一元三次方程的通用形式为：x^3+ax^2+bx+c=0.

我们说解一元三次方程是指给出一个通用的代数解法，而不是近似解法，其中允许使用根号。历史上，一元三次方程大约起源于古代希腊数学中的三等分角这个问题。

达芬奇的合作者、数学导师，意大利修士Fra Luca Bartolomeo de Pacioli(1445–1517) 在其1494年出版的著作《Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalità》中声称没有解三次方程的一般方法。

历史上第一个发现三次方程一般解法的人是博洛尼亚大学讲师 Scipione del Ferro (1465-1526)，他大约在1505 或1515年发现了三次方程的解法，但并没有公布其解法，而是在临死的时候将其传授给了他的学生，弗洛伦撒的数学家，贫穷的 Antoniomaria Fior.

Fior 知道这个秘密后就大肆吹嘘自己会解三次方程，他希望以此获得名声，并藉此获得一个报酬优厚的数学教学席位。于是就有人安排了 Fior 和数学名家 Tartaglia 的数学比赛。此前，Tartaglia 多次参与数学比赛并获胜，其数学能力得到广泛认可，是当时的数学名家。

1535年，Fior 与 Nicolo Tartaglia (1499-1557) 进行了一场博洛尼亚Bologna大学进行的数学比赛。每个人都出30个题给对方做。Fior出的题目都是解 x^3+px=q 这样的三次方程，显然，Fior认为这些问题足以难倒 Tartaglia. 事实上 Tartaglia 开始的时候确实不会解三次方程。据 Tartaglia 自述，在1535年2月12日，这一天距离正式比赛日期还有八天，Tartaglia 发现了上述三次方程的一般解法；第二天 Tartaglia 又发现了 x^3=px+q 的一般解法。比赛的结果是 Tartaglia解出了 Fior 的全部问题，而Fior则没有解出 Tartaglia 的数学问题（包含代数和几何问题）。

后来 Tartaglia 又发现了三次方程 x^3+q=px 的一般解法。

注：数学比赛中的比赛一词的原文是，debate，contest.

Tartaglia 先发现了 x^3+px=q 的解，第二天发现了 x^3=px+q 的解，后来又发现了 x^3+q=px 的解。注意到，在Tartaglia看来，他解决了三类不同的方程，在三个不同的时间。而任何现代的读者对此都会感到奇怪，因为他们都会毫不犹豫地认为这几个方程没有区别。这之间的差异在于在Tartaglia的时代，欧洲人还没有接受负数和0这两个概念，因而x^3+ax^2+bx+c=0这样的式子是没有意义的。

对于一元三次方程来说，我们认为只有一类，即 x^3+ax^2+bx+c=0.

与之相比，十六世纪中叶之前的欧洲人却认为一共有13种不同的类型，可以分作三个大类，如下：

第一大类，a, b, c > 0，共7小类：

x^3+ax^2+bx=c

x^3+ax^2+c=bx

x^3+bx+c=ax^2

x^3+ax^2=bx+c

x^3+bx=ax^2+c

x^3+c=ax^2+bx

x^3=ax^2+bx+c

第二大类，p,q > 0，共3小类：

x^3+px^2=q

x^3+q=px^2

x^3=px^2+q

第三大类，p,q > 0，共3小类：

（A）x^3+px=q

（B）x^3=px+q

（C）x^3+q=px

我们现在知道，做一个简单的变量代换：y=x-a/3，就可以将二次项消去，从而将第一第二两大类化作第三大类。但是在Tartaglia的时代，却无法这样做，上述的13类一元三次方程，每一类都要单独求解。由此我们看出没有负数和零有多么不方便。

Tartaglia实际上是解出了最后一个大类的三种情形，即(A)(B)(C)三种类型的三次方程。而del Ferro告诉Fior的只有类型(A)的解。我们现在难以判断 del Ferro 是否会解决其他两类，即(B)(C)两种三次方程。这是因为del Ferro对他的数学发现秘而不宣，del Ferro没有正式出版任何他个人的数学发现。

关于Pacioli其人。

Pacioli (1445-1517)，意大利数学家、修士。1494年出版其最重要的著作《算术、几何、比例综合》（《Summa de arithmetica, geometria, proportioni et proportionalita》，通常简称为《Summa》，即《综合》），这本书中，Pacioli介绍了当时主要的数学知识，是其后数十年欧洲数学进一步发展的基础。1509年Pacioli出版了另一部重要著作《De Divina proportione》即《神圣比例》，讨论了黄金分割比例，书中的插图出自达芬奇。Pacioli 曾经在多个地方讲学，比如米兰、博洛尼亚、罗马、威尼斯、佛罗伦萨等地，促进了数学的传播。

Pacioli在《Summa》一书中声称三次方程是不可解的，在这本书中Pacioli试图从数学的角度讨论赌博，但得到了错误的结论。这使得Pacioli成为历史上首个对于赌博从数学的角度进行的研究的人，与之相关的概率论的第一个重要进展是数十年后由Cardano做出的。而Cardano是三次方程之争的主要人物。

1501-1502年Pacioli在博洛尼亚大学任教，期间常与del Ferro讨论数学问题。我们不知道Pacioli是否曾经与del Ferro讨论过三次方程。其后不久，可能是在1506年，del Ferro解决了至少一类三次方程，即x^3+px=q.

Tartaglia对于1535年的这次数学比赛作了记录。Taraglia说Fior的三十个题目实际上都是同一种类型，即解三次方程x^3+pa=q，三十个题目仅仅是系数不同罢了，因为Fior相信Tartaglia不会解这种方程，于是就出了三十个相似的题目。但是，出乎Fior预料，Tartaglia会解三次方程，而且仅仅用了不到两个小时就把这三十个题目解出来了。而Tartaglia出的三十个题目则确确实实、真正属于不同类型的，有几何题目，也有代数题目，我Tartaglia这样做，是为了向他Fior展示我的多方面的数学才能，这是基于我的不只是两项、三项自己的数学发现，但是这些发现是我个人的秘密，我很高兴保守这些秘密。实际上，我Tartaglia可以提出另外一千个而不仅仅是三十个不同类型的题目。我提出三十个不同的题目，也是为了显示我对他的挑战并不放在心上、我也没有任何理由惧怕他Fior.

Tartaglia，原名Niccolo Fontana，于1499年或1500年出生于意大利布雷西亚Brecia. 他的父亲是一个骑马送信的邮差，Tartaglia 六岁时他父亲在一次外出送信时被人谋杀，这使得这个贫穷的家庭马上陷入赤贫。

1512年，法国人占领了布雷西亚并杀死了46000个该城居民。一名法国士兵用刀砍伤了Tartaglia的下巴和下颚，这对于Tartaglia 来说几乎是致命的。他被人们遗弃等死。他的母亲也无能为力，无法提供医疗帮助。尽管如此，他的母亲仍然悉心照料Tartaglia，最终Tartaglia活了下来，但下巴和下颚的伤口造成了Tartaglia发音上的困难，所以Tartaglia说话时结结巴巴的，这也是其外号的来源。Tartaglia,the stammerer，就是结巴的意思。

Fontana本人也认同这个绰号，他的著作就署名为Tartaglia.

Tartaglia自学数学并颇有才能，他的母亲为他寻找了一个赞助人Ludovico Balbisonio.在Balbisonio的赞助下，Tartaglia在帕多瓦Padua学习了一段时间，返回布雷西亚后由于经常吹嘘自己的数学才能，Tartaglia在家乡并不不受人欢迎。1516--1518年，Tartaglia前往维罗纳Verona寻找教学职位并以此谋生。其后Tartaglia结婚，但仍然是一个底层数学教师，处于非常穷困的状态。由于多次参加数学比赛(debate)并获胜，Tartaglia获得了杰出数学家的名声。

1534年，Tartaglia搬迁到威尼斯。

1535年，Tartaglia在与Fior的数学比赛并获胜，给出了三次方程的一般解法。

1537年，Tartaglia出版了著作《新科学》（《Nova Scientia》），首次将数学应用到炮火研究和弹道计算，介绍了新的弹道装置，提出了历史上首个射表firing table. 在此书中，Tartaglia得出了45度角射程最远的结论，这启发了伽利略对落体的研究。据Cardano声称，他一下子买了书商带到米兰的所有这一著作，一共两本，要知道当时书籍是很昂贵的。Tartaglia还写了一本受到欢迎的算术著作。

1543年，Tartaglia翻译出版了首个意大利语版本（也是首个非拉丁语的欧洲语言版）的《几何原本》。

1546年，Tartaglia著《各种问题与发现》（《Quesiti et Inventioni diverse de Nicolo Tartalea》，注意该书署名即为Tartalea.）

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Tartaglia与Fior之间的数学debate也传到了米兰。当时米兰最有名的数学家Cardano自然也就知悉其事，Cardano正在计划写一本代数学的著作，即《Ars Magma》。这本书出版于1545年，其中包含了Tartaglia透露给Cardano并希望Cardano保密的三次方程的解法，以及Cardano的学生Ferrari发现的四次方程的一般解法。这使得Cardano成为当时的领头的数学家，Cardano由此获得了极大的名声，其声誉之隆，一时无两。而三次方程之争就发生在Cardano、Ferrari与Tartaglia之间。以Tartaglia的失败而告终。而三次方程的公式现在也被称为Cardano-Tartaglia公式，当然从创立解法的角度看正确的说法应该是Ferro-Tartaglia公式。

Cardano生于1501年，到32岁仍然混得非常之差，可以说没有正式工作，只能非法行医，为了还债而赌博，以至于最终变卖了他妻子的首饰，住进了对当时自认体面的人来说非常不光彩的贫民房。转折点是在1534年，他33岁时，当然这个转折不是突然来临的，而是基于他之前的工作。

Cardano一生著述极为丰富。Cardano留下的名声是数学家、医生、赌徒。

Cardano是一个有野心、不诚实、脾气暴躁、好斗、自负、没有幽默感的人，但同时又是一个慷慨的、慈善的、无情揭露自我的人。他是非婚生子，他的父母不招人喜爱，他最喜爱的儿子因谋杀而被绞死，他的另一个儿子则是一个恶棍、偷走了他大量的金钱为Cardano带来的仅仅是不快和耻辱。

Cardano的非婚生子的身份给他带来很多麻烦，使得他33岁之前非常潦倒。Cardano说话措辞非常不友善，使得他难于与他人建立良好的关系，而Cardano自己对此毫不在乎：

“我知道我的这个特点，但是我有意保持这一点，无论由此带来多少敌人我都毫不在意。”