Peano自然数公理描述了自然数集合N.
存在一个映射S:N-->N,称为后继，满足如下公理
(1).0是自然数。
说明，在Peano公理中，第一个元素，即无后继元素用0表示还是用1表示无关紧要。Peano公理中还没有定义数的加减法。
(2).不存在自然数x, 使得S(x)=0.
说明，0不是后继，等价地，0是初始元素。
(3). 任给自然数x,y, 若S(x)=S(y), 则x=y.
说明，每个自然数只能是最多一个元素的后继。
(4). 对于N的子集K, 若0属于K, 且对于K中任意元素x, S(x)仍然属于K, 则K=N.
说明，这一条即归纳法，是说通过后继可以得到全部自然数。
实际上，后继映射S描述了计数过程，也就是说计数到n,再往后数一个得到的就是S(n),亦即(n+1).
也可以说Peano公理中的后继映射，实际上就是人类的计数过程。那么最后一个公理就是说，通过计数可以得到全部自然数。也可以说自然数就是数出来的。
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lifubo  发表文章数: 522 |
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River  发表文章数: 85 |
提几个问题：
定义自然数之前需要那些东西？ 比如 1）需要有集合的概念么？即，什么是集合，什么是元素（集合论公理---Tao的分析书是先讲自然数再讲集合论）。 2）需要有映射的概念么？即，什么是映射。 根据Tao的《analysis》，定义自然数要使用两个基本概念：0和后继操作。 后继操作用++表示，例如0的后继操作是0++，而0++的后继操作是(0++)++, 等等。 0和后继操作通过公理来定义，即 Axiom 1： 0是自然数 Axiom 2：如果n是自然数，则n++也是自然数 然后，0, 0++, (0++)++, ((0++)++)++。。。就是一串自然数， 如果1表示0++， 2表示(0++)++, 等等，就得到我们常见的表示自然数的方法。
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River 发表文章数: 85 |
Axiom 3：0不是任何自然数的后继，即0 \ne n++对于任何自然数n
Axiom 4：不同自然数有不同的后继，即若m\ne n, 则m++ \ne n++. 等价地，如果n++ = m++，则n=m. 在叙述完公理3，4后，Tao举了一个例子，网上找了个截图（用了google的短网址操作） http://goo.gl/oF8ben 这里文字叙述如下： N={0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, ...}, 公理1-4对这个集合成立。 这个例子跟LZ的（3）以及Tao的公理4是什么关系？这里是说存在0.5这种不知道是谁的后继的数？
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River 发表文章数: 85 |
在叙述完5个公理后，Tao make assumption 2.6
There exists a number system N whose elements we will call natural numbers, for which Axioms 1-5 are true. 然后Tao说了一句We will not prove Assumption 2.6 (though we will eventually include it in our axioms for set theory, see Axiom 3.7). 1）这是说这个Asssumption 2.6是可以证明的？即自然数系统的存在性证明。 2）要讨论自然数系统的唯一性么？（同构的概念？）
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Fantadox  发表文章数: 59 |
定义自然数不需要先定义集合，但这样一来公理5就需要借用二阶逻辑：
设p是定义在自然数上的任一属性（一元谓词），如果p满足 a. 0具有属性p（也就是平p(0)为真） b. 对任何自然数n，p(n)蕴含p(S(n)) 那么任一自然数n都具有属性p。 上述公理由于涉及到任一属性（一元谓词），就成了对谓词的量化，超出一阶逻辑的能力。如果非要表达成1阶逻辑，那么公理5就成了公理模式，包含无穷多条公理，对每一个可能的p都给出一个外形相似的公理。 所以定义自然数之前首先必须规定逻辑语言。如果不想引入集合论，就要规定到2阶逻辑，否则只需规定到一阶逻辑。  The road to hell is paved with good intentions.
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Fantadox 发表文章数: 59 |
我才发现楼主的公理才4条，因为规定S是自然数到自然数的映射时没有算是一条公理。所以我说公理5相当于楼主的公理4.楼主的定义是基于集合论的，而且默认引入了映射概念。
这里给出不基于集合论只基于二阶逻辑的公理： a1.N(0) 0是自然数 a2.∀n N(n) -> N(S(n)) 自然数的后继也是自然数 a3.∀m,n N(m)&N(n) -> (S(m)=S(n)->m=n) 仅当两自然数相等后继才可能相等 a4.∀n N(n) -> ~0=S(n) 0不是任何自然数的后继 a5.∀P,n P(0)&(P(n)->P(S(n)) -> (N(n)->P(n)) 归纳公理的二阶逻辑版本 这里还用到了相等关系的定义，自然数上的相等关系是满足： b1.∀m m=m 自反性（reflexive） b2.∀m,n m=n -> n=m 对称性（symmetric） b3.∀m,n,k m=n&n=k -> m=k 传递性（transitive） b4.∀m,n m=n -> (N(m)->N(n)) 自然数对该关系封闭性（closed） 共4条公理，前3条是对相等关系的一般定义，第4条是用于自然数的封闭性限制。 The road to hell is paved with good intentions.
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Fantadox 发表文章数: 59 |
更正：归纳公理写错了 ∀P,n. P(0)&(P(n)->P(S(n)) -> (∀m. N(m)->P(m))
The road to hell is paved with good intentions.
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zhangqq  发表文章数: 549 |
P(n)->P(S(n) 似乎应作：
(N(n)&P(n))->P(S(n))
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lifubo 发表文章数: 522 |
主要是想说自然数就是计数、数（动词）出来的。所以没有给出Peano公理的严格叙述。对于绝大多数人来说，这个严格叙述没有任何用处。我个人对这个公理体系也没有多大兴趣。另外用什么样的符号来表示计数的顺序，都是可行的，Tao的例子为0, 0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, ...，显然我们也可以用这个序列来计数：-1,-0.5,0,0.1,0.2,0.3......等等等等。
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River 发表文章数: 85 |
其实我是想问Tao那样写N={0,0.5,1,1.5,2,2.5,...}是否表示了后继次序，还是随便的次序。
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Fantadox 发表文章数: 59 |
回复@zhangqq: 对，我疏忽了。
The road to hell is paved with good intentions.
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