儿童智商，定义为，心理年龄除以实际年龄，然后再乘以100，即得智商。其中年龄通常以月而不是年为单位来进行计算，这样可以获得更准确的结果。

显然，重要的是心理年龄。通常，心理年龄是通过一组测试题目来计算的。假设一个10岁（120个月）的儿童做这组题目中获得了110分。现在查找平均得分为110分的年龄段，比如为12岁6个月（150个月），那么这个10岁儿童的心理年龄就是12岁6个月，进而可知其智商为150/120*100=125.

你可以采用一种揶揄的方式来叙述上述结果：那个智商为125的10岁儿童的智力其实就相当于一个12岁半的普通儿童。

成年人的智商也是通过测试者完成一组题目，然后根据其得分计算出来的。

用来测量智商的题目，称为智力测试题。

一个人的智商表示其聪明程度吗？智商表示一个人的潜在心智能力吗？不好回答。简单而准确的说法是智商表示智力测试中得分的高低，至于这个得分与其他能力的相关程度，则是另一个问题。下面，我们都只是在智商表示智力测试中得分这个意义上来讨论问题。

假定有一些人进行了智商测试，于是其中每个人都获得了一个分数，亦即智商。

现在来看智商的统计分布。按照统计累积分布函数的定义，计算智商小于120的人所占比例，即得累积分布函数在120的函数值。其导数就定义为智商的密度函数，这个函数，比如在120的函数值，就表示智商为120的人在整个人群中所占的比例。

通常，智商被认为服从正态分布，均值为100，均方差为15.

正态分布：有两个参数，一个为均值即数学期望，另一个为方差或其平方根即均方差。

一个显然的问题：为什么智商的平均值为100？

答案：这是由于智商测试题目被设计为使得平均值为100. 换句话说，一组智商测试题目，如果人们的平均得分不等于100，就要修改、添加、删除其中的某些题目，使得人们的平均得分更加接近于100. 这个过程可能需要反复若干次，最终使得平均得分极为靠近100.

显然我们可以设计一套智商测量题目使得大部分人都得到满分，也可以设计一套题目使得大部分人都只能纯粹凭借猜测来做题。

所以智商的平均值为100是人为设计的。同样的道理适用于智商分布的方差。事实上，大多数测试下智商分布的方差为15，但也有测试题使得智商分布的方差为16. 因而智商分布的方差也是人为的。

进一步的问题：智商为什么是正态分布的？

答案：这也是人为设计题目造成的。设计一组智商测试题目，计算人们的智商分布是否服从正态分布，如果不服从正态分布，就需要修正、增删其中的题目，使得人们的智商分布更接近正态分布。反复数次，使得智商分布很接近于正态分布。

无论如何，智商只是近似地服从正态分布，考虑一个极端的例子，比如总共有10^20个人，那么，按照正态分布计算，有99.99%的把握至少有一个人的智商小于0，但这是不可能的。所以，严格的说来智商不可能服从正态分布。事实上，只有智商偏离100不是太大的才可以用正态分布来表示。

智商远高于或远低于100的情形都不适合用正态分布来描述。

有人认为对于智商的分布，对数正态分布比正态分布更加合理一些。

智商服从正态分布与其他途径得到的正态分布完全不同，它完全是人为的。实际上，对于任何分布函数，只要它是严格单调递增的，那么就可以重新安排（重新计算得分，即改变每个题目的分值）使得其服从正态分布。智商的正态分布性没有任何其他的因素。人们将智商设计为正态分布的原因其实很简单，正态分布是最简单的最容易处理的。

下面，假设智商服从参数为(100,15^2)的正态分布。那么，一个人的智商为115的含义就是说，低于此人智商者占整个人群的比例为正态分布的累积分布函数，即误差函数在115的值，可知此人智商要高于大约85%的人。注意，差不多可以说这是智商为115的全部含义。比较两个人的智商相差多少是没有价值的，比如智商115比100高15，智商130比115高15，但是这两个15含义迥然不同。智商为130的人其智商要高于97%的人。

简单地说，智商只能表示排名。

第三个问题：由前述可知，智商只是近似服从参数为(100,15^2)的正态分布，因为智商测试题目是人为设计的，不可能做到使得人们的得分刚好就是参数为(100,15^2)的正态分布。这个近似的程度有多高？这个地方的误差对于最终的估计有多大的影响？

答案：这取决于参与测试的人数和如何选取这些人，也就是抽样的准确程度。本来是为了确定整个人群的智商分布，但是我们只能测试其中一部分人（即抽样）的得分，然后据此计算出智商的分布。由此处的误差导致最终的对于单个人的智商估计的误差较小。更准确的来说，这个误差依赖于测试者的智商高低，智商越接近于平均值100，影响越小。但影响都不大。

比如，正态分布的平均值参数，真实值为100.1，而估计值为100，对于真实智商为100的人，此人本来比49.97%的人智商较高，而估计值给出的则为此人的智商高于50%即一半的人。二者之差微乎其微。智商高于145即3个标准差的人，真实比例为0.00138，用错误参数100给出的估计值为0.00135. 相差也不大。

另一方面，人们在做测试题目的时候，得分也不是固定不变的，会受到一些随机因素的影响，这使得人们的得分有一些偏差。根据智商测试统计，95%的人在不同场合得分相差不超过5分，所以，智商还是比较稳定的。由于智商测量本身的不稳定性，这使得智商的估计也带有不可克服的偏差。而这个偏差显然要远远高于对于正态分布的参数估计导致的偏差，所以我们可以忽略参数估计带来的误差。

智商测试题目一般来说都是选择题，既然是选择题，人们就可以进行猜测，总有一部分可以猜正确的。那么，我们能否将这个猜测的因素去掉呢？其实这不是一个很必要的步骤，这个猜测的因素对于最后的得分排名影响不大，同样会淹没在场景对于智商测量值的影响之下，条件是智商测试题目的个数要比较多。

智商的另一个争议之处在于，人们的智力有各种形式，比如数学推理能力，空间想象能力，音乐听觉能力，类比的能力，语言能力，等等。其中有些相差较大，比如空间想象能力和语言能力。有些人擅长于某一类题目而不是另一类。那么，智商测试题目中此人擅长的题目占的比例越大，则此人得分就越高，反之越低。所以，智商还依赖于各种题目所占的比例、权重。对此，一个解决的方法是单独测量每一种类型的智力。心理学家列出了各种类型的智力，一种广为接受的理论（Cattell-Horn-Carroll理论）将人的心智能力分作10个大类，70个小类。当然，在测量了各种类型的智力之后，也可以将其按照一定的权重综合、混合起来，得到一个总的分数。但是这个总分的含义那就见人见智了。

传说达芬奇的智商是200多，肯定是有些智力超常的人，各种能力都比较强大。

前文：考虑一个极端的例子，比如总共有10^20个人，那么，按照正态分布计算，有99.99%的把握至少有一个人的智商小于0，但这是不可能的。所以，严格的说来智商不可能服从正态分布。

假设你这样和一个统计学家讨论的话，统计学家会怎么回答呢？

统计学家绝不会放弃正态分布这个假设。统计学家的回答是：将小于0的部分砍掉！取值为正的部分乘以一个常数（非常接近于1），使得砍掉一段后的函数仍为概率密度，而且在正实数轴上还是正态的。

统计学家根本不在乎这样砍一下，零头对他们来说无关紧要。但是他们也绝不会将之改名为砍掉一段的正态分布，small cut-off normal distribution，或其他类似的名字，统计学家仍然称之为正态分布。

他们的“thesis”是这样的：正态分布从理论上来说很好很简单很普遍很优美，砍掉一段后好用且避开了一个微不足道的矛盾。

其实，事实上：砍掉一段后的正态分布从理论上来说比较麻烦、一点都不简洁优美，在应用上正态分布又不合理。