第一个问题：线性代数的源头。
我想说明的是：线性代数的源头并不是解线性方程组，而是一个几何问题。
如果要在线性代数中选出一个最重要的概念，我想只能是“秩rank”这个概念，舍此无他。
线性代数这门数学理论建立起来的标志就是提出了“秩”这个概念，其他的消元法、行列式等等都不没有“秩”这个概念这样具有代表性。
据此，进一步，会解简单线性方程组的秦九韶就不能被当作提出了线性代数这个理论。
再进一步，追溯线性代数的起源就不能简单的归之于解线性方程组。从历史上看，解线性方程组并没有导致数学家提出秩这个概念，比如秦九韶这样的对数学有很大贡献的数学家会解线性方程组但是完全没有秩的概念。实际上，秩这个概念的源头应该说是如下的问题：
一方面，两个二元三次方程，或者说平面上的两条三次曲线一般来说有9个交点。
另一方面，又可以证明了一般来说，平面上的9个点唯一地确定一条三次曲线。
这两个结论是互相矛盾的。这个矛盾的现象是1744年9月30日Cramer在给Euler的信中提出来的，现在被称为Cramer悖论。当然我们现在知道事实上Cramer悖论并不是真的悖论，用线性代数的概念可以很容易地解释这个矛盾。为了化解这个矛盾，数学家注意到线性方程组中可能有一些多余的方程，最终归结到秩这个概念上。但是直到Cramer提出他的悖论之后又过了差不多100年，数学家才提出了秩这个至关重要的概念。
参考：
http://www.matrix67.com/blog/archives/3803
http://en.wikipedia.org/wiki/Cramer's_paradox
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lifubo  发表文章数: 522 |
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第二个问题：线性代数公理。
给定集合X, 及X上的二元运算(x,y)->+x+y, 数乘运算 r*X->X, (k,x)->kx, 特殊元素 0, 且X中的每个元素都对应着另一个元素，可称为负元素，若满足如下8个公理，--略去这8个公理的具体内容--，则称 (集合X, 加法，数乘，特殊元素0, 负元素) 为一个线性空间。 然后，线性代数课本都会这样叙述，为了简单起见，简称集合X为一个线性空间。然而，很多人都忘了这一点。事实上，仅仅集合X并不构成线性空间，只有和那些附加的结构合在一起，才能称为一个线性空间。也可以这样说，在定义线性空间的时候，我们不能仅仅定义这个空间中的元素，即向量，还必须同时定义这些向量的运算以及满足的运算律。 推之于更一般的情形，我们可以这样说，一个数学对象必须作为一个整体来定义，抛开这个整体，光是其中一个部分不足以成为我们所讨论的数学对象。这句话更加宽泛，但是就有些含混起来，所以还需要加上一些说明，以免被脑残人士拿来作为论据。就以线性代数为例，如果我们忘记了线性空间的定义中的数乘这个部分，或者我们写漏了，那么我们得到的就不是线性空间这个数学对象，而是另一个数学对象，即“交换群”。 现在我们将这个看法用到其他地方。 比如实数理论。实数可以从有理数扩展得到。前面我们对于线性空间的讨论使得我们得到这样一个一般的论点：数学对象是一个整体。从有理数扩大到实数，并不仅仅在有理数集合中将所有的无理数添加进去，而是至少还包含了如下一些方面的扩张： 1，无理数的运算。比如，原来在有理数范围内不能任意开方，现在实数这个对象与有理数相比较而言，就添加了开方这样一个运算。 2，“任意”“存在”等等这些逻辑量词的应用也得以扩张到实数集合。也就是说，我们在有理数这个对象上定义了“任意、存在”的用法，当我们将对象从有理数扩张到实数时，也附带着改变了这两个词的用法。由此，我们看出数学哲学中荒唐透顶的直觉主义认为非构造性的证明是应该被禁止的这个观点事实上等价于说我们不能如此扩展逻辑量词“存在”的用法而已。 一个给定的理论，是一个整体，如果你改变其中的一部分，或者减少其中一部分，那么得到的将是另一个理论。我们这里并不断言哪一个理论更加优越，只是要说这两个理论是不一样的。改变欧几里得平面几何第五公设，所得数学理论就不再是平面几何而是另一种几何学，比如双曲几何或者黎曼几何。 那么这个说法用之于直觉主义，我们的做法就是，你在“可构造”的含义之下使用“存在”这个量词，那是你的事，你直觉主义对于存在一词的用法的扩张不是我们大多数人的选择；我则使用“不是任意都不”作为“存在”的含义。也可以这样说，直觉主义不过是说，存在和可构造是一个意思，这样，他们的字典就比非直觉主义者要贫乏一点，至少后者的字典中二者并不相同，直觉主义者浪费了一个大好的名词。
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lifubo 发表文章数: 522 |
理论是一个整体。否定这个理论只需要否定其中一条就可以了。再举一例。人们发现天王星的轨迹与牛顿万有引力的预测值有所偏差，我们知道，最终的解决是说存在另一颗行星即海王星，这个行星的存在干扰了木星的轨迹。对此，颇有一帮有伪科学倾向的科学哲学家煞有介事地发展了一套说辞。预测天王星轨迹的理论=万有引力理论+观察值+假设只有那几个已知的行星等等。那么，预测天王星轨迹的理论出错，就并不等同于万有引力理论出错，而是有可能另外的部分出错。事实就是如此。
再举一个脑筋急转弯的例子。 问：“为什么冬天大雁飞到南方去？”答：“大雁不能走到南方去。” 这个问题中包含若干个部分，该答案其实是再回答冬天大雁“为什么飞”到南方去，问号加在“飞”这个字上。 神童 Terrence Tao 对于选择公理，亦即Zorn引理有过一个类似的做法。即Zorn引理等价于“每个链都有上界但不存在极大元的不是集合”，我写过一个帖子介绍过，不过当时没说这是Tao的观点。Tao的这个观点和我们的说法从本质上说是一致的。
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River  发表文章数: 85 |
有人讨论一个问题：如何理解行秩和列秩相等。（注意并不是讨论证明）
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zhangqq  发表文章数: 549 |
只用考虑方阵的情况。非方阵用添0元素的办法凑成方阵。
方阵相似于秩为r的对角阵（Ir， 0），Ir为r阶对角单位阵。 转置方阵当然也相似于秩为r的单位对角阵。 即存在非异阵P，P-1AP＝（Ir， 0）， －1表示逆矩阵，‘为转置 当然P'A'(P')-1 =(Ir, 0)，A和A'等秩，行秩等于列秩。 我这个不是证明。
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River 发表文章数: 85 |
我不敢说你这个是不是证明，如果说证明，各种各样的证明，例如北大版的《高等代数》的证明）
不过我觉得应该不是题目所期待的叙述。^_^ 期待的说法类似： 1）行秩等于列秩是对偶的结果，对偶的对偶等于自身（顺便说一句，对偶是数学上一个普遍的现象） 2）线性算子和其对偶算子两者所属的线性空间拥有相同的维度
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zhangqq 发表文章数: 549 |
非要多说几句的话，特征值比秩更本质，承接着线性算子谱理论。
所以是不是停在秩上展开讨论太不够了（最多算非零特征值的个数？），特征值才是前进的动力？ 我记忆有限，都忘了，说错的大家别笑话。
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zhangqq 发表文章数: 549 |
我刚才翻了下复旦的《高等代数》，P450，习题6（iii）是对偶原理。
20多年（细算也近30年了）前曾做遍这本书的习题，稍微有点印象，细节都很模糊了。
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River 发表文章数: 85 |
1）我的理解，线性变换的矩阵表示的转置不单是将矩阵的元位置挪挪，而是该线性变换的对偶，行秩是线性变换的像空间的维数，列秩是线性变换的对偶的像空间的维数，行秩等于列秩说明线性空间与其对偶空间具有相同的维数。行秩等于列秩表明秩是对偶的不变量。
2）秩等于非零奇异值的个数，大于或等于非零奇异值的个数（可以大于，例如A=[0 0;0 1]) 3）20-30年前，好久远。
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zhangqq 发表文章数: 549 |
我去翻了Hungerford写的《代数学》（冯克勤先生翻译，世图也影印过的一本GTM），第VII章命题2.4，线性变换和它的对偶映射有相同的秩。供参考。
其实我前面说的习题也是一个意思。
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River 发表文章数: 85 |
我知道你的习题是这个，不过不容易找到电子书就是了（纸质书没有）。
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dfj 发表文章数: 282 |
楼主可否再仔细谈谈Cramer悖论？
我一开始想到的解释是，能够作为两个三次曲线的交点的那类“九点组”是很特殊的九点组，这类九点组的测度在所有九点组里为零。这种解释很直观但不严密，在一些网页里也有。 但我又看到另外一种解释：九个点未必真的可以确定一个三次曲线，这是因为虽然可以列出九个方程，但九个方程未必独立。我试着列了一下方程，发现不能很容易的看出对应的行列式为零(这是解不唯一所要求的)。 作为一个不太有名的悖论，网上的讨论不多。我个人比较倾向于第一种解释，但楼主以及楼主给的网页的观点似乎是第二种。不知楼主或其他各位可否仔细谈谈？还是我理解有误？ 采取第一种观点的参见：www.physicsforums.com/showthread.php?t=181740 "So: a pair of cubic curves intersect in 9 points, but these are nongeneric. A generic set of 9 points determines a unique cubic, but omitting any one of these allows us to pass a one-parameter family (pencil) of cubics through the remaining 8. These then determine a unique additional point, forming a nongeneric set of 9 pinch points common to the entire pencil; that is, any pair of curves from the pencil intersect in precisely these 9." 这里有个类似的观点： books.google.com/books?id=DoG8QjF5q58C&pg=PA193&lpg=PA193&dq=cramer%27s+paradox&source=bl&ots= 5e_HMwA8D1&sig=hV1zQaI1UPAvITAs5pafYM5dTp4&hl=en&sa=X&ei=bPlFU_ryMMjh0w HXmIHwCA&ved=0CCgQ6AEwADgK#v=onepage&q=cramer's%20paradox&f=false
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dfj 发表文章数: 282 |
抱歉网址太长影响了网页布局。若必要站长可以删除那个太长的网址。
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dfj 发表文章数: 282 |
也可能我误解了楼主的观点，因为也可以这么理解：
固然一般九个点唯一确定一条三次曲线，但有些特殊的九点组不能(而这就是“多余的方程”所指)，而两条三次曲线相交得到的九点组便属于这类特殊的九点组。 这里需要证明的就是，两条“一般的”三次曲线相交得到的九点组不是“一般的”九点组。而这似乎不显然，比如，至少两条一般的直线相交得到的点仍是一般的，两条一般二次曲线相交得到的四点组似乎也是一般的（这个我不确定，凭感觉说的）。
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dfj 发表文章数: 282 |
Plucker和Jacobi证明了：
两条n次曲线相交产生的n^2个点里面，只有n(n+3)/2-1个点是独立的。 换句话说，由所有可能的两条n次曲线相交产生出来的n^2点组组成的空间，其维度比所有n(n+3)/2点组组成的空间低1。虽然不是很难的定理，但至少“低1”这一点在我看来不是显然的。 在n=1和2时，碰巧n(n+3)/2-1=n^2，所以所有两根一次曲线相交得到的一点组和所有两根二次曲线相交得到的四点组分别组成“一般的”一点组和四点组。
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lifubo 发表文章数: 522 |
1，一般，或者generic这个词，可以从测度的角度出发，也就是余集为0测集，但是更好的说法的是代数簇，那么generic就可以定义成余集为低维代数簇的集合。
2，关于Plucker,Jacob等人的结果。我这里是想讨论线性代数的起源，我是想说明线性代数的起源和线性代数课本上的讲法并不一致，从逻辑上说解线性方程组完全可以导出线性代数理论，课本上也是这么引入的，但是历史上并不如此。我们当然要问一个为什么：为什么线性代数理论没有从解线性方程组而是从一个几何问题发展出来？ 3，任何数域上都可以定义线性空间，但是除非完备域，其他数域并不适合讨论特征值或者说谱。例如，实数集合可以看做有理数域上的一个线性空间。有理数域上的线性空间，或者一般的域的线性空间，讨论矩阵的特征值没有多大价值。
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River 发表文章数: 85 |
不讨论有理数域上的线性空间的特征值，是因为类似‘几乎所有的整数矩阵没有整数特征值’么？
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zhangqq 发表文章数: 549 |
lifubo兄才是行家，大家忽略我的发言吧。
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lifubo 发表文章数: 522 |
第三个问题：线性空间的构造
给定一个集合S={a,b,c…} 那么，线性代数提供了一个简易的方法从S出发构造一个线性空间。 很简单，考虑有限形式和的全体 k1a1+k2a2+…+knan, 其中ki为数字，实数、复数或有理数等等，ai是集合S中的元素。这种有限形式和的全体构成一个集合，称之为X. 很容易看出可以在集合 X上定义加法、数乘这两种运算，也很容易定义特殊元素0以及每个元素的负元素，并且也同样很简单地可以验证其满足线性空间的8条公理。 于是从集合S出发可以得到一个线性空间X, 重要的是，S可以看作线性空间X的一部分。 也就是说，任何事物都可以看作线性空间的一部分。 比如，S={桌子，板凳，电脑}。 那么可以构造三维线性空间X, 其中的元素形如“k桌子+l板凳+h电脑”。 也许你要问：这样做有什么意义？根号-1个桌子 加上 根号2个板凳 减去 \pi个电脑是什么东西。 当然这里不应该加上“个”这个量词，但不用公式表达的话，数字和符号就混在一起了。 但是我一点都不关心这个意义问题。所以我懒得回答这个问题。 o o 我要说的最终的东西是：量子力学的线性。 我要说的话是：我们都认为量子力学的线性叠加是一个难以理解或者说奇怪的或者说神奇（不同的人有不同的形容词）的性质，现在我们明白了，任何事物都是满足线性叠加的，都可以强行赋予一个线性结构。所以量子力学的线性叠加也就不是一个什么值得关注的值得大惊小怪的问题了。换一个说法，我们消解了“量子力学的线性叠加是神奇的古怪的”这个说法。再换一个说法，我们的结论是量子力学的性质当中，线性叠加不是要点。
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dfj 发表文章数: 282 |
"也许你要问：这样做有什么意义？根号-1个桌子 加上 根号2个板凳 减去 \pi个电脑是什么东西。
当然这里不应该加上“个”这个量词，但不用公式表达的话，数字和符号就混在一起了。 但是我一点都不关心这个意义问题。所以我懒得回答这个问题。" ------------------------------------ 问题就是，在量子力学里，你不得不关心这个问题 --- 好吧，或者你可以不关心，但很多人关心。 “根号-1个桌子 加上 根号2个板凳”是什么意思？ 在经典物理学里你不必关心这个问题，因为经典物理学里没有这样的对象，也不会有人问这样的问题。 但在量子力学里，实实在在存在这样的对象，并且会影响观测值，不考虑这种东西给出的结果就不对了。比如一个简单例子，就是氨分子NH3的能级。其能量本征态是左态和右态的叠加，这种叠加给出特别的跃迁，在实验室和天体物理都很有用，而绝不仅仅是一个随意的定义。 更别说让很多人想破脑袋的态塌缩问题了。量子不可克隆也跟量子态的线性性有关。
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dfj 发表文章数: 282 |
固然我们可以随意把一堆风马牛不相及的东西放到一起做成一个线性空间，但真正“有用”的线性空间是那些有实际意义的，不会有数学家或物理学家真的把酒瓶桌子苹果放到一起来搞个线性空间 --- 除非这里的酒瓶桌子苹果只是一个代号，是为别的有数学/物理意义的东西起的名字（比如你可以把沿x方向的单位矢量叫做酒瓶，把沿y方向的单位矢量叫做桌子）。
回到量子力学，它的线性性之所以“神奇”，就是因为这种线性性不是人为强行赋予的，而是“自然”的，可被实验证实的，并且是缺了就不行的。神奇的不是泛泛的线性性本身，而是自然界 --- 具体的，物理系统的量子态 --- 竟然真的满足线性叠加性。
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