张三和李四相距100公里。两人相向行走，张三和李四的速度都是每小时走2公里。张三出发时带着一条狗，狗的速度是每小时8公里。当狗遇到李四，它即刻掉头往回跑，当遇到张三时再掉头跑，就这样它在两人之间不断跑来跑去。问：当张三和李四相遇时，狗走了多少路程？
这是一道小学数学比赛题。当两人相遇时，一共走了100 / (2+2) = 25小时，所以狗走了8 x 25 = 200公里。
将题目改成出发时狗在李四那里，其他不变。很明显，答案也是狗跑了200公里。实际上，刚开始时狗在两人之间的任何地方，答案都是一样的。
如果现在将问题反过来：
张三、李四和狗在同一地点，两人背向行走，狗在两人之间跑来跑去，各自的速度都不变。当两人相距100公里时，狗在什么地方？
答案是狗可以在两人之间的任何一点！！
因为将前面问题中的过程拍成视频，倒过来播放，就是现在的问题。而前面狗在任何一点出发，最后的结局都是相同的。
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快刀浪子  发表文章数: 216 |
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卢昌海  |
这是一个没法定义初始条件的问题，因此不存在确定答案。题意所描述的狗的跑动只能对开区间t>0定义。只有在这个开区间里选定一个时刻并给出该时刻的初始条件，答案才能确定。
 宠辱不惊，看庭前花开花落
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lifubo  发表文章数: 522 |
狗的初速度无法定义。
所以，这个问题，不是well defined. 不是悖论。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
两位厉害！
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那一剑的寂寞  发表文章数: 47 |
前一个问题是：带初始条件的，有一个不变量的线性问题
后一个问题是：不带初始条件的，有一个不变量的非线性问题。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
撞球悖论——能量守恒吗？
A、B两点相距1米。现在有无数个小球，假设每个小球的质量为m，半径为0。 把小球1放在A点，把小球2放在小球1和b点中间，小球3放在小球2与b点中间、小球4放在小球3与b点中间………… 在时刻0，小球1以1米/秒匀速向小球2运动。1/2秒后小球1和2弹性碰撞，小球1静止，小球2向小球3运动。又过了1/4秒后小球2和3弹性碰撞，小球2静止，小球3向小球4运动…… 1/2秒小球1静止，1/4秒后小球2静止，1/8秒后小球3静止…… 因为1/2+1/4+1/8+……=1，所以1秒以后所有的小球都静止。 0秒时小球1的速度为v，1秒以后所有的小球速度都为0。违反了能量守恒定律！
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UUU 发表文章数: 69 |
如果在B点也放上一个球，那么1秒以后这颗球不是静止的。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
想了想，这完全是一个逻辑问题，与物理无关。
一方面，对任一个小球n来说，当它从运动变成静止时，小球n+1从静止变成运动。而小球1开始时是运动的。所以任一时刻都有一个小球在运动。 另一方面，根据题目中的推理，得出1秒后所有的小球都静止。出现矛盾。 关于无穷的问题真是令人困惑！
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UUU 发表文章数: 69 |
这里的矛盾源于你一开始给定的系统不是封闭的。如同物理现实中一把没有端点的尺是不存在的。这个现象对应于数学上的概念叫做非紧的(noncompact).
比方说你只看小球1，他在1/2秒时由运动变成静止，但你不能说这时能量不守恒，只是动能传递到小球2上了。类似的，在1秒以后，动能传到B点处新加的小球上了。 这个无限的模型还带来这么一个事情，没有任何一个小球碰到B点处的小球，但他却在1秒时开始运动了。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
::这里的矛盾源于你一开始给定的系统不是封闭的。如同物理现实中一把没有端点的尺是不存在的。这个现象对应于数学上的概念叫做非紧的(noncompact).
现在的任务是要找出推理中的错误，把问题归结为不封闭的系统还不够
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宇澄  发表文章数: 273 |
快刀喜挑三尺浪
高手怔对零码波 这便是问题的症结所在。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
撞球悖论有点类似于无穷旅馆。小球1占了小球2的位置，小球2占了小球3的位置，……，总是有足够的位置，从而没有一个小球可以达到b点。
换个角度思考。两个小球碰撞交换速度，效果相当于一个小球穿过另一个小球。这样看，小球1可以轻易地穿过所有小球达到b点，并继续向前。 觉得撞球悖论是芝诺悖论的变种，芝诺悖论其实还没有彻底解决。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
前面的回帖中有一个错误，重新整理一下。
1秒后小球静止的理由： 根据题目中的推理，得出1秒后所有的小球都静止。 （撞球有点类似于无穷旅馆。小球1占了小球2的位置，小球2占了小球3的位置，……，总是有足够的位置，从而没有一个小球可以达到b点。） 小球永远运动的理由： 换个角度思考。两个小球碰撞交换速度，效果相当于一个小球穿过另一个小球。这样看，小球1可以轻易地穿过所有小球达到b点，并继续向前。 因为小球1实际上不能穿过其他小球，所以最后继续运动的小球不是小球1。尽管不知道是哪个小球，但肯定有一个小球穿过b点并继续运动。 （有点类似扔炸弹问题。尽管不知道炸弹在哪里爆炸，但1秒后炸弹肯定爆炸了。）
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UUU 发表文章数: 69 |
楼上:小球永远运动的推理明显是错的，没有最后一个小球.你的模型不等价于小球1穿过所有小球.只有在b点也放了一个小球以后，他们才会等价。
不知道楼上在纠结什么。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
：：楼上:小球永远运动的推理明显是错的，没有最后一个小球.你的模型不等价于小球1穿过所有小球.只有在b点也放了一个小球以后，他们才会等价。
去看看客栈这个帖子吧： http://www.fxkz.net/viewthread.php?tid=7642&extra=page%3D1 很多人持和你相反的观点，而且也和你一样是自信满满
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UUU 发表文章数: 69 |
相信真理掌握在少数人手中，特别是在新客栈。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
谦虚了，直接说“真理掌握在自己手中”最好
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UUU 发表文章数: 69 |
我只是表达一下对新繁星客栈的失望。我是看着（老）繁星客栈一步步变"新"的，然而实在是新不如旧，于是更加怀念从前，发几句牢骚。
快刀兄也是前辈了，对于这个问题，您是真的不能辨别谁对谁错，还是你根本没有认真思考？ 我不是盲目相信自己是对的，而且我知道在茶室一定有很多人有类似的解答。我甚至觉得大家可能认为这个问题太简单而保持沉默。现在连站长也惊动了，不知道你会慑于权威而接受呢，还是去认真想明白？
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
::对于这个问题，您是真的不能辨别谁对谁错，还是你根本没有认真思考？
我认真思考了，但还是没有弄清楚哪个观点对 ::现在连站长也惊动了，不知道你会慑于权威而接受呢，还是去认真想明白？ 你说呢。 站长的帖子我在那边回复了
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
：：意思是说，如果穿越的时候交换号码，就无法区分碰撞还是穿越
那个帖子满了，先跟到这里。 刚写完就觉得这句话有问题，碰撞时有力的作用，穿越时没有 还要再想想
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
：：如果穿越的时候交换号码，就无法区分碰撞还是穿越
如果把撞球悖论完全看成是数学问题，只考虑时间速度，无需考虑力的作用 穿越的时候交换号码，确实无法区分碰撞还是穿越
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UUU 发表文章数: 69 |
快刀兄，碰撞版里面不会有粒子可以到达1点，这点你自己证明过，每个粒子的运动都被限制到他和他的下一个粒子之间，而且没有最后一个粒子。
昌海兄，我说的全同性当然是虚拟的，只是为了解释快刀兄提的穿越与碰撞的等效性只在于能量层面而不是粒子层面。如果真的将粒子也等同起来，碰撞就不是经典物理现象了，这个问题的解答也就可以延拓出去了（听起来似乎是废话，全部等价起来穿越版和碰撞版就是一回事，当然可以延拓）。但这个全同性在经典力学里是不存在的。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
:: 快刀兄，碰撞版里面不会有粒子可以到达1点，这点你自己证明过，每个粒子的运动都被限制到他和他的下一个粒子之间，而且没有最后一个粒子。
是的。但我认为这还不算解决了悖论，解决悖论必须击败所有粒子可以达到1点的论证。 如果两个粒子的不同，仅仅在于它们号码的不同。而穿越的时候，它们交换号码，那么穿越和碰撞看上去就是完全一样的。那为什么穿越版和碰撞版会有不同的结果呢？
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UUU 发表文章数: 69 |
如果两个粒子的不同，仅仅在于它们号码的不同。而穿越的时候，它们交换号码，那么穿越和碰撞看上去就是完全一样的
=============== 这两句话本身是矛盾的。穿越的时候，它们交换号码，说明除了号码以外你还是把他们区分开了，否则你怎么知道换了号码？这和你说的它们只靠号码区分是矛盾的。
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UUU 发表文章数: 69 |
我想我明白快刀兄的意思，如果粒子没有区分，物理状态是由质量分布来决定，那就可以延拓到1以外了。原因是这种情况下，速度矢量的分量之间满足对称性，也就是说速度矢量其实是一维的，由速度大小决定，延拓当然不是问题。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
这样说有没有问题？
两个小球的不同仅在于号码的不同。当它们接触时，号码变化了。这时无法区分是碰撞还是穿越
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UUU 发表文章数: 69 |
见前贴，小球不需要号码，他们完全相同，只有位置不同。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
UUU兄，你那个帖子没有反驳我的论证啊
顺便说一下，两个小球除了位置不同其他完全相同这个假设太特殊，不需要这样的假设，除了位置不同号码也不同才是更普遍的假设
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
总结一下我的疑问。
1、 不同的小球只能观察到它们的号码不同，其他方面观察不到区别。当一个穿过另一个时，号码发生交换。 于是当t<1时，无论是碰撞和穿越，观察到的现象是完全一样的。那有什么理由说，在t=1时一个有意义，一个无意义呢？在t<1时，我们根本无法区分哪个是哪个 2、 交换号码穿越版，在t=1时，第一个小球到达b点，但现在它上面的号码无法确定（这时它的位置在定义域内，而号码不在定义域内）。那么相应地在碰撞版是不是也有一个号码无法确定的小球到达b点？ 如果说交换号码穿越版在t=1也无法谈论小球的位置，那不合理。因为与普通穿越版比，变化的仅仅是号码，小球的运动情况并无变化，这样两个穿越版在任何情况下小球的分布应该是一样的
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
再补充第3点：
碰撞版。 任一个小球n的静止时间为：1/2+1/4+1/8+……+1/(2^n)，这个时间小于1。所以小球n在1秒钟也静止。 既然任意一个小球在1秒时静止，那整个系统在这时不是静止么？为什么谈论系统在1秒时的状态却无意义？
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卢昌海 |
回快刀兄：
数学中所谓不同的点并不需要什么可观察量来区分它们，对它们进行编号只是因为我们总得用个办法来称呼它们，而不是因为要靠编号才使得它们成为可以区分的东西，更不会因为编号可以交换就使得它们变成不可区分。 退一万步讲，即便真如你所说，点的区分可以因编号的交换而混淆，穿越版与碰撞版成为相同问题的不同描述，而无实质差别，那也只能得出结论说对这个问题按穿越版的方法来描述是一种聪明描述，它适用于整个t>=0，而按碰撞版的方法来描述是一种笨拙描述，它只适用于t<1。这也并不构成悖论，因为描述方法有优有劣不足为奇，就像广义相对论中的史瓦西外部解只能描述r>2m，而更高明的解则可以描述r>0一样。 对于你的第三点理由。我的看法是你实际上首先假定了t=1时刻系统的状态存在，然后论证这个状态只能是所有小球都静止。这跟我引述的那个证明最大自然数是1的做法类似。我再举一个类似的例子：考虑一个离散时间t=1,2,3,...问题，用e_t表示第t个单位矢量（即第t分量为1，其余分量为零），显然序列{e_t}在t趋于无穷时是没有极限的。但如果我们认为存在一个无穷大时刻t=∞，且该时刻序列有一个值，那么我们可以证明那个值一定为零。因为对于任何一个分量t=n，它归零的时刻为t=n+1<∞，既然任何分量都是如此，那么序列{e_t}在t=∞就只能是零。这个例子与你那第三点的区别只是将等距离的离散时间改成了非等距离的离散时间，两者都没有右端点，而推理的前提则都是：1.添加右端点；2.假定在该点处所考虑的性质存在。然后推理出那个被假定为存在的性质是怎样的。你这个例子比我这个例子高明的地方是添加右端点这一步显得更容易被接受，因为t=1是一个有限值。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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卢昌海 |
再补充一点：对快刀兄的第三点理由也可以退一万步说，假定这种先假定存在性再论断性质的做法可以被允许，那么在做完后必不可少的一个步骤就是复核结果，因为这是对存在性假设的间接检验。像最大自然数是1的结果就会在复核中被抛弃（同时也间接证明了存在性假设是错误的）。对所有小球都静止的结论也不例外，需要进行复核。复核的依据就是题意所包含的无碰撞时小球速度不变这一特征，这意味着t=1的状态如果存在，必须与t<1的状态光滑衔接（因为该时刻没有碰撞）。所有小球都静止显然满足不了这个条件，因此必须像最大自然数是1那样被抛弃，同时也间接证明了假定t=1时刻状态存在是错误的。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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UUU 发表文章数: 69 |
快刀兄：
1、 不同的小球只能观察到它们的号码不同，其他方面观察不到区别。当一个穿过另一个时，号码发生交换。 =================== 前面说过，这句话就是矛盾的，给你后面的歧义奠定了基础。如果只有号码不同，你是看不到一个穿过另一个，然后交换号码的现象的。你只能看到两球走到一起，然后就是碰撞，因为接下来运动的球（号码）变了。只要你说交换，就说明号码不是小球唯一的标志。 2、 交换号码穿越版，在t=1时，第一个小球到达b点，但现在它上面的号码无法确定（这时它的位置在定义域内，而号码不在定义域内）。那么相应地在碰撞版是不是也有一个号码无法确定的小球到达b点？ =============== 上面说，交换号码就没有穿越。如果号码是小球的唯一标志，当你无法确定号码时，就没有小球。这时不存在第一个小球，因为这时你用了另一个方法区分小球。 再补充第3点： 碰撞版。 任一个小球n的静止时间为：1/2+1/4+1/8+……+1/(2^n)，这个时间小于1。所以小球n在1秒钟也静止。 既然任意一个小球在1秒时静止，那整个系统在这时不是静止么？为什么谈论系统在1秒时的状态却无意义？ ====================== 首先要分清楚是数学解还是物理解。物理解答前面说过了。从数学上来说，t=1时是有解的，就是小球都静止，他对应于速度是零。于是运动轨道在这点的切向量为零。这一切在数学上没有矛盾。然而从物理上看，问题在于这个点不是物理状态，因为它违反昌海兄说的，没有碰撞速度不会改变。
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UUU 发表文章数: 69 |
快刀兄：无论你用什么方式标示小球，要看是穿越还是碰撞，只要看运动的小球到底是一个还是无限个。只要小球不一样，这总是能做到的。
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卢昌海 |
:: 然而从物理上看，问题在于这个点不是物理状态，因为它违反昌海兄说的，没有碰撞速度不会改变。
这里有个误会，我并不是在讨论物理，也没有从物理中引进任何东西。"没有碰撞速度不会改变"乃是题目本身的要求，没有这个要求，我们甚至不能推出t=1/2时第一个小球到达了x=1/2，整个题目就不复存在了。这个问题虽然因为用到了小球、碰撞、速度、乃至能量守恒等术语而披上了物理的外衣，实际上是单纯的数学问题。我的所有讨论都是从数学角度进行的。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
我完全赞同昌海兄的观点！
我确实信服了。这是屈服于逻辑，不是屈服于权威:-)
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
to UUU兄：
我赞同昌海兄的反驳，不同意你的反驳。由于我已经放弃了原来的观点，所以理由就没必要再说了。 问一下，那个无穷旅馆的问题。 新来的房客拿了100元进来，其他房客都没拿到这100块钱。那这100元哪里去了？ 这个问题你是如何解决的？
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UUU 发表文章数: 69 |
昌海兄说的对，问题应该放在相空间来求解，而不是在位置空间。这个问题在t=1时相空间里是无解的，尽管投影到位置空间，解可以延托到t=1.
另外要提一下fubo兄说到的双重极限不可交换。通俗的说，想问题的思维习惯是，我们容易先把时间取极限t=1,然后考虑任意的前n个质点的状态（这个问题对任意n都是有解的），然后让n趋向无穷大。这时得到系统是静止的。 而实际的情况是，这无穷个质点是一个系统，我们必须先考虑让n趋向无穷,然后t趋向1时的极限。问题是，这个极限是不存在的。 这里面隐藏着时空中同时和同地的不对称性。
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UUU 发表文章数: 69 |
问一下，那个无穷旅馆的问题。
新来的房客拿了100元进来，其他房客都没拿到这100块钱。那这100元哪里去了？ 这个问题你是如何解决的？ ============= 快刀兄，这是同一个问题，房客就是粒子，100元就是动能。问题在于最终的状态，指所有房客都住进无穷旅馆，就如同粒子是在位置空间的状态，而不是相空间。要保证钱一定在房客手上，交易中止是没有意义的，因为它们本身就是矛盾的陈述。
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UUU 发表文章数: 69 |
补充说明一下：在考虑快刀兄无穷质点的问题时，通常的思路是按照小球运动的空间点来做等空状态分析，因为大脑很难直接处理无穷的概念。而系统确是按照等时进行演化的。不知道我表达的到不到位。
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
to UUU兄：
就是说，交易会永远进行下去，不会停止的？有点类似潜无穷的看法
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
to 昌海兄：
还有个问题请教一下。 假设在某个世界中，小球是穿越还是碰撞在观察上完全无法区分。人们提出两种理论，一种认为是穿越，一种认为是碰撞。这两种理论预测的唯一不同是：穿越说认为1秒钟时有小球在b点，碰撞说在1秒钟时无意义。 那怎么检验这两种理论呢？ 1秒钟时检查一下b点有没有小球？但碰撞说在1秒时根本没有定义，也无从检验。 还是说，不用检验就知道碰撞说肯定是不对的。
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卢昌海 |
:: 还有个问题请教一下。
首先可以确立的是：这个直径为零的无穷小球问题在任何世界里都不是物理问题，因此不存在通过观察判明对错的可能性。 剩下的就是从数学上判断了。但要从数学上判明，需要有一个数学模型。比如首先要定义"小球是穿越还是碰撞完全无法区分"在数学上如何体现。从你前面的贴子看似乎是说小球指标的随意交换可以被视为是小球本身的交换，这相当于说速度矢量中各分量的次序是可以被变动的（因为次序对应于小球）。这种矢量的分量位置可以变动的数学是一种完全陌生的数学。在这种数学里，连最简单的矢量运算（比如加减、相等）都变得有歧义了（因为通过改变分量次序可以得到不同结果），几乎不可能发展出有意义的东西来。当然，或许还有其它模型，那需要具体模型具体分析。 宠辱不惊，看庭前花开花落
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卢昌海 |
另外，如果你问的是有两个数学理论，都描述同一个问题，且在各自适用范围内都是自洽的，只不过一个无法描述t=1，另一个可以。究竟哪个是对的？则答案通常是：两个都正确，只不过一个的适用区域较小而已。这在数学上是很常见的情形。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
谢谢昌海兄，明白了。
尽管撞球悖论和炸弹悖论的答案相同，都是1秒时无意义，但觉得撞球悖论难很多。 经历过无数次的辩论，毫无疑问，昌海兄在我所遇到的人中最厉害
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快刀浪子 发表文章数: 216 |
昌海兄，我又想到了几个问题:-)
1、 衔接问题 穿越版。在t<1时，小球1的前面总是有无数小球。但在t=1时，它前面的小球为0。而小球1在时刻t=1却没有穿过任何小球。按理说没有穿越时，前面的小球数应该不变。 2、 一个小球序列，小球的摆放位置和原题目一样。现在在时刻0，把小球1拿掉，1/2秒把小球2拿掉，再过1/4秒，把小球3拿掉…………。现在问：在t=1还剩下多少个小球？ 两种解答方法。 a、考虑另一个小球序列，是碰撞版。当哪个小球开始运动，就把上面那个序列相应的小球拿掉。由于碰撞版在t=1无定义。所以问t=1还剩下多少个小球并无意义。 b、考虑另一个穿越版的小球序列。t=0，把上面序列的小球1拿掉。当发生穿越时，就把被穿越小球对应的那个拿掉。这样当t=1时，一个小球也没剩下。 哪个答案正确？还是类似于昌海兄前面所说的对同一问题的不同数学描述 3、 无穷个质量相同的小球排成一列，左边第一个小球向右运动，其余的静止。 可证明，经过无数次碰撞后，所有的小球都静止。 因为任一小球n在第n次碰撞后静止，而n<∞。所以所有小球在无数次碰撞后都静止。 这个结果是违反直觉的，不知这个证明对不对。
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卢昌海 |
快刀兄，我现在要赶一些稿子，暂时无暇继续这一话题的讨论，但在有空整理以前的讨论内容时，我会首先看一看这些最新问题，以确定是否对我以前的回答造成影响，以及是否应该包含对这些新问题的讨论以使内容更全面。在我缺席期间，其他网友如果感兴趣，请先跟快刀兄讨论讨论。
宠辱不惊，看庭前花开花落
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