选择公理

选择公理是数学历史上被讨论得最多的公理之一。也许只有历时2000年之久平行公设比选择公理引起的争论更多，但是现在基本上没有人再研究平行公设了。还有一个引起很多争论的是Godel不完备性定理。

选择公理和直觉

选择公理：一族集合Ai, 每一个都是非空的，所有集合的并集设为集合A，则存在一个选择函数f, 对每一个集合Ai指定这个集合中的一个元素。

将这个集合族记作X. 那么选择公理即是说，存在一个映射 f: X->A 使得集合A中的元素f(Ai)恰好在Ai中。f就是选择函数，即从每个Ai中选出一个元素。

从直觉上看，我们很难想象不存在这样一个选择方式。也就是说，我们能比较容易地接受选择公理。选择公理是符合我们的直觉的。

同时选择公理有非常多的应用。比如泛函分析、线性代数、拓扑、交换代数等等，如果没有选择公理，这些数学分支的许多基本的定理就将不再成立。

但是选择公理又可以推出一些奇怪的结论：例如Banach-Tarski分球悖论。而这些悖论又严重地违背了我们的直觉。

Banach-Tarski悖论：球体可以分解为有限多块，经过有限多次旋转、平移，可以拼成至少2同样大小的球体。

数学家对于Banach-Tarski悖论的解决方法是承认某些集合--例如Banach-Tarski悖论中从球体分解出来的小块--没有体积，如此就可以化解这个悖论了。虽然这个解决方案简单有效，但是这个悖论仍然让人觉得与直觉不相一致。逻辑上的一致性要高于是否符合直觉。

选择公理有许多等价的形式。其中一些符合我们的直觉，而另一些则背离我们的直觉。看起来我们有点无所适从、左右为难。当然，如果我们抛弃直觉，只是从逻辑和应用的角度来看选择公理，那么，无疑我们会将选择公理作为一个基本的前提。

这里列举两个选择公理的等价形式：Zorn引理，良序定理。

Zorn引理：若偏序集的每个链都有上界，则偏序集中有极大元。

良定原理：每个集合上都存在一个良序关系。

但是，没有人知道怎么赋予实数集合一个良序。良序定理和直觉相背。

而Zorn引理，想一想，觉得它是合理的、符合直觉的；但是如果多想一下，又会觉得不是很合理、有点违背直觉。大体上说来，Zorn符合直觉的程度介于选择公理和良序定理之间。

选择公理对于我们有这样一个启示：依赖直觉是不可靠的。

当然这会带来另一个问题：如果不依赖于直觉，我们怎么知道一个数学猜想、定理、概念是重要的还是不足轻重的呢？

我一直觉得这个悖论是来自无穷大而不是选择公理。

数学上真正不可信赖或有争议的直觉似乎全都来自无穷（而关于无穷其实并不存在经验，从而直觉确实是可疑的），其他直觉性的错误通常都是疏忽性的，只要一点明或纠正就变得清楚了，并且可以有共识。

反正逻辑一致性是动不了的，如果认可明显的矛盾，任何公理系统都会毫无分辨能力而彻底无用。

对于从明显符合直觉的A导出明显不符合直觉的B，只能有两个策略，要么肯定A同时肯定B，要么否定B同时否定A。没有任何办法区分这两个策略的对错，但对于两个策略带来的可能后果都可以进行深入的分析和讨论。谁也说不定今后会不会出现这样的结果：发现某些模型符合A从而也具备属性B，另一些模型不具备属性B从而也不符合A，就好像平行公里身上发生的事情一样，没有必要非要在这两个策略中二选一。

Zorn引理，另一种看法。

先叙述Zorn引理。

集合 X, 其上的偏序关系：=<

X 的子集，若为线性序的，即其中任意两个元素都可以进行比较，则称为链。

X 的子集 A，若存在 X 中的元素 b，使得 A 中任意元素 a，都有 a =< b,则称 b 为 A 的上界，且 A 称为有界的。

元素 m 称为偏序集的极大元：若对于任意元素 x 都有 x =< m.

Zorn引理：若偏序集中的任意链都有上界，则此偏序集有极大元。

Zorn可以变作一个显然等价的说法。如下。

某个对象上定义了一个偏序关系，于是可类似定义链、子集的上界、极大元。

Zorn引理的变形：若一个有偏序关系的对象，任何链都有上界，但是这个对象中没有极大元，则这个对象不是集合。

换言之，你可以讨论不满足Zorn引理，即选择公理的对象，但是它不是集合，而是另外的某个东西。即使你非要将之叫做集合，那也和我们说的集合不是同一种东西。

也可以这样说，集合的定义中，另加一条，即满足Zorn引理、选择公理。

选择公理和无穷大

无穷大和有限有着本质的区别。

有限数字n，可以看作集合{1,2,…,n}中的元素的个数。无穷大也可以类似地处理，这样就得到基数的概念。这里数字都只涉及自然数。

一个数字n的平方，n^2，若n>2，那么n^2>n，即平方之后数字要变大。无穷大的基数，按照大小排序，当然是排在有限数字的后面。

如果我们承认选择公理，就会得到这样一个结论，无穷大的基数a的平方a^2，将等于基数本身，即a^2=a.

除了0^2=0, 1^2=1, 其他数都满足n^2>n, 例如2^2>2, 3^2>3,…也就说从n=2开始都成立的结论“数字平方后变大”，到了无穷大就不成立了，又回到“平方等于自身”，即a^2=a. 这个看起来就不合理，这也是来自于选择公理。

实际上，所有无穷基数的平方都等于其自身，等价于，选择公理。

于是如果我们不希望对于无穷大的基数来说，a^2=a，那么就要否定选择公理。

我们认为合理的应该是a^2>a. 因而选择公理不再成立。然而选择公理不成立会立即导致一个更加离奇的结论，即至少有一个无穷基数a满足a^2=0. 于是我们从a^2>a出发，结果得到了 a^2=0.

无穷大不能当作一个数处理。
但是无穷大应该是什么呢？