡零点。 当然, 我们会适当偷点懒, 也会用用计算器, 甚至还要用点计算机软件。 毕竟, 我们与 Siegel 之间又隔了大半个世纪, 具备了偷懒所需的信息和工具。 然后, 我们将继续我们的旅途, 去欣赏那些勤奋的人们所完成的工作, 那才是真正的风景。

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注释

  1. 不过在 Bessel-Hagen 建议 Siegel 研究 Riemann 手稿的这件事情之中, 被 Riemann 妻子索回的那部分手稿未被提及。 从这点上看, 那传闻即便属实, 可能也是后来的事情。
  2. 后来的一些数学史学家甚至认为 Riemann 有可能计算过多达 20 个零点。
  3. 当然这里所谓的复杂是指推导和表述上的复杂, 而不是指计算零点时的复杂——后者虽然也确实复杂, 却要比同等精度下的 Euler-Maclaurin 公式来得简单 (否则就谈不上是远远胜过 Euler-Maclaurin 公式了)。
  4. 这里有两点需要提醒读者: 一是 Riemann 手稿中 C4 中 Ψ(p) 的系数与 Siegel 给出的有所不同; 二是我们没有使用 Siegel 原始论文中的记号。

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网友讨论选录

  • 网友: xumc   (发表于 2009-12-07)

    写得很好!

  • 网友: 星空浩淼   (发表于 2009-12-07)

    Riemann 猜想漫谈应该也能出书。

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2009-12-07)

    我在刚刚写完的 出版记 中讲述了以前与 Riemann 猜想漫谈有关的 “出版未遂” 的故事。

  • 网友: rainbow   (发表于 2012-07-11)

    注释二 中提到: “后来的一些数学史学家甚至认为 Riemann 有可能计算过多达 20 个零点”。 这个说法是出自什么资料?

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2012-07-11)

    “Primes, Quantum Chaos, and Computers” by Odlyzko, 第八页末尾。

  • 网友: rainbow   (发表于 2012-07-12)

    多谢站长!

    顺着站长提供的线索,查到一篇文献: “Zeros of Epstein Zeta Functions and Supercomputers”, D. A. Hejhal。 文献中提到 “As far as the Nachlass itself goes, the largest numerical value of t actually considered by Riemann seems to be about 100.” 根据这一条, Riemann 做到的比 Odlyzko 所说的还要强: 他考虑到的零点数目可能在 30 个左右。

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2012-07-12)

    谢谢所提供的文献。 该文献与我采用的有可能并不矛盾, 因为 Odlyzko 文中所引文献的作者正是 Hejhal——虽然那是 Hejhal 的另一篇文章, 但信息有可能是相同的。 从 t≈100 看, 对应的零点序号确实接近 30, 不过假如手稿显示 Riemann 并非地毯式地计算到 t≈100 附近, 而是有跳跃的话, 则与计算过的零点数目可能为 20 这一来自同一作者的猜测不一定矛盾。

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