完全弹性碰撞不可能发生穿越这样的现象。

左边小球和右边小球发生完全弹性碰撞，之后，左边的仍然在左边，右边的还在右边。

设点1/2,3/4,7/8,15/16,...处放置的小球质量均为m，容易证明，极限点处放置的球质量必须大于等于m，体系才能将时间的定义域延拓到1/2秒之后。极限点没有放球可以看作放置的球的质量为0.

在这些讨论中加入全同小球、交换号码，我觉得偏离了主题。

设想，点1/2处的小球质量为1/2，点3/4处的小球质量为3/4，如此等等。这时，问题没有太大改变，体系能否延拓到极限点，问题依旧，但这时再也没有全同、穿越这样的可能性了。

另一个不同的质量序列，点1/2处小球质量3/2，点3/4处小球质量为5/4，点7/8处小球质量为9/8，点15/16处小球质量为17/16，如此等等。

上述两个小球的质量序列是单调上升或者单调下降的。也可以考虑既不单调下降也不单调上升的质量序列。

完全弹性碰撞，过程中动量与能量守恒。但是我们通常只对于两个小球定义了完全弹性碰撞，而没有定义一列有极限点的小球无限靠近位于极限点上的小球时的完全弹性碰撞。所以，我们面临的问题也可以说是，如何将完全弹性碰撞的定义推广到这种无限多个小球的情形。这一推广需要满足动量与能量守恒。

设点1-1/2^k处的小球质量为m_k，且均为静止。若序列m_k没有极限，则容易证明，每一次碰撞都会损失一些能量，确切的说，向着极限点方向运动的最前面的那个小球的能量小于前一次碰撞后的小球的能量，并且，当k趋于无穷时，这个最前面的小球的能量会趋于0，此时，这个序列就不可能和极限点处的小球发生碰撞了。

因此下面假设m_k有极限，设极限为m. 进一步，不妨设第k个小球碰撞后的速度v_k也有极限，设极限为v>0，当k趋于无穷时。假设极限点处有一个质量为M的静止的小球。于是为了将弹性碰撞推广到这种情形，一个合理的假设是，相当于有一个质量为m，速度为v的小球（我们可以将之称为左边小球的虚拟极限），与另一个质量为M，且静止的小球发生完全弹性碰撞。

现在，由完全弹性碰撞的公式，可以计算出静止的球的运动，这个不重要，重要的是，左边的小球序列，在这个碰撞后的运动状态。如果m>M，那么，左边的小球序列的虚拟极限小球的运动速度将仍然大于0，仍然要向右运动。这必然意味着小球会发生穿越这样不可能的事件，这和我们在两个球时得到的结论相悖，于是，我们得到结论：如果小球序列的质量的极限大于静止在极限点处的小球质量，那么，这个体系也不能定义完全弹性碰撞，亦即，完全弹性碰撞并不能推广到这种情形。

现在，假设，m<=M.

其一，m=M.这个较为容易，不讨论。

其二，m<M.这时我们不再考虑极限点处的小球，仅仅考虑小球序列。我们需要讨论在什么条件下，这个序列的小球的运动可以良好的定义，注意，仍然需要保持动量和能量守恒。我得到的条件是：相邻小球的质量之差的平方和收敛。至少这是一个充分条件。

下面谈一下相反的过程，即小球序列，静止，这些小球有一个极限点位于其右方，现在，假设极限点右方有一个小球向极限点处运动，与小球序列发生完全弹性碰撞。这时，要定义这个完全弹性碰撞，条件仍然是小球序列的质量的极限大于右边运动小球的质量。当然，我们也可以通过伽利略变换，假设右边小球静止，而小球序列以某个固定速度向其运动。这个条件当然，等价于右边的小球被小球序列弹回去。

没看懂

设点1/2,3/4,7/8,15/16,...（极限点为1）处放置的小球质量均为m，这些球笼统的称为小球序列。极限点1处放置一个小球。点1/2处的小球以速度1向右运动，其他小球静止，然后发生一系列的弹性碰撞，这时表面上看起来，极限点1处在时刻1/2秒，小球序列将与点1处的小球发生弹性碰撞，但是，以下两条不能同时满足：

1，能量、动量守恒。

2，不发生穿越。即左边的球还在左边，右边的还在右边，小球在直线上的次序保持不变。这时，小球序列只能被极限点1处的球弹回，这就要求其质量不小于m.

其实1,2两条合起来就是完全弹性碰撞的定义。

如果反过来，小球系列静止，点2处有一个小球以速度1向左运动，在极限点1处与小球序列发生弹性碰撞，这时，这个极限球也要被小球序列弹回，因而要求其质量不大于小球序列的质量。和前述情形刚好相反。