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μ 子反常磁矩之谜 (二)

- 卢昌海 -

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三. 进动频率与反常磁矩

有了 (6) 式, 我们就可以在任意惯性参照系中研究 μ 子 (或任何其它有自旋带电粒子) 的自旋进动。 对理论物理学家来说, 能够做到这一点通常就意味着问题得到了解决。 不过实验物理学家的口味却稍有些不同, 在测定 μ 子反常磁矩这一问题上, 他们感兴趣的偏偏不是所有物理量全处在同一个参照系中的情形。 具体地说, 他们感兴趣的电磁场和时间坐标是实验室系中的电磁场和时间坐标, 而自旋却是 μ 子瞬时静止参照系 (以下简称 μ 子系) 中的自旋 (我们会在后文解释其原因)。

幸运的是, 实验物理学家们的这种 “脚踩两条船” 的要求并不难得到满足。 如果我们用 s' 表示 μ 子系中的自旋矢量 (它只有空间部分), 它与一般坐标系中的自旋分量可以通过矢量形式的 Lorentz 变换相联系。 利用这种联系及 (6) 式, 便可得到用实验室系中的电磁场和时间坐标表示的 s' 的进动规律。 这其中最简单, 但最具重要性的情形是电场为零, 磁场均匀且垂直于 μ 子运动平面的情形。 可以证明, 这一情形下 μ 子磁矩的进动规律为:

ds'/dt = ωs×s'

(8)

这是一个标准的矢量旋转方程, 其中旋转频率 ωs 的大小为 (γ 为 Lorentz 因子):

ωs = (e/2m)(g-2+2/γ)B

(9)

(9) 式已经是一个相当简单的公式了, 但我们的好运却并未就此止步。 我们很快将会看到, 对于测定 μ 子的反常磁矩来说, 真正有观测意义的并不是 μ 子自旋矢量相对于实验室系的进动, 而是它相对于运动方向的进动。 这表明我们应该从 (9) 式中减去 μ 子本身在磁场中的回旋频率 (e/mγ)B, 这样我们就得到了具有实验意义的自旋矢量相对于运动方向的进动频率:

ω = (e/2m)(g-2)B ≡ (e/m)aμB

(10)

这里我们引进了一个专门的记号 aμ 来表示 (g-2)/2, 它就是 μ 子的反常磁矩[注一]

(10) 式表明, μ 子的反常磁矩可以通过测定磁感应强度 B 及 μ 子自旋相对于运动方向的旋转频率 ω 而得到。 这其中对旋转频率 ω 的测定需要用到一些有关粒子物理 - 确切地说是有关 μ 子的产生衰变性质 - 的知识, 我们在下面稍做一些介绍。

四. μ 子的产生衰变性质及实验思路

首先说说 μ 子的产生性质。 在测定 μ 子反常磁矩的实验中, 物理学家们是用 π 介子的衰变来产生 μ 子的, 具体地说, 是用 π-→μνμ 产生 μ 子, 或用 π+→μ+νμ 产生反 μ 子[注二]。 在测定 μ 子反常磁矩的实验中, 物理学家们既用 μ 子, 也用反 μ 子, 因为无论实验还是迄今仍被视为严格的 PCT 对称性都表明这两者的反常磁矩严格相等, 从而在实验上并无优劣之分。 不过为明确起见, 我们在本文中一律以 μ 子作为讨论对象。

π 介子衰变产生 μ 子的过程是一个弱相互作用过程 (这可以从中微子的出现而看出)。 我们知道, 弱相互作用的一个显著特点, 是它具有手征性, 作为这种性质的一个重要体现, 由 π 介子衰变产生的 μ 子具有右手手征 (即自旋与运动方向满足右手螺旋定则, 或者简单地说是两者同向)。 这一特点使物理学家们可以比较容易地得到初始自旋与运动方向相平行的 μ 子束, 从而为测定 μ 子自旋相对于运动方向的旋转频率提供很大的便利 (请读者想一想, 这为什么是一种便利?)。

与 μ 子的产生性质同样重要的是它的衰变性质。 实验和理论都表明, μ 子最主要的衰变模式 (所占比例接近 100%) 是 μ→eνeνμ, 即衰变为电子、 反电子中微子和 μ 子中微子[注三]。 在 μ 子系中, 由这一衰变产生的电子在它与 νe 及 νμ 同时反向时具有最大的能量 (请读者自行证明这一点, 并证明这一最大能量约为 μ 子静质量的一半)。 由于这种情形下 νe 和 νμ 的总自旋为零 (请读者想一想这是为什么?), 因此角动量守恒要求电子自旋与 μ 子自旋同向。 另一方面, 弱相互作用的手征性要求这种情况下产生的电子具有左手手征, 即运动方向与自旋方向 - 从而也与 μ 子的自旋方向 - 相反。 这样, 我们就得到了一个重要结果, 即在 μ 子系中, 能量最大的电子是沿着与 μ 子自旋相反的方向发射的。

当然, 上面的结论是在 μ 子系中得到的 (这是实验物理学家们要 “脚踩两条船”, 即考虑 μ 子系中的自旋的根本原因)。 现在, 让我们重新回到实验室系中 - 毕竟, 真正的实验是在这里进行的。 我们要问这样一个问题: 什么情况下我们能在实验室系中观测到具有最大能量的电子? 答案是显而易见的: 是在 μ 子本身的运动方向与 μ 子系中具有最大能量的电子的发射方向相同的情况下。 由于我们已经知道, 这种情况下电子的发射方向与 (μ 子系中的) μ 子自旋方向相反, 因此, 实验室系中能量最大的电子出现在 (μ 子系中的) μ 子自旋与其运动方向相反的情况下。

好了, 希望大家并未被 μ 子系、 实验室系、 μ 子自旋、 电子自旋、 μ 子运动方向等概念搞迷糊, 现在线索已然齐备, 我们要将它们串联起来, 给出测定 μ 子反常磁矩的方法了。 由于 μ 子系中的 μ 子自旋相对于运动方向的进动频率由 (10) 给出, 因此每隔一个周期 2π/ω (这是实验室系中的周期, 因为我们所用的时间坐标是实验室系中的坐标) 就会出现一次自旋与运动方向反向的情形 (顺便说一下, 这也正是我们在上节中要考虑自旋相对于运动方向的进动的原因), 这时人们在实验室中便会观测到数量最多的高能电子。 借助于这一特点, 人们便可通过观测实验室中高能电子数量的周期性起伏而得到 ω, 并进而通过 (10) 式推算出 μ 子的反常磁矩 aμ

这就是物理学家们精密测定 μ 子反常磁矩的基本思路[注四]。 从上面的分析中我们可以看到, μ 子产生衰变过程中的手征性简直象是为人们能精确测定它的反常磁矩而量身定设的, 这是实验物理学家的幸运。 但是, 实验的结果却让理论物理学家们陷入了失眠 - 当然, 那是一种快乐而充实的失眠。

五. 实验技巧略谈

读到这里, 也许有读者会因为 (10) 式的简单而觉得在实验上测定 μ 子的反常磁矩并不是一件很困难的事情。 如果有人这样想了, 那无疑是我的 “罪过”, 我要第一时间在这里澄清一下。 为了不被 (10) 式的简单性所误导, 我们要记住, 我们所面对的不是几个乖乖躺在实验桌上任我们用手或镊子随意抓取的玻璃球, 而是一群看不见摸不着、 几乎永不停息地高速运动着的微观粒子。 不仅如此, 这些小家伙的平均寿命还短得可怜, 只有百万分之二秒 (这在非稳定粒子中已经算长寿了), 即便考虑到我们下面会提到的相对论的时间延缓效应, 它们能供我们研究的平均时间也只有十万分之六秒左右。 在日常语言中, 我们常用 “命如蜉蝣” 来形容寿命的短暂, 其实与 μ 子相比, 蜉蝣 - 它们的寿命约为一天 - 简直就象神仙一样长寿了。

老实说, 对于粒子实验物理学家们让那些如此微小的家伙在他们巨大的环形通道里转来转去, 并在十万分之一秒、 百万分之一秒, 甚至更短得多的时间里就榨出那么多可靠信息的能力, 我始终充满了钦佩并深感不可思议。 不瞒读者说, 我在物理实验上向来是笨手拙脚的, 大学时但凡和同学一起做实验, 我总是充分发扬孔融让梨的精神, 把操作仪器的 “美差” 让给同学, 自己则负责分析数据及撰写实验报告。 因此, 实验物理学家们的精巧技术在我眼里简直就像是魔术, 也正因为如此, 我必须毫无保留地承认我不可能细致地介绍实验技巧。

不过, 有一个细节我愿意在这里充当内行提一下。

读者也许还记得, 我们在给出 (8)-(10) 式的时候, 曾提到过一个限制条件, 即 “电场为零, 磁场均匀且垂直于 μ 子运动平面”。 这一条件的后半部分 - 即磁场均匀且垂直于 μ 子运动平面 - 在实验中得到了相当良好的贯彻。 但前半部分 - 即电场为零 - 却并非事实。 实际情况是: 自二十世纪七十年代起, 人们在测定 μ 子反常磁矩的实验中就采用了特定的电场分布来帮助 μ 子束聚焦。 这一手段最初是由欧洲核子中心 (CERN) 的物理学家们采用的, 后来被其它实验室 - 比如美国的 Brookhaven 国家实验室 - 所继承, 它的一个很大的好处是可以保证磁场更加均匀。 为什么这么说呢? 因为在采用这一手段之前, 物理学家们通常需要用磁场的非均匀性来帮助 μ 子聚焦, 这对实验精度是有显著损害的[注五]。 不过, 电场的应用也会产生一个问题, 那就是它会在 (10) 式中引进一个与电场有关的附加项, 使之变为:

ω = (e/m)aμB - (e/m)[aμ - 1/(γ2-1)]v×E

(11)

(11) 式中的附加项与电场及 μ 子的速度都有关, 对实验来说显然是很大的麻烦。 但幸运的是, 我们只要适当地控制 μ 子的能量, 使得 aμ - 1/(γ2-1) 恰好为零, 这恼人的附加项就会自动消失, 从而 (10) 式仍然成立。 实验表明, 这一 “适当” 的能量约为 3.1GeV, 相应的 γ 约为 29.4, 物理学家们对 μ 子反常磁矩的现代测定正是在这一条件下进行的[注六]。 我们将这一情况称为幸运, 是因为它之所以可能, 首先是由于 μ 子的反常磁矩 aμ 恰好是正的, 否则 aμ - 1/(γ2-1) 在任何能量下都不可能为零; 其次则是由于 aμ 很小, 从而使满足 aμ - 1/(γ2-1) 为零的 γ 较大, 这使得相对论的时钟延缓效应足够显著, 让物理学家们有足够的时间来精密测定 μ 子的反常磁矩。

因此, 对 μ 子反常磁矩的精密测定之所以可能, 除仰仗实验物理学家们的高明技术外, 也是很多幸运因子的共同结果: 这其中既包括了 π 介子及 μ 子的衰变性质, 也包括了 μ 子反常磁矩为正且数值很小这一事实。

那么, 在这么多幸运因子的共同佑护下, 物理学家们得到了什么样的实验结果呢?

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注释

  1. 细心的读者可能会问: “反常磁矩” 顾名思义应该具有磁矩量纲, 而 aμ = (g-2)/2 却是无量纲的, 怎么可以冠以那样的名称? 的确, 严格地讲 μ 子的反常磁矩应该定义为 aμ(e/m)s。 不过, 在文献中人们往往略去 (e/m)s (这是用 μ 子质量取代电子质量后的 Bohr 磁子, 从某种意义上讲可以视为是磁矩的单位), 而把 aμ 直接称为反常磁矩。
  2. π 介子本身则是由质子束轰击物质靶所产生的。
  3. 更准确地说, 在这一衰变过程中除产生上述粒子外, 还有 1.4% 左右的几率发射一个光子。
  4. 有兴趣的读者请思考这样一个问题: 测定 μ 子反常磁矩所依据的 (10) 式是经典电磁理论的结果, 在涉及象 μ 子这样的基本粒子时, 是否需要考虑 (10) 式的量子修正?。
  5. 因为磁场一旦不均匀, 则不仅 (10) 式不再严格成立, 我们还必须在一定程度上测定 μ 子所处的位置 (因为不同位置上的磁场不同), 而这是很不容易做到的。
  6. 不过 aμ - 1/(γ2-1) 为零这一条件本身却并不足以作为精密测定 aμ 的方法 (请读者想一想这是为什么?)。

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