我们先讨论一下概率这个词的来源。中文的概率为外来语，而英文中probability也是一个较晚才出现的词语。

Probability 来源于拉丁语 probabilitas, 而后者又可以解释为 probity.
Probity 的意思是uprightness（正直），honesty（诚实），在欧洲probity用来表示法庭案例（law case）中证人（witness）证词的权威性（authority），且通常与证人的声誉相关。而probable 在法律术语中则用来表示“好的证据(good evidence)。总之 probable 没有“可能性”这个含义。

Cardano,《Liber de Ludo Aleae》(The Book on Games of Chance)成书于1500-1600中期，出版于1663年。卡丹诺是最早使用概率一词的人。该书第15章有如下一段文字：
“
In comparison where the probability is one half, as of even faces with odd, we shall multiply the number of casts by itself and subtract one from the product, and the proportion which the remainder bears to unity will be the proportion of the wages to be staked. Thus, in 2 successive casts we shall multiply 2 by itself, which will be 4; we shall subtract 1; the remainder is 3; therefore the player will rightly wager 3 against 1.
”
但我不清楚概率一词是出现在该书意大利原文中，还是翻译为英文才有的。我无法检索该书的意大利文版本。另一方面，即使原文确实是概率一词，也可能具有与现在不同的含义，比如说在卡丹诺看来此处的"probability"就等同于"odds" 或"chance"，或者说，我们以现在的观念去理解原书中的概率一词。但是概率一词之后并没有得到广泛使用。

Christiaan Huygens，惠更斯，《De Ratiociniis in Ludo Aleae 》(1657)，这是历史上第一部公开发表的概率论著作，1714念的英文翻译本共13页。原文为荷兰文。下述为提及概率的荷兰原文：
Als, by exempel. Die met een dobbel-stee(n) ten eerste(n) een ses neemt te werpen / het is onseecker of hy het winnen sal of niet; maer hoe veel minder kans（概率） hy heeft om te winnen als om te verliesen / dat is in sich selven seecker / en werdt door reeckeningh uyt-gevonden.

惠更斯用的词是kans. 现在的含义正是概率、probability.

拉丁文的翻译为：
Ut si quis primo jactu una tessera senarium jacerere contendat, incertum quidem an vincet; at quanto verisimilius（概率） sit eum perdere quam vincere, reipsa definitum est, calculoque subducitur.

拉丁文的翻译由惠更斯的导师（？）van Schooten完成，惠更斯在该书中反复使用的词语是kans，而van Schooten为表示这是一个单独的概念，所以他根据上下文用不同的词语来翻译kans.

英文翻译为：
As, if any one shou'd lay that he wou'd throw the Number 6 with a single die the first throw, it is indeed uncertain whether he will win or lose; but how much more probability there is that he shou'd lose than win, is easily determin'd, and easily calculated.

该书的英文版于1714年出版，这是该书现在通常被引用的版本。无论如何probability这个词语开始正式使用。现在荷兰文字中 kans 等同于英文的 probability. 但是我们难以确定在惠更斯之前，荷兰文kans是否与英文chance同义。

以上为概率probability这个词语的来源。

简单讨论一下概率论。对于概率论，恐怕人们关心的第一个问题就是“什么是概率”？可能没有人能回答到底什么是概率。但是对于概率论这个数学理论，我们倒是清楚的。按照现在的处理方式，概率论建立在柯尔莫哥洛夫的公理化体系上，简单介绍如下。

首先，给定一个点集$$X$$. 然后规定$$X$$的某些子集为事件。再用集合运算描述事件之间的关系，即交集$$AB$$对应于两个事件$$A,B$$同时发生的事件，并集表示至少发生一个事件，全集表示必然发生的事件，补

集表示不发生。etc.全部事件的集合，我们用$$\Omega$$表示，其中有上述几种运算。

这里加一个注记：我们也可以由一个命题体系出发，这个体系中的元素为命题，比如“明天下雨”、“骰子人头向上”、“集合$$X$$中取出的点$$x$$在子集$$A$$中”。显然命题之间有关系，也可以由若干命题合成另一个命题，例如，命题$$A,B$$，则有合取$$A\cap B$$，析取$$A\cup B$$，否定$$\not A$$，蕴含（$$A\to B$$）,etc. 概率论也可以定义在命题体系上。

事实上，由Stone关于Boole代数的表示定理，我们知道，命题体系可以转换为某个集合上的子集以及集合之间的关系和运算。

现在我们定义了事件$$(X,\Omega)$$，接下来定义概率。概率定义为函数$$P:\Omega\to[0,1]$$，亦即对每个事件给定一个数值，为实数，在0,1之间，$P$还需要满足下述性质：

1. $$P(X)=1$$.简单的说必然事件的概率为1.

2. 若$$A,B$$为不相交事件，则$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)$$.这一条称为概率的有限可加性。

我们称三元组$$(X,\Omega,P)$$为一个概率空间，或概率系统。对于知道测度论的读者，我们可以简单描述概率空间$$(X,\Omega,P)$$为全空间测度为1的测度空间。对于测度来说，最关键的性质就是可加性。

通常为了能够方便的取极限，第2个公理需要扩充为可数可加性，即对于一列互不相交的事件$$A_n$$，有$$P(\Cup A_n)=\sum P(A_n)$$,等式两边都是对下标$$n$$求和。这对于概率没有本质上的影响，只具有有限可加性而不具有可数无限可加性，只是在导致取极限之后会出现一些病态性质而已。为了方便，我们以后假定这是满足的，事实上柯尔莫哥洛夫公理体系包含这一点。另一方面，按照测度的扩张方式，我们总是可以由有限可加测度得到一个可数可加测度。

我们说过，概率就是全测度为1的测度。将概率和测度区分开来的是一个至关重要的概念，即独立性。

两个事件$$A,B$$称为独立的，若$$P(AB)=P(A)P(B)$$. 独立性也可以叙述为事件$$A$$是否发生不影响事件$$B$$发生的概率。这一叙述需要引入概念“事件$$A$$发生的条件下，事件$$B$$”发生的概率，即条件概率。我们用记号$$(A|B)$$表示条件事件“事件$$A$$发生的条件下，事件$$B$$”.那么条件概率就定义为$$P(A|B)=P(AB)/P(B)$$，用自然语言来叙述就是事件$$A$$发生的条件下事件$$B$$发生的概率。

这里我们给出了概率的两个重要方面：互斥事件概率的加法公式，独立事件概率的乘法公式。

概率续论。公式似乎有点不对。

概率空间的最简单的模型就是所谓的古典概型，也就是具有有限多种结果且每种结果的概率都相同的概率空间。即，必然事件集合$$X$$为有限点集，$$X=\{x_1,\cdots,x_n\}$$，任意子集都表示某个事件（不可再分的原子事件），对每个原子事件$$\{x_k\}$$赋予概率$1/n$.

与其他概率空间相比较而言，人们能够较好的接受等概率的古典模型。这可以解释为人们对于“相等、平等、公平”有一定的偏好，以至于他们能够较好的接受相关的概念。但我觉得如下的解释更好：人们都不愿意吃亏，在人们都不愿意吃亏的前提下达成的协议必然导致等概率分布，或者更一般的导致数学期望这个概念。事实上，在惠更斯或更早的卡丹诺那里我们可以看到这种推理的方式。或者说，在卡丹诺、惠更斯那里，公平的赌博被认当成没有人吃亏的赌博，当然他们没有明确的陈述这一点。这也就是“Dutch Book argument”.

这是关于概率的第三个重要方面，即古典概型。我们看一看古典概型是怎么产生的。以后我们再来分析加法公式和乘法公式的问题。

我现在知道的最早提出古典概型的是卡丹诺，《Liber de Ludo Aleae》(The Book on Games of Chance)第14章，有下述
“So there is one general rule, namely, that we should consider the whole circuit[ the total number of equally possible cases], and the number of those casts which represents in how many ways the favorable result can occur, and compare that number to the remainder of the circuit, and according to that proportion should the mutual wagers be laid so that one may contend on equal terms.”

卡丹诺的"circuit"就是全部可能的结果的数目，"the number of ... the favorable result"表示某事件的全部可能的结果，即子集的元素个数，二者的比值"that proportion" 事实上就是古典概率。

我们来看拉普拉斯对古典概率的定义

The theory of chance consists in reducing all the events of the same kind to a certain number of cases equally possible, that is to say, to such as we may be equally undecided about in regard to their existence, and in determining the number of cases favorable to the event whose probability is sought. the ratio of this number to that of all the case possible is the measure of this probability, which is thus simply a fraction whose numerator is the number of favoravle cases and whose denominator is the number of all the case possible.

这里比值"ratio"就是概率。也就是说，当人们意识到这个比值是一个独立的量，我们就可以说他们意识到了古典概率。分析更早的文献，比如1494年Pacioli的计算，他并没有将这个比值作为一个单独的量来看待，而概率计算在他那里则仅仅是一个代数问题。我们讨论概率的起源，就涉及到为什么更早的时候人们没有分离出来这个比值。古希腊人的数学集中在几何上，而对于代数、算术则没有多少研究，相反阿拉伯人、波斯人、印度人、中国人对此的研究更多，事实上，后面这些文明都差不多在公元1100年或更早就知道了帕斯卡三角。那么问题就转化为为什么这些发展了算术、代数的文明没有率先分离出概率这个比值从而提出概率论呢？

公式除了一个“\Cup”没能识别，一个忘了放在双重“$”之内未能显示外，基本上都是对的。
http://www.changhai.org/album/article_load.php?fid=3&aid=1273108315
提供了将公式嵌入文字的方法，可以避免每个公式独占一行。另外，MathJax在浏览器上的处理速度较慢，因此宜只用于无法用普通字母表示的公式，以免帖子读取速度太慢，甚至导致有些网友的浏览器无力处理。我那篇“谷歌背后的数学”原本也用了大量的MathJax，最后不得不改回了普通HTML。

讨论概率的历史，当然不能不讨论抓阄、抽签、赌博、占卜，等等。

人们对待抽签，有两种截然不同的方式。其一，典型例子就是足球场上通过投掷硬币来决定谁先选择场地。其二，典型例子是在寺庙里面抽签算命。这两种情形下，人们的心态差不多可以说是完全不同的。后者，求签者的心态正如古代的占卜者。

对于占卜，我们从两个词说起。
divine 神圣。
divination 占卜、筮占、卜筮。这两个词有着明显的关联。
由此我们看出来：在古代，占卜与神圣的事物相联系。

对于人们的占卜行为，我们有一个问题：当人们占卜时，他们内心里的想法是什么？他们为什么相信占卜？对于狩猎前的占卜，为什么他们会认为占卜能指示猎物将要出现在何处呢？

对此，我们的解答是这样的：人们相信或者说迷信的并不是占卜本身，人们相信的是占卜后面隐藏着的力量。这种力量可以是神，或一切有着巨大超人能力的事物。人们相信这些神知道猎物将要出现于哪个方向。同时他们还相信，可以通过占卜，让神显示关于猎物的消息。

换言之，占卜基于人们的如下心理：

1，存在超人的事物，为简单起见，我们称之为神。人们敬畏的就是这个神，而不是执行占卜的人。也可以说人们敬畏的不是执行占卜的人，而是其背后的神。

2，上述的神知道一些常人说不知道的事件。这些事件往往是还没有发生的、未来的。

2.5，这是第2条的加强版本。事实上，人们一般假定神知道所有关于未来的事件。

3，某些常人可以通过某些方式知道神关于未来的知识。对于占卜来说，这种人与神之间的沟通方式就是占卜。这也被占卜者解释为：占卜的结果是神的启示，即神谕。而这里的某些人就是指负责执行占卜的人，只有他们才能通过占卜得知神谕。

上述的1和2可以合并为：存在知道未来的事物。事实上，这种事物也就是所谓的“全知者ominiscience”.

我们也可以进一步将上述“存在全知者”与3合并起来，即：某些人可以通过占卜从而知道全知者关于将要发生的事件的知识。也就是说，这是占卜者心中的理论，尽管多数通过占卜来选择行动的人都没有明确地陈述这个命题。如果他们没有意识（至少在一个很粗略的含混的程度上）到这个一般性的命题，那么这些人的占卜行为在他们自己看来也将是不可理喻的。我们也可以反思一下自己为什么不占卜，即我们不占卜的原因。这些原因不外乎以下几点：

1，不存在知道未来将要发生事件的神或者全知者。注意到这个全知者是否存在不能从纯粹逻辑上加以否认，而只能是通过经验的方式来否定。

2，占卜这种行为是随机的，受到概率法则的支配，与我们要预测的将要发生的事件是相互独立的。二者之间甚至没有统计关联，更没有什么因果关系。

当我们谈到占卜受到概率法则的支配时，其含义是指抛掷硬币、烧灼骨头龟甲、动物脏腑，这些与战争的胜负、动物出没的地方，没有任何本质的关联，其间唯一的关系在于如果人们相信占卜的结果，那么这种相信对客观世界的影响与不相信占卜的结果对于客观世界的影响是不完全一样的。这相当于医学中所谓的安慰剂效应，除此以外没有别的相互作用。事实上，严格的说来，占卜这样的随机事件并不受到概率法则的支配，我们只能说随机事件是用概率法则来描述的。概率法则并不是一个事件是否随机的内在机制。当然也可以说，我们希望以最谨慎的方式来使用“支配”这个词汇。

相信占卜能得知神谕，这是古代几乎所有部落都遵守的教条。比如，“上帝之鞭”胡人阿提拉通过羊内脏来判断下一次战役的吉凶，通过烧灼龟甲来决定如何处置殷商王朝皇庭的两条龙（最后的结论是将龙的一种分泌物装起来，后来这东西被周厉王放出来钻到某宫女身上，宫女后来生下褒姒）。

总之，对待抽签，有两种截然不同的方式，其中一个类似于古代的占卜。而以这种方式来对待随机现象、或者不确定性现象，是不可能导致概率这样一个概念的。因为概率的本质之一就是这些不确定现象后面并没有什么事物（或机制）。

重新解读 The die is cast.

公元前60年，执政官尤利乌斯.凯撒 (Julius Caeser) 联合最富有的克拉苏（Crassus）以及颇有声望的军事.Zheng4.治领导庞培 (Pompey)结成联盟，罗马共和国进入“前三头时代”。前58年凯撒的执政官任期结束后被任命管理山北高卢(Cisalpine Gaul 今意大利北部)及伊利亚里（Illyricum 今欧洲东南），并统帅4个军团。刚到任凯撒就发动了高卢战争（前58年至前49年），占领了整个高卢地区（今法国全境）。凯撒由此获得了巨大的声望及财富，再加上前53年克拉苏在东征帕提亚时失败身亡，让身在都城罗马的庞培感到强烈的嫉妒和不安，元老院趁机拉拢了庞培，“前三头时代”随之结束，罗马共和国处于内战的边缘。前50年，庞培领导的元老院命令凯撒解散军队返回罗马，因为其任期已到。显然凯撒看到返回罗马则必死无疑。于是庞培进一步指控凯撒为叛国。凯撒仅率第13军团返回罗马。抵达罗马必经卢比孔河。这是一条很小的河流，仅仅80公理长，是山北高卢和罗马的分界线。根据罗马法，任何军队越过卢比孔河都必须放下武器，向守卫部队缴械投降。这一法条本来就是为防止内战。在罗马人看来，任何军队越过卢比孔河就等于宣战，凯撒要越过卢比孔河就会不可避免地导致内战。“Crossing the Rubincon”meas“passing a point of no turn”. 越过卢比孔河就没有回头路了。凯撒并没有必胜的把握，他的决定不仅仅关系个人的生命安全，而且涉及到整个军团的命运。因而需要慎重地做出是否越过卢比孔河的决定。我们知道历史事实是凯撒很快地率领军团越过卢比孔河发起了内战，快速行军的军团甚至比信使还先抵到罗马城，使得猝不及防的庞培及支持他的元老仓皇出逃，凯撒进一步征战西班牙和埃及最终消灭了庞培的势力。关于凯撒以什么方式带领军队越过卢比孔河，有两种不同的说法：

1，凯撒对着整个军团大声说：骰子已经扔出去了。（The die is cast. 或者The die has been cast.）意即没有退路，只有越过卢比孔河。于是整个军团跟随凯撒越过卢比孔河向罗马进军。这是广为流传的说法，赞同者包括莎士比亚。而“the die is cast”现已成约定用语，表示木已成舟覆水难收的意思，也有破釜沉舟之意。这一说法起源于Suedonius (AD69/75--AD130)苏埃多尼乌斯关于罗马帝国的前12个皇帝的传记《The twelve Caesars》中的《Divus Julius》第32节。“The die is cast”的拉丁文版本“iaca alea est”也广为人知。

2，凯撒说：“Let the die be cast.”字面上的意思是说让我们赌一把，扔骰子来决定我们是否越过卢比孔河。以今天的人对于骰子的看法，生死攸关的关头通过运气来作出决定是荒谬透顶的。但是在古罗马时代，人们的观点与今日完全不同。事实上，当时的人并不具有随机这个概念，他们认为，是神决定了这一切。凯撒肯定是要越过卢比孔河的，于是利用了人们的这种观念，使得他的士兵认为是神决定让军团越过卢比孔河并且神通过骰子给出了这个启示。这减轻了凯撒的负担，也极大的提高了军团的士气，至少他们不再承担叛国的罪名，因为这是至高无上的神谕。事实上，士兵们也不是非要加入内战不可，他们为避免叛国罪完全可以拒绝越过卢比孔河。叛国罪在任何国家任何年代几乎都是最严重的罪行，罗马时代消灭政敌的一个常用做法就是污蔑对手叛国，例如罗马帝国败家子皇帝霍诺留就是这样诬陷斯提里科的（历史学家认为斯提里科是与凯撒、华伦斯坦、拿破仑齐名的军事家）。这一说法来自Plutarch（AD46—AD120）普鲁塔克《Parallel Lives of Famous Greeks and Romans》。根据Plutarch的记载，凯撒当时说的是希腊语，来自他喜爱的一位戏剧作家Menandar（BC 342---BC 291）的作品《Arrephoros》（阿芙洛斯）。普鲁塔克是这样写的： He [Caesar] declared in Greek with loud voice to those who were present 'Let the die be cast' and led the army across. 法国历史学家Tichener 在《To Rule Mankind and Make the World Obey》模拟了当时的情景。

现今卢比孔河位于一个工业区中，是整个意大利污染最严重的地区之一。卢比孔河的自然河道几乎消失了，已经找不到凯撒越过卢比孔河的任何痕迹了。

谈论概率的起源，就不能不谈论其标志性事件，即Fermat与Pascal在1654年的通信。第一封信由Pascal至Fermat，很不幸这封信遗失了，我们现在能看到的是Fermat的回信。Fermat在回信中指出Pascal的一个错误并提出了自己的方法。然后是Pascal的回信，其中他提出了一般的基于组合的方法。

Pascal-Fermat讨论的一个重要问题是赌注分配问题。所以我们下面先讨论一下这个问题。

设A,B两人进行如下的赌博。假设总的赌注为W=100银币或者其他某个数字，到底多少无关紧要，我们也不关心赌注是怎么来的。通过投掷硬币（只有正反两面的均匀硬币）决定赌注归谁。约定投掷硬币出现正面，则认为A获得这一轮的胜利，否则出现反面则算作B获胜一轮。反复投掷硬币，直到某人先获胜m=8轮为止。先胜m=8轮者将获得全部赌注。

我们知道两人获胜的概率都是1/2. 因而这是一个公平的赌博方式，或者说按照其规则A,B两人都不吃亏，也可以说两人都不能事先就占便宜。

假定在赌博进行到中间阶段时不得不终止，比如A,B之一有急事需要处理。设此时A已获胜a=5轮，而B已获胜b=3轮。那么怎么分配赌注是公平合理的？

由排列组合容易得到正确的答案。

令r=m-a, s=m-b, n=r+s-1.

显然再扔 n 次一定可以决出胜负。事实上，再扔n次，下述两种情形刚好有一种发生：|A|>=r, |B|<s, 此时A胜；或者|A|<r, |B|>=s, 此时B胜。这里我们用记号|A|表示A获胜的次数，亦即抛掷硬币出现正面的次数。

故A获胜的概率为$$p=\sum_{k=r}^nC_n^k/2^n$$. 因而A的期望值为 pW,

而B获胜的概率为$$q=\sum_{k=s}^nC_n^k/2^n$$.因而B的期望值为 qW.

由p+q=1可知pW+qW=W，因而A,B两人的期望值之和就是全部的赌注。所以公平的分配方案就是按照A,B两人的期望值来进行，即依照比例p:q进行分配，A获得全部赌注的100p%, 亦即pW，而B获得剩下的100q%，即qW.

历史。

1494年，意大利数学家Paccioli帕齐奥尼在他的著作《Summa de arithmetica, geometrica, proportioni et proportionalita》（算术、几何、比例论总结）中给出的答案是按照获胜轮数的比例进行分配，即两人按照a:b 的比例分配，亦即A获得全部赌注的 a/(a+b)=5/8. 这说明Paccioli还根本没有认识到获胜只依赖于剩余的轮数，亦即每个人还需要各自先获胜多少轮才能获得全部赌注。

50多年后，16世纪中期，对于Paccioli给出的解，Tartaglia考虑了一种极端的情况，即a=1,b=0, 则只获胜第一轮的A在第一轮结束后将获得全部赌注，这是极其不合理的。于是Tartaglia 推断Paccioli的解答是错误的。Tartaglia给出了自己的解答，但他也认识到这一解答的缺陷。经过长期的对这个问题的思考，Tartaglia认为赌注分配问题是无解的，任何分配方式都只能导致争论和诉讼，这是一个法律问题而不是数学问题。Tartaglia与Paccioli一样，也没有认识到每个人获胜的机会只依赖于剩余轮数。

当然我们需要记住在Paccioli与Tartaglia的时代，人们还没有概率这个概念。

Pascal 的解答。

Pascal 设想一种稍微简单一点的情形：每人出32个金币作为赌注，先胜3轮者获得全部赌注。两个人A，B在Pascal那里称为第一个人the first和另一个人the other.

若A，B均已获胜两轮，并且都同意不在进行第3轮，显然唯一公平合理的分配方式就是每个人都获得全部赌注的一半，即32个金币，也就是每个人各自付出的赌注。Pascal没有明确写出这一点，但是他在后面反复用到了这个结论。

接下来，Pascal讨论了如果A已胜2轮，B胜1轮，且两人都同意不进行后面的赌博，此时应如何分配赌注？Pascal论证道：若A胜下一轮，则获得全部赌注；若B胜下一轮，则问题约化为前一种情形，即每人都胜2轮的情形，此时A，B二人将平分全部赌注。Pascal设想A这样对B说：无论输赢，我都将获得至少一半的赌注，即32个金币，所以需要讨论的就是如何分配剩下的32个金币，由于两人获得这32个金币的机会是相同的，所以我们应该平分这32个金币，亦即我将再获得16个金币。这样，我(A)将获得总数为32+16=48个金币，而你(B)获得16个金币。

这个结论和我们现在的计算是一致的。金币的分配也可以计算如下。再赌一轮，若A获胜，则A获得64个金币；若B获胜，则A获得32个金币。由于这二种情形的机会相同，所以A将获得其平均值即(64+32)/2个金币。同样可以计算B将获得(0+32)/2=16个金币。这样的陈述就差不多是数学期望了。而Pascal并没有这样叙述。

接下来，Pascal进一步考虑若A已胜2轮，而B则没有胜过的情形下终止赌博，应该如何分配金币？同样，Pascal从A的角度论证。A对B说，若下一轮A胜，则获得全部64个金币；若B胜，则转化为第二种情形，此时A将获得48个金币，而B获得16个金币。无论如何，A都将至少获得48个金币。所以A应该先等到48个金币，然后只需讨论如何分配剩下的16个金币即可。同样，两人有相同的机会获得这16个金币，所以应该平分这16个金币。那么，最后的结果是A获得48+8=56个金币，而B获得8个金币。

这里Pascal的方法和前面用到的完全相同。

再接下来，Pascal考虑若A胜1轮B未胜，终止赌博，如何分配赌注？若A胜，则转化为上述情形，此时A获得56个金币；若B胜，则两人均胜1轮，故当平分赌注，即A获得32个金币。无论如何A都要获得32个金币，这样56个金币就剩下56-32=24个金币，只需讨论如何分配这24个金币即可。由于A，B两人获得这24个金币的机会相同，故应该各自获得其中的一半，即12个金币。因而A将获得总计32+12=44个金币。这是从A的角度来看。而从B的角度来看，首先B确定无疑的获得8个金币，另外，B还将获得A的剩下的24个金币中的一半，即12个，这样B总计获得8+12=20个金币。两人获得金币的数目相加刚好等于中的金币数，这也说明按照44:20的比例分配是公平合理的，是A，B两人都同意的分配方案。

我们来总结一下Pascal的推理过程，或者说其中所包含的一半性原理。投掷只有两面的骰子，若正面朝上，则A获得x个金币；若反面朝上，则A获得y个金币。假设正面朝上与反面朝上是机会均等的。则A将获得(x+y)/2个金币。我们按照Pascal的方式来得到这个数字。设x>y. 则无论正反面朝上，A都将确定无疑地获得y个金币。所以A先分到y个金币。但是A本来有机会获得x个金币，注意到x>y，也就是说，A还有机会得到x-y个金币。显然A获得金币的机会与不能获得金币的机会是相同的，所以A应该获得其中的一半，亦即(x-y)/2个金币。二者相加，即y+(x-y)/2=(x+y)/2，此即A应当获得的金币数。

所以Pascal确实导出了数学期望的数值。我们再加上两个说明。

其一，Pascal在1654年7月29日致Fermat的信中说：“the value of the stake of the other player only”，“Being given any number of throws that one wish, to find the value of the first”. 此处Pascal说的“value”就是我们现在的“ expectation”，即数学期望。当然这个名字是稍后（数年后）惠更斯给出的。

其二，Pascal也考虑了投掷骰子出现6点的情形，并在一个复杂的计算中得到正确的答案。这说明他计算的值并不仅仅限于均匀的骰子。

关于赌徒Chevalier de Mere，德梅尔，1607-1684，法国作家，共出版了6本谈话录。原名Antoine Gombaud，要说明的是他本来并不是贵族，他在Mere接受教育，在书中他以骑士(chevalier)的口气进行谈话，后来他的朋友们就以chevalier de Mere（来自德梅尔地区的骑士？）来称呼他。在他所处的时代，de Mere并不以赌徒的身份闻名于世，事实上，他是一个自由思想家，不相信继承的权力、.Min2.主，他相信解决问题的最好方式是在一群有智慧、想象力和才智的人之间进行的公开讨论。de Mere也是一个业余数学家，也被说成是一个有不同寻常的数学能力的赌徒。

de Mere在赌博中遇到了不少问题，我们在Pascal-Fermat的通信中可以看到至少3个不同问题。Pascal解决了所有这些问题，只在其中一个问题中犯了一个小错误并为Fermat所指出。我们有理由相信de Mere进行了很多次的赌博，或者说抛掷过很多次骰子并作了记录。

我们叙述一下德梅尔的另一个问题。考虑两个赌博。

其一，抛掷骰子4次得到至少一次6点则获胜。

其二，抛掷两枚骰子24次至少出现一次双6点（两枚骰子均为6点）则获胜。

容易算出，第一个赌博获胜的概率为1-(5/6)^4= 0.517746914. Pascal给出了这个具体的数值。亦即长期来说，若在这个赌博中双方均下注w, 则平均获利0.0177.
而第二个赌博获胜的概率为1-(35/36)^24= 0.491403876.故长期而言，平均每局赌博损失0.0086. 德梅尔观察到了这个现象，或者说德梅尔发现这样赌博是要输钱的，但是德梅尔不一定清楚到底输多少。他没法解释这个事情，于是他向Pascal请教。对这个问题，Pascal没有给出具体的数值，只是说：“If one undertakes to throw double sixes with two dice the disadvantage of the undertaking is 24.”德梅尔似乎不大相信这个结果，对此，Pascal说：“This is what was his great scandal wich made him say haughtily that the theorem were not consistent and that arithmetic was demented.”

德梅尔为什么向Pascal请教？很简单，Pascal是一个众所周知具有极高天才的数学家，16岁就写出了射影几何的专著，并发现了以他的名字命名的Pascal定理。按照其智力你说，属于数百年一遇者。德梅尔，作为一个积极参与沙龙活动的人，当然知道Pascal这个人。而且Pascal也不仅仅是一个数学家，他同时也是一个思想家。

Pascal这样谈论德梅尔：he has ability but he is not a geometer( which is, as you know, a great defect). 就是说德梅尔不懂几何，这是一个巨大的缺陷。

Pascal也谈到Fermat以及他自己的方法（都是正确的），很多方面都不能为德梅尔所理解。比如德梅尔没法理解在每人先胜3局而A 已胜2局B已胜1局的赌注分配问题中，为什么要假装每一次赌博都进行了刚好2轮，因为显然接下来若A胜1轮就结束了。Pascal还对Fermat说，如果你能想办法让德梅尔接受这一点，就完美(perfect)了。

非常有意思。

希望没有干扰你的思路，请继续，期待后续。

em...楼主的概率论专题写得还是挺有意思的

关于德梅尔的那一段，需要修改一下，这里只发修改后的。

德梅尔为什么不相信 Pascal的结论？

事实上德梅尔并没有认识到第二种赌博方式是不利的。

早期德梅尔的主要赌博方式就是抛掷骰子4次得到至少1个6点，即上述的第一种。由此德梅尔积累了不少财产。后类德梅尔决定改变方式来赌博，即抛掷2枚骰子24次至少获得1次双6，也就是上述第二种。德梅尔通过观察发现后者不像前者那样，前者获利更多。于是他请求Pascal为他解释其中的原因。一个骰子有6种可能性，为得到单个6点抛4次；两个骰子有36种可能性，为得到双6抛24次。在德梅尔看来，二者没有多大差别，因为4/6=24/36.当然这是错误的。另外，德梅尔似乎对第二种赌博也没有足够多的经验，因为他认为第二种也是能够获利的。

Pascal-Fermat的通信。

讨论并解决了德梅尔提出的三个与赌博相关的问题。

Pascal在1654年7月29日致Fermat的信中解释了数学归纳法，并且说他的所有结论都是用这个方法来证明的，“people should admit this to be an excellent typr of proof”，“All that I have proved in arithmetic is of this nature”. 人们都能理解这个方法，但是Pascal是第一个用这个方法来证明数学定理的人。

除开讨论德梅尔的问题之外，在通信中，Pascal对几何感兴趣，而Fermat则注重于数论。比如Fermat向Pascal介绍$$2^{2^n}+1$$为素数这一猜测，但Pascal说“find someone elsewhere to follow you in your discoveries concerning numbers”.

Pascal和Fermat都毫无保留地赞赏对方的方法。Pascal说“Your last letter satisfied me perfectly. I admire your method for the problem of points, all the more because I understand it well. It is entirely yours, it has nothing in common with me, and it reaches the same end easily.”（1654年10月27日）。

Pascal与Fermat的健康状况都较差，尤其是Pascal，甚至行动都有困难。Fermat邀请Pascal去访问他，并说“If you do not agree to this arrangement, you will run the risk of seeing me at your house and of thus having two ill people there at once.”

暂时打断Pascal--Fermat关于概率的通信。

概率的两种含义。

对于概率，人们首先会问的问题，几乎肯定是：到底什么是概率？这个问题很难回答。

从Kolmogorov的公理化体系出发，我们将任何满足该公理体系的都称之为概率。当然事实上，在定义概率时，也同时定义了哪些事件可以赋予概率，甚至也定义了事件之间的条件概率等等。

我想，当人们问什么是概率时，他们并不仅仅是讨论的一个数学概念，也就是说不仅仅是说的某个满足Kolmogorov公理的数学体系，而是某个与现实世界相关的对象。

通常有两种不同的方式来回答概率与现实世界的关系。其一，客观概率，也就是从频率的角度来理解概率。其二，主观概率，也就是从信息不完全，或者人的认知能力受到限制这个角度来理解，此时，概率表示人们对于某个结论的信赖程度。我们也可以说这是概率在现实世界如何运用的问题，亦即统计问题，无论如何，以下我们仍然称之为概率问题。

举个简单的例子来说明概率的二重属性。

A抛掷一枚均匀骰子，扣住，观看结果，但并不告诉B. 那么骰子为6点的概率是多少？
显然骰子已经处于一个确定的状态，或者是6点，或者不是，等价地说就是，骰子为6点的概率或者为1，或者为0. 另一方面，对于B来说，B并不知道骰子到底是不是6点，因而B认为骰子是6点的概率为1/6. 没有人能否认B赋予“骰子是6点”的概率为1/6是合理的。前者为客观概率，后者为主观概率。因而这个例子中，客观概率与主观概率就不是一致的。当然我们也可以说，前者描述的是骰子的状态，后者描述的对象则是一个人，即B，而不是那枚骰子，确切的说，主观概率描述的是“B对于骰子处于6点这一事件的信心”。

将概率解释为频率，其基础是由Bernoulli发端的大数定律。Bernoulli在论述大数定律时说：“如果我们能把一切事件永恒地观察下去，则我们终将发现：世间的一切事物都受到因果律的支配，而我们也注定会在种种极其纷纭复杂的现象中认识到其必然性。”
诚然，如果我们能无限制地观察下去，就可以得知支配客观世界的因果律，即使这个因果律仅仅是概率意义上的，我们也可以宣传掌握了这个规律。但是，问题就在于任何人都没有能力观察无限多次，所以Bernoulli的梦想总归是不可能实现的。这事实上也就是统计学的心头之痛。因而我们总是只能在有限多次观察之后来做出推断，对于涉及概率的事件，我们永远只能对之做出统计推断，也没有人能宣称“由数据可以证明结论”，或者当人们说这句话的时候其含义实质上还是“推断”而不是真的“证明”。

将概率解释为主观信念。马上就会遭遇如下问题。主观信念当然是对于不同的人来说的，每个人都会有不同的主观信念。那么，为什么人们都会同意抛掷硬币出现正面的概率为1/2. 更要命的问题就是从主观信念的角度，无论如何都不能解释大数定律，不能解释为什么自然现象并不依赖于某个人的主观信念，或者说不论你是否相信月亮存在，都不能改变月亮引起的潮汐的高度；也无论中世纪的基督教信徒如何相信针尖上可以站多少个天使，天使终归并不存在。当然这样的话就有点离题了。不相信客观规律、大数定律，终究会受到惩罚。当然，真正的懂得概率论的人，即使将概率解释为主观信念，他们也并不反对大数定律，甚至也并不反对概率的频率解释。

客观频率与主观信念，实际上可以看作是同一个概念—概率的两个方面。或者也可以说得稍微抽象一点，客观概率与主观概率是相互对偶的。但这样说的时候，我们又引入了一个新的名词：对偶。这也是一个难以解释的概念。也有人称之为概率的二元性。但是无论怎样取一些新的名字，本质上的困难并没有减少，只不过以某种方式隐藏起来而已。

另一条途径是给客观概率和主观概率分别取一个新的名字以示区分，然后声明二者之间有什么样的关系。但是这样的建议没有得到多少人的响应，可能根本就没有几个人认真看待二者之间的差别。确实，这两个概念的基本法则相同，甚至二者在多数时候本来就是一致的。进一步说，按照大数定律，当观察数据趋向于无穷多时，二者都会趋向于同一个极限值，也就是事件发生的真实概率，人们都能获得Bernoulli意义下的客观世界的因果律。

总之，概率具有两个不同的解释：客观频率和主观信念。其间经常不可调和，但又往往是一致的。

词语含义的精确化。

从probability概率一词看语言的精确化。

首先我们简单讨论一下“精确化”一词的含义。什么是语言的精确性呢？或者我们这样问道：“精确”一词的精确含义是什么？如果我们将之解释为“不模糊”，那么就需要解释“模糊”的含义，而这是困难的。事实上，所谓语言的精确性，可以解释为无歧义，也就是没有多种含义，亦即只有单一的含义。这样理解的话，语言的精确化就等价于语言含义的单一化，或单纯化，或纯化purify. 一个词语，其含义越少，歧义也越少。下面，我们就以这种方式使用“精确”这个词语，即没有歧义。如果你觉得这样理解“精确”一词不是恰当的，那么可将下文中的“精确”置换为“无歧义”。

概率或者随机性，有许多类似的词语包含这些含义。比如机会、机遇、不确定性、可能性、偶然，等等。我要说这些词都不只是具有概率或者随机的意思，还有更多的含义，也可以说某些词的含义要更具体些。

我们先来看一下“机会chance \\ opportunity”这个词语。我的观点是“机会”并不等同于“随机”。比如当人们说“这是赚钱的机会”时，不仅仅表示这（赚钱）是一个可能的事件，而且还有一种向他人推荐这个机会的意思。当人们说“这是赚钱的机会”时，本来也意味着“这也可能是赔钱的”，但他们并不事先特别声明这一点，即使有人反问，他们也会强调赚钱的机会而不是赔钱的可能性。也就是说，通常人们提到赚钱之类有利可图的机会时，他们指的是“好的机会”，即可能性较大的机会。反过来，当人们提到一件可能导致损失的事件时，他们指的通常是“这是一个不好的、坏的可能性”。如果我们用概率或者决策的语言来叙述，那么，他们的意思是说，在“赚钱的机会”这句话里“机会”一词其实是指“好的机会”，值得去做的“机会”。无论如何，“机会”的含义比概率或随机要广泛，也就是说除了随机之外，还有其他含义。

再来看看“不确定性uncertainty”一词。与“概率”一词，相比较而言，不确定性一词更加具有主观意味。稍微说得严格一点，不确定性是指可能的结果很多，而每一个的可能性都不大，于是就显得每一种结果都不太确定。

“偶然”一词，显然是在强调该事件发生的可能性较小。

也许，我们也可以用“可能性”来代替“概率”。但是即使“可能性”这个词也不及“概率”的含义更加单一。

对于这些词汇的简单分析，我们得到这样一个结论：表示可能性的词汇很多，其中的多数都不止表示可能性，具有最小含义的词汇就是“概率”或者“随机”。

回顾我们前面对于probability这个单词的历史的介绍。我们知道这个词语是很晚才广泛采用的，可以追溯到的最早的历史是惠更斯，在英语中的使用始于对于惠更斯著作的翻译，正是在这个翻译中，翻译者用probability来翻译惠更斯的kans, 此后才得以广泛使用。为什么惠更斯著作的翻译者会造一个新词“probability”，我们现在无从考证。其实我们更关心的是这样一个新造的词汇立即得到了人们，尤其是数学家的广泛赞同。我想原因其实并不复杂：在所有这类词汇中，这个新造的词汇引起的误解、歧义是最小的。这也是当Kolmogorov提出公理化体系后，数学家在概率的问题上终于不再被哲学所困扰了，他们在这方面也给予Kolmogorov极高的评价。可以这样说，概率这个词包含的歧义或者含混之处已经降到一个很低的程度。而今概率仍然有两种含义，即主观概率和客观概率，二者差别不小，又使用同一个单词，但是人们一般并不会混淆这两种用法。或许我们可以考虑进一步纯化（含义单一化）概率这个词，方法就是引进两个新的词汇分别表示客观概率与主观概率。

总结：我们将语言的精确性解释为含有歧义的程度，那么一个概念的精确化就是指这个概念的定义（通常是一个名词）的含义变得单一。

题外话。关于语言的精确性。

这里简单提一下两个概念：1，统计学中的置信水平；2，模糊数学中的模糊度。

这两个概念有一个共同的问题。我不说怎么分析的。只说我的意见。这两个概念都不是纯粹的数学概念。因为这两个概念中，人们事实上使用了“置信confidence”和“模糊fuzzy”这两个词语的自然含义。也就是说，如果你把这两个词换作其他的词汇，其含义就会产生变化。

提出模糊数学的扎德（L.A.Zadeh,1921--）在给他的体系命名时，其实考虑了多种选择，但最后他选择了“模糊”这个词。我并不反对他的体系、公理、定理。但是，作为一个数学概念而言，当人们谈到模糊数学的“模糊”二字是，他们并不仅仅是指满足Zadeh公理的数学对象，还包含了这个词汇的自然含义。用我们前面的话来说，就是说“模糊”二字不精确，带有歧义，另外，人们甚至故意不区分 “模糊”在模糊数学中的含义与其现实世界中的含义。如果我们按照Hilbert说的那样做，将模糊数学中的“模糊fuzzy”二字换作其他的，比如“Kot”，也应该没有什么影响。但是模糊数学恰恰不能做到这一点。

如果在统计推断中，将置信水平confidence level换作其他的某个词语，我们随便选一个，比如“Mot level”,那么我敢说，将没有人知道这个量是干什么用到，除非他把这个量转换成“置信水平confidence”.

对于这样的“数学名词”，我取了个名字，叫“semi-math term”,即“半数学概念”，因为其另有含义，正如前述。

这段时间拉丁文被热议，忽然想起了这个系列，其中好几处涉及拉丁文。我精通拉丁文吗？我熟悉拉丁文吗？我认得几个拉丁单词？分得出哪几个词是拉丁文还是英文？

还涉及了荷兰文。我可以确信一点：拉丁文、荷兰文，我都不认识，估计水平与某大叔的英文水平不相上下。

另外，粗略浏览了一遍，发现最后还捎带讨论了一番模糊数学，并发明了“半数学概念”，完全没有印象了。

尼斯大公选举

威尼斯共和国或公国，为意大利北部城市共和国。位于亚得里亚海北岸。始建于公元687年，1797年为拿破仑•波拿巴所灭，历时1100年。.Zheng4.治经济中心都在威尼斯城。

威尼斯大公Doge of Venice，是威尼斯的最高执法官、行政官、军事首领，不是一个世袭的贵族称号，与一般的公爵Duke不同，是由选举产生的。同期通过选举确立大公的还有热那亚公国。

莎士比亚的名著《威尼斯商人》中做出最后判决的就是威尼斯大公。

1172-1229年间威尼斯大公选举程序：

每年由12人提名威尼斯大议会中的4人，由这4个人选出一个40人委员会，最后这40人委员会选举威尼斯大公。1229年的选举没有能选出大公，原因应该是出现了20：20的选票，于是委员会的人数增加到41人。

1268-1797年间的威尼斯大公选举程序：

通过抽签从大议会Great Council of Venice中选出30个成员，这30个人通过抽签选出其中9个，这9个人选出40个成员再通过抽签选出这40个中的12个，这12个人选出25个成员再抽签选出这25个人中的9个，这9个人选出45个成员，这45个人通过抽签选出11个，这11个人选出41个成员。最后由这41个人选举威尼斯大公。其中的选举，大公的选举需要得到41个人中的至少25人的同意，11或12人选举中需要至少9人同意，9人选举中需要其中至少7人同意。

其中有几个步骤当中，要反复抽签来选出成员代表。上述选举程序可以说是相当复杂的，搞得如此复杂的原因是要尽可能的排除人为控制。

由此可以推知，威尼斯人认为：人不能控制抽签的结果。另外我猜测人们已经认识到抽签的结果并不是由一个至高无上的神灵所主宰的。

托斯卡纳是15-16世纪位于意大利的一个公国. 托斯卡纳大公是一个沉迷上瘾的赌徒. 他发现了一个现象，抛掷三枚骰子，点数之和为10要比9出现得更频繁一些.另一方面，从理论的角度，他认为点数之和为10和9是一样的. 因为均有6种方式得到10和9这两个数字. 如下，

6+3+1=10, 6+2+2=10,
5+4+1=10, 5+3+2=10,
4+4+2=10, 4+3+3=10.

6+2+1=9, 5+3+1=9,
5+2+2=9, 4+4+1=9,
4+3+2=9, 3+3+3=9.

1560年，托斯卡纳大公请卡丹诺解决这个问题. 结果卡丹诺没有能给出正确的答案.

50年之后，大约1610年. 伽利略的科学研究得到了托斯卡纳大公的继承人的赞助. 伽利略也考虑了上述问题并给出了正确的解答.

容易看出托斯卡纳大公的错误在于：三枚骰子是有区别的. 比如，三枚骰子的点数依次为 631 和 316 是不同的. 而托斯卡纳大公将其当作了同一种方式. 实际上，点数分别为 136 一共有 6 种情形而不是 1 种，即：136, 163, 316, 361, 613, 631.

三枚骰子的点数之和为10的概率为 27/216.

三枚骰子的点数之和为9的概率为 25/216.

三枚骰子的点数之和为10比9稍大.

这是伽利略与概率的一点故事. 伽利略还没有走到用分数来表示事件发生的可能性这一步. 我们可以明确的说在伽利略的年代，概率这一概念还没有建立起来，这是无可争议的. 正如我们将概率论的发明权明确地归功于帕斯卡和费马，还没有人对此有任何争论，连喜欢用萌芽来形容中国古代科学技术的中国科学史专家都没有抢过发明概率论这个优先权.

在伽利略那里，以及赌徒德梅尔那里，并不是用概率来叙述事件发生的可能性的大小，而是说在所有可能的情形中，获胜的有多少个--称为机会数或机遇数，失利的有多少个.比如三枚骰子点数之和为10的机遇数为27，点数之和为9的机遇数则为25.

伽利略的计算说明当时的数学水平确实很低. 另一方面也难以想象卡丹诺这样的一个既是长期沉迷的赌徒又有数学教授职位的人物竟然不能解决这个问题.

BTW，中国科学史专家认为中国古代萌芽了资本主义、无穷大极限、数论等等.

有趣。

伽利略解答了托斯卡纳大公的问题。但是历史上曾经有人正确地回答过一个非常接近的问题，可以说回答这个问题的人也必定能给出托斯卡纳大公问题的正确解答。

一部成书于1226-1266年之间的拉丁语语韵文诗 《De vetula》（意为“on old woman”，老妇人），作者伪托为Ovid，此书中的一个段落即用韵文的形式给出了抛掷3枚骰子的点数之和的分布情况，实际上是既给出了托斯卡纳大公的数字，也给出了伽利略的数字，并且由此可以立即看出托斯卡纳大公的错误之所在。

人们猜测此书的真实作者为Richard de Fournival(1200-1250)，但未被广泛接受。

《De Vetula》成书于1226-1266年之间，正式出版于1470年. 奇怪的是，此书作者已能正确计算抛掷三枚骰子的点数的分布情形，而成书三百年、出版100年后的人们居然反而不会计算这个问题了，甚至当时最著名的学者如卡丹诺等人都不知如何下手.

书中的相应段落如下，下文为David由拉丁文翻译成的英文，中文随后。

"
If all three numbers are alike, there are six possibilities;
if two are alike, and the other different, there are 30 cases,
because the pair can be chosen in six ways, and the other in five;
and if all three are different, there are 20 ways,
because 30 times 4 is 120 but each possibility arises in 6 ways.
There are 56 possibilities.
But if all three are alike there is only one way for each number;
if two are alike and one different there are three ways;
and if all are different there are six ways.
The accompanying figure shows the various ways.
"

原文为诗歌形式，此处经过重新分段。作者以韵文的形式叙述了同时投掷3枚骰子的所有可能的情形。先计算了组合数字，即不考虑骰子的顺序，总共有56=6+30+20种可能性。后面计算了排列数字，即考虑顺序，总共有216=6+30×3+20×6种可能性。

“
若所有3个都相同，则有6种可能的结果；
若两个相同，另一个不同，则有30种结果，
因为相同的两个有6种选择方式，而另一个不同的还有5种选择；
若所有3个互不相同，则有20种结果，
因为30乘4等于120，但是每一种可能性都由6种方式所导致；
一共有56种可能性。
但是，若所有3个都相同，那么每一个数都只有一种可能性；
若有两个相同，另一个不同，则有3种可能性；
若所有3个互不相同，则有6种可能性。
这样我们就得到了所有可能的方式。
”

为什么百年后反而不会计算？
跟‘中国两千年前就引入负数，而西方很晚才接受负数’不同吧

来自网络
[1] 西方最早在数学上使用负数的是一本印度数学文献，Brahmagupta写于628年的
BrahmaSphuta-Sidd'hanta。它的出现是为了表示负资产或债务。
在很大程度上，欧洲数学家直到17世纪才接受负数的概念。

[2] Tartaglia 先发现了 x^3+px=q 的解，第二天发现了 x^3=px+q 的解，后来又发现了
x^3+q=px 的解。注意到，在Tartaglia看来，他解决了三类不同的方程，在三个不同的时间。
而任何现代的读者对此都会感到奇怪，因为他们都会毫不犹豫地认为这几个方程没有区别。
这之间的差异在于在Tartaglia的时代，欧洲人还没有接受负数和0这两个概念，
因而x^3+ax^2+bx+c=0这样的式子是没有意义的。

对于一元三次方程来说，我们认为只有一类，即 x^3+ax^2+bx+c=0.

与之相比，十六世纪中叶之前的欧洲人却认为一共有13种不同的类型

根据武侠小说，中国古代赌博兴旺（赌神、赌圣、陆小凤银钩赌坊、楚留香、赵无忌、轩辕三光、快活王），但没有形成概率的意识。

中国是千术（智术／诈术）发达，脑子都用那去了。

突然想到一个大概可算是中西之别的，老中研究如何破坏规则获利（盘外招），白大哥研究规则本身，所以概率是不可能被老中率先发现的。

有道理。港剧《千王之王》可能更重视千术，而不是计算彩票漏洞那样。反观美国电影《决胜21点》是在规则允许范围内操作。果壳网有个文章
http://www.guokr.com/article/73244/
2011-11-15 19:36
WinFal”爆出了一个存在已久的漏洞。让人惊奇的是，一对 73 岁的夫妇
已经利用这个漏洞 赚了超过 600 万美元 。