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正质量定理简介 (二)

- 卢昌海 -

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二. 广义相对论的动力学

有了孤立体系的定义, 下面我们来讨论孤立体系的总能量动量。 由于能量动量是描述体系动力学行为的物理量, 因此在定义它之前, 有必要对广义相对论的动力学有所了解。 我们知道, Einstein 场方程的左边包含时空度规 gμν 及其一、 二阶导数, 右边则是描述物质分布的能量动量张量 Tμν。 场方程的这种形式, 导致了一种流传很广的误解, 即以为所谓广义相对论的动力学, 就是在时空流形上给定 Tμν, 求解 gμν。 这种说法即便不算完全错误, 起码也是似是而非的。 因为时空流形是四维的, 因此所谓 “在时空流形上给定 Tμν”, 实际上包括了给出 Tμν 作为时间的函数。 但所谓动力学, 它的目的就是寻找物理量——无论其描述的是几何还是物质——随时间的演化, 既然如此, 又怎能事先就给定 Tμν 作为时间的函数呢? 这既没有现实可行性, 也不符合动力学的要求。

那么广义相对论的动力学究竟该如何定义呢? 我们可以回想一下普通力学。 在普通力学中, 要解决一个动力学问题, 往往需要给定所谓的初始条件——即一组动力学变量及其时间导数在初始时刻的空间分布。 对于广义相对论来说, 要想给出初始条件, 首先要对时空进行某种分解, 这样才能谈论所谓的 “初始时刻” 和 “空间分布”。 这种分解的实质, 是将时空流形分解为 Σ3×R1, 其中 Σ3 (下文将省略维数上标) 是三维类空超曲面, 坐标记为 xi (i=1, 2, 3, 下同), 表示空间; R1 则表示时间, 坐标记为 t。 这种分解通常被称为 3+1 分解, 或 ADM 分解 (Arnowitt-Deser-Misner decomposition)。 在这样的分解下, 每个时刻 t 都有一个对应的类空超曲面 Σ。 所谓初始条件, 就是在某个给定时刻 t0 (即所谓 “初始时刻”), 给出一组动力学变量及其时间导数在与该时刻相对应的类空超曲面 Σ 上的数值 (即所谓 “空间分布”)。

有了时空流形的分解, 接下来就可以定义动力学变量。 为此, 我们引进 Σ 的单位法矢量 n, 以及度规 gμν 在 Σ 上的诱导度规 hij = gij + ninj。 细心的读者可能注意到了, 诱导度规 hij 其实就是 奇点与奇点定理简介第二节 中引进的时空度规的 “空间部分” (不过两者之间有一个符号差异, 请读者想一想这个差异从何而来?)。 hij 作为 Σ 上的诱导度规, 显然是动力学变量, hij 在 Σ 上的分布则是初始条件的一部分。 但光有 hij 的分布还不够, Einstein 场方程和大多数其它动力学方程一样, 是二阶微分方程, 因此我们还需要知道 hij 对时间的导数在 Σ 上的分布。 不过由于 ADM 分解中的时间轴通常不与 Σ 正交, 使用起来并不方便, 因此人们往往用 hij 沿 Σ 法向 n 的 Lie 导数 (Lie derivative), 即

Kij = (1/2)Lnhij

(3.2.1)

来取代时间导数。 这样定义的 Kij 有什么好处呢? 首先, 它具有良好的坐标变换性质, 这是由 Lie 导数的性质保证的; 其次, 它包含了 hij 的时间演化信息, 从而的确可以取代 hij 对时间的导数来作为初始条件的一部分。 事实上, 时间基矢 ∂t 可以在 n 及 (Σ 上的) 空间基矢 ∂i 组成的坐标系中分解为 ∂t = Nn + Nii (其中 N 和 Ni 为分解系数), 而 Kij 则可以表示为:

Kij = (1/2N)(∂thij — Ni|j — Nj|i)

(3.2.2)

其中 |i 和 |j 表示相对于诱导度规 hij 的协变导数 (下同)。 从这一结果可以清楚地看到, Kij 包含了 hij 的时间演化信息 (如果时间轴恰好沿 n 方向, 那么 Kij 将正比于 hij 的时间导数)。 最后, 但并非最不重要的, 是 Kij 具有清晰的几何意义。 事实上, 它是超曲面 Σ 的外曲率 (extrinsic curvature), 也叫做第二基本形式 (second fundamental form), 它描述的是 Σ 在它所嵌入的外部时空流形中的弯曲方式[注一]

为了更好地显示 Kij 作为外曲率的几何意义, 同时也为后文介绍 Schoen 与 Yau 的证明埋个伏笔, 我们对 Kij 再稍做一点考察。 我们注意到, Kij = (1/2)Lnhij = (1/2)Lngij = n(i;j), 其中 n(i;j) = (1/2)(ni;j+nj;i) 是 ni;j 的对称部分。 不难看到, 经过这样改写的 Kij奇点与奇点定理简介第二节 中测地线束形变的对称部分完全类似。 事实上, 我们这里所介绍的内容与那里有关测地线束的描述之间存在明显的对应关系: 测地线的切矢 V 对应于 n, 与 V 垂直的子空间对应于 Σ, 形变对应于 ni;j, 形变的对称部分则对应于 Kij。 在 奇点与奇点定理简介第三节 中, 我们提到过这样一个结果, 即形变的反对称部分——即涡旋张量——在测地线束为超曲面垂直时为零。 由于我们这里讨论的单位法矢量 n 和超曲面 Σ 显然满足超曲面垂直关系, 因此形变 ni;j 的反对称部分 n[i;j] 为零。 既然 ni;j 的反对称部分为零, 它就完全由对称部分所组成, 而后者正是 Kij。 这就表明

Kij = ni;j

(3.2.3)

这个结果的几何意义非常明确, 它表明一个曲面 (或超曲面) 的外曲率所描述的是单位法矢量沿曲面运动时的变化, 这完全符合我们从曲面所嵌入的外部空间 (或时空) 来判断其弯曲程度的直觉。

现在我们回到广义相对论的动力学上来。 从上面的分析可以看到, 广义相对论时空部分的动力学变量可以选为诱导度规 hij(t, xi), 相应的初始条件则是初始时刻所对应的类空超曲面 Σ 上的诱导度规 hij(xi) 及外曲率 Kij(xi)[注二]。 从动力学变量与方程的数目对比来看, hij 作为动力学变量是合理的, 因为 hij 有六个独立分量, 而 Einstein 场方程虽然有十个方程, 其中却只有六个是动力学方程, 其余四个, 即

Gμνnν = 8πTμνnν

(3.2.4)

不包含度规对时间的二阶导数, 因而只是对初始数据的约束条件。 这些约束条件可以通过微分几何中所谓的 Gauss-Codacci 方程组 (Gauss-Codacci equations) 表述为有关 hij 和 Kij 的条件:

(3)R + (trK)2 — tr(K2) = 16πρ
[Kij — (trK)hij]|j = 8πJi

(3.2.5)

其中 (3)R 是超曲面 Σ 上的曲率标量; tr 是 Σ 上的迹; ρ = Tμνnμnν 和 Ji = hiμTμνnν 则是物质能流密度的时间和空间分量。 这是两个很重要的关系式, 在 Schoen 与 Yau 的证明中将会被用到。

至此, 我们就完成了对广义相对论的动力学变量及初始条件的介绍。 所谓广义相对论动力学中的初值问题, 指的就是给定一个类空超曲面 Σ 及其上满足约束条件 (3.2.5) 的 hij、 Kij 及物质分布 , 求解 hij 和 Kij 在整个时空流形上的分布。 对于我们所讨论的孤立体系来说, 我们还要求 Σ 是渐近平直的类空超曲面。 要做到这一点, Σ 必须经过类空无穷远点 i0, 并满足一定的解析条件[注三]。 在早期的工作中, 类空超曲面 Σ 的渐近平直性与时空本身的渐近平直性一样, 是通过朴素方式——即对 hij, Kij 及其若干阶导数的渐近行为加以界定——来定义的。 除此之外, 人们往往还在时空流形上附加一定的因果条件, 比如全局双曲条件 (其定义可参阅 奇点与奇点定理简介第四节), 这些我们就不讨论了。

三. ADM 能量动量

接下来我们介绍一下广义相对论的 Hamilton 表述 (Hamiltonian formulation), ADM 能量动量的原始定义就源于这一表述。 我们知道, 引力场的作用量密度是 L = (1/16π)(—g)1/2R, 其中 g = det(gμν) 是度规张量的行列式。 由于 (请读者自行证明) (—g)1/2 = Nh1/2, 其中 h = det(hij) 是诱导度规的行列式; 以及 (可以由 Gauss-Codacci 方程组得到) R = (3)R + tr(K2) — (trK)2, 上述作用量密度可以表述为 hij 和 Kij 的函数:

L = (1/16π)Nh1/2[(3)R + tr(K2) — (trK)2]

(3.3.1)

由此可知与 hij 对应的广义动量为:

πij = δL/δhij = (1/16π)h1/2[Kij — (trK)hij]

(3.3.2)

而引力场的作用量密度则可以改写为 (其中丢弃了一些全微分项):

L = πijthij — NR0 — NiRi

(3.3.3)

其中

R0 = —(1/16π)h1/2[(3)R — (1/h)tr(K2) + (1/2h)(trK)2]
Ri = —(1/8π)πij|j

(3.3.4)

从这里我们可以看到, 引力理论是一个有约束的理论, 约束条件为 R0 = 0 和 Ri = 0, N 和 Ni 是相应的 Lagrange 乘子。

由上述作用量密度可得引力场的 Hamiltonian 密度为:

H = πijthij — L = NR0 + NiRi

(3.3.5)

相应的 Hamiltonian 则为 ∫HdV (积分为类空超曲面 Σ 上的体积分)。 至此, 似乎一切都很顺利。 但不幸的是, 这个 Hamiltonian——作为 hij 和 Kij 的泛函——可以描述引力场的动力学, 却无法用来计算总能量, 因为约束条件 R0 = 0 和 Ri = 0 的存在使它的数值恒等于零。 要解决这个问题, 必须注意到引力理论的一个微妙的细节, 那就是在 Hamiltonian 的变分中, 有一些边界项在 Σ 渐近平直的情况下不为零。 比方说假定 Σ 的法矢量 n 在类空无穷远处渐近于时间平移生成元 ∂/∂t, 即 N→1, Ni→0, 那么可以证明, Hamiltonian 的变分中有这样一个非零的边界项 (它也是唯一一个非零的边界项):

—∫(1/16π)Nh1/2hijδ(3)RijdV → —δ∫(1/16π)(∂ihij — ∂jhii)dSj

(3.3.6)

其中 dSj 是边界 ∂Σ 上的面积元, 积分理解为 ∂Σ 趋于 i0 的极限 (下同)。 显然, 如果我们在 Hamiltonian 上添加一个相应的边界项 (1/16π)∫(∂ihij — ∂jhii)dSj, 就可以抵消变分中的边界项。 这一附加的边界项对动力学方程没有影响, 却对总能量有贡献。 事实上, 由于 Hamiltonian 密度的体积分为零, 这一边界项是对总能量的唯一贡献。 这样, 我们就得到了孤立体系的总能量[注四]

E = (1/16π)∫(∂ihij — ∂jhii)dSj

(3.3.7)

类似地, 通过对 N 及 Ni 的渐近行为做其它假设, 可以得到孤立体系总动量的表述:

pi = (1/8π)∫[Kij — (trK)δij]dSj

(3.3.8)

可以证明, 这样定义的 E 和 pi 与 Σ 上渐近坐标的选择无关, 并且构成类空无穷远 i0 上的四维矢量。 这就是所谓孤立体系的 ADM 能量动量, 其中的 E 被称为 ADM 能量或 ADM 质量, pi 被称为 ADM 动量。 由上述定义不难看到, ADM 能量动量的存在要求 ∂khij ~ O(1/r2), 而这正是渐近平直时空的朴素定义所要求的。

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注释

  1. 了解外曲率的一个很好的例子是圆柱面, 许多初学者在学习微分几何的时候, 恐怕会对圆柱面的曲率张量为零感到困惑。 因为在直觉上, 圆柱面分明是 “弯曲” 的。 这一直觉其实没有错, 只不过它是来自于圆柱面所嵌入的三维空间, 而非圆柱面本身, 因而体现的是圆柱面的外曲率, 而非内蕴曲率。 倘若我们不是生活在三维空间, 而是生活在圆柱面上, 并且只能局域地感知圆柱面, 那就不会觉察出它与平面的差异, 从而也就不会产生诸如 “圆柱面是弯曲的” 那样的直觉。
  2. 有读者或许会问: 出现在 Kij 中的时间基矢的分解系数 N 和 Ni 是否也是动力学变量? 答案是否定的, 因为我们在 第三节 中即将看到, 广义相对论的动力学是有约束的动力学, N 和 Ni 是与约束条件相对应的 Lagrange 乘子。
  3. 人们通常将三元组 (Σ, hij, Kij) 称为初始数据集 (initial data set)。 而如果 Σ 渐近平直, 且在 i0 满足一定的解析条件 (这种解析条件对物质场的渐近行为也是一种约束), 则相应的初始数据集被称为渐近平直的初始数据集
  4. 这一能量 (即 ADM 能量或 ADM 质量) 虽然来自于对引力场作用量的分析, 但它包含了物质场的贡献, 因为后者已体现在了 hij 的渐近行为中 (在弱场近似下, 这一点可以通过直接计算予以证实)。 ADM 质量由渐近平直区域中的面积分表示, 体现了一个朴素并且实用的物理思想, 那就是确定一个孤立体系总能量的方法, 是从远处观测其引力效应。 另外, 从这一表述可以看到, 如果 Σ 是一个封闭曲面 (比如 S3), 那么由于其边界为零, E 必定为零。 人们有时把这一结果表述为: 封闭宇宙的总能量为零。 不过, 这种表述的物理意义是值得怀疑的, 因为在不存在渐近平直区域的情况下, 总能量这一概念本身就很难有合适的定义。

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