Jordan代数

Pascual Jordan于1933年提出一个代数结构，现在被称为Jordan代数。

定义：若线性空间，及其上的双线性映射（Jordan乘积），记作x*y，满足下述公理，则称之为Jordan代数：

1, 交换律。x*y==y*x.

2, Jordan恒等式。(x*y)*(x*x)=x*(y*(x*x)).

在Jordan代数中，结合律 (x*y)*z=x*(y*z) 一般而言不再成立，亦即Jordan代数是非结合代数。Jordan代数具有的较好的性质是乘积的交换性。与通常的算子代数比较起来，丧失了结合律，但获得了交换律。也可以反过来说，虽然得到了乘积的交换律，但却失去了结合律。怎么说都可以，就看你想强调什么。

特殊Jordan代数。

给定任意一个结合代数，其上的乘积记作xy. 由此可以诱导一个Jordan乘积，定义为：

x*y=(xy+yx)/2.

有这种方式诱导的Jordan代数称为特殊Jordan代数，而其他的Jordan代数称为例外Jordan代数。

对于任何数学对象，一个基本的问题是这种对象有多少个，怎么分类，给每一类赋予一个或者多个指标，并以此来区别不同的类别。当然，本质上相同的对象不作区分。另外，通常我们可以将两个或多个（也可以是一个）研究对象以某种方式合成一个新的对象，我们也称这个新的对象是，并称其可以分解为原来那些对象的合成。所以笼统的说来，分类问题是指分类那些简单的不可分解的对象。在代数学中，这些不可分解的对象通常就是单代数。

对于任何代数结构A（对于Jordan代数是指向量空间及其上的双线性乘积），我们都可以定义其双边理想 I 为：对A中任意a，I中任意x，都有a*x 及 x*a 仍然在 I 中。若A只含有两个平凡理想（即A自身和由一个元素0构成的理想），则称A为简单代数或单代数。

这样我们就有了简单Jordan代数。对任何代数结构A来说，一个基本的构造是通过理想I构造商代数B=A/I. 反过来，也可以由I 和B通过代数扩张来得到新的结构A. 扩张问题往往涉及到上同调。此处略过。

对于Jordan代数来说，其分类问题就是指出所有互不同构的简单Jordan代数。

这个问题的答案出人意料，而且很简单：只有一个例外Jordan代数，其他的都是特殊Jordan代数。由这个答案，我们看到特殊Jordan代数这个名字显得多少有点古怪。

唯一的例外Jordan单代数也很简单：全体3*3的8元数矩阵，乘法定义为x*y=(xy+yx)/2.

这个例外Jordan代数被称为Albert代数，是一个27维的实线性空间。

其中xy是两个3阶8元数矩阵的乘积。注意到8元数的乘积不满足结合律，因而3*3的8元数矩阵的乘积也不满足结合律。

Jordan, von Neumann, Wigner 于1934年分类了有限维形式实Jordan数。Efim Zelmanov于1979年分类了无限维Jordan代数。Zelmanov获得了1994年Fields奖。

由于上述的分类定理，我们知道Jordan代数的数学结构是贫乏的：除开一个27维的代数之外，都可以由普通的结合代数诱导得来，因而也就归结为结合代数理论。

Jordan代数对于数学的贡献应该说不在于Jordan代数结构本身（由于上述的分类定理），而是主要在于激发了非结合代数的研究，虽然Jordan代数本身差不多归结为结合代数。

1，Pascual Jordan第一个提出了Jordan代数，其目的是发展一种可观察量observable的代数理论。一个很大的问题是没有人知道Jordan乘积的物理含义是什么。确切的说，对于可观察量x，y，其Jordan乘积(xy+yx)/2表示什么样的可观察量呢？

相比较而言，换位子（或对易子）[x,y]=xy-yx，有着较为明确的物理含义。

2，Jordan代数，根据Von Neumann，Zelmanov等人的分类定理，Jordan代数作为一个数学对象来说是贫乏的，或者说，没有给出多少新的数学结构。这个结论有两方面的含义。其一，一些人因此对Jordan代数表示失望，似乎Jordan代数没有给出对于量子力学的新的解释、新的洞察力。其二，我认为Jordan代数的贫乏，恰恰表明了量子力学具有某种唯一性，当然前提是Jordan代数确实可以用来描述量子力学，换言之，回到第一个问题，即Jordan乘积到底是什么含义。

Jordan代数是不是与代数群有点关系？我记得T.A.Springer写过两本有关的书：1，Jordan Algebras and Algebraic Groups；2 ，Octonions, Jordan Algebras, and Exceptional Groups，with Ferdinand D. Veldkamp。

昌海兄，你的网页支持Latex吗？要是支持Latex的话，就可以比较方便的打数学公式了，像mathoverflow那样。

支持，可参阅下面这个介绍：

http://www.changhai.org/community/article_load.php?aid=1273108894

Très bien !! Merci beaucoup !!!

不知道在Linux系统里相不相容？

应该相容，如果你可以看到介绍贴中的公式，就说明相容。

虽然Jordan乘积的物理意义并不清楚，但Jordan代数也有一个优点。

考虑全体有界的自伴算子构成的集合，则换位子（对易子，commutator）[A,B] 并不是自伴的，[A,B]'=-[A,B]，所以严格地说，[A,B]并不是衡量 A,B 交换程度的物理量。而i[A,B]是自伴的，即{i[A,B]}'=i[A,B]，但这就需要自伴算子定义在复数域上，也就将实数的情形先验地排除了。

Jordan乘积 A*B 则没有这个问题，即两个自伴算子的Jordan乘积仍然是自伴的。

于是，Jordan乘积是自伴算子集合上的一个自然的代数结构，而对易子（Lie括号）则不是。

另一方面，Jordan乘积 A*B=(AB+BA)/2={(A+B)^2-(A-B)^2}/4. 因而若我们在某个集合上可以定义加法以及平方，那么就可以由此定义Jordan乘积。注意到两个自伴算子 A,B 的复合 AB 一般而言并不是自伴的，除非二者相交换。