在圆环上随机取N个点，请问这N个点正好都在同一半圆环内的概率是多少？（也就是说半个圆环可以覆盖这N个点）。
一个口袋内有10个红球，20个蓝球，30个绿球，随机地把球一个一个取出来，请问红球最先被取完的概率。
有兴趣的坛友试试。
|
zhangqq  发表文章数: 549 |
|
||
|
impig  发表文章数: 47 |
1/2^(n-2)
5/6
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
一、能不能解释一下一的答案。我看到博主的答案也是这个，但我自己有点怀疑，比如3个点的情形，我的思维被Bertrand（贝特朗）奇论这样的东西所羁绊，觉得好象还可以探讨。
二、我的答案也是这个。直觉上是均匀的，所以和色球数量与总量的比例有关。
|
||
|
impig 发表文章数: 47 |
n个点可以pick任意一个做为起始点，从这个点开始旋转180度必须cover所有剩余的n-1个点。虽然可以向两个方向旋转，但第二个点定下来以后，就只有一种旋转方向了。所以剩下的n-2个点，必须在一个给定的半圆上。
第二题: 解法1： p(x, y) = x/(x+y) * p(x-1, y) + y/(x+y) * p(x, y-1).求解即可。 解法2： 随机变量 (x - y) / (x +y)是一个martingale. 根据stopping lemma, 中止期望等于开始期望。所以 (x-y)/(x+y) = p * -1 + (1-p) * 1
|
||
|
impig 发表文章数: 47 |
随机变量x是红求数目，y是非红求树木。
|
||
|
lifubo  发表文章数: 522 |
恐怕两个答案都是错的。就说第二个。
先说为什么答案是错的。 设分别有 m,n,k 个红黑白三种颜色的球，依次取球，令 P(m,n,k) 表示红球先取完的概率。 显然有如下性质：P(m,m,m)=1/3, P(m,n,k)=P(m,k,n), P(m,n,K)+P(m,k,n)+P(k,n,m)=1. 按照其解法，P(2,2,2)=P(2,1,3). 事实上“概率只与红球和非红球个数有关”明显是错误的。 若 P(1,2,3)=5/6. 那么1/3=P(2,2,2)=P(2,1,3)<1/6. 矛盾。 所给解答只适合于只有两种颜色的球的情形，不过这时候的答案是显然的：就是看最后一个球是什么颜色即可。 再说答案。应为：P(m,n,k) = [1/(m+n) + 1/(m+k)]*n*k/(m+n+k). 对于题目中的数字m=10,n=20,k=30，所求概率为 7/12. 最后说一下怎么导出公式。 不妨设想有 m+n+k 个依次编号的盒子，问题等价于，最后一个红球在其他任何一种颜色的球的至少一个的前面的概率。 若最后一个球为黑色(共n=30个白球)：则红球先取完的概率为 n*C(m+n+k-1,m+k)*k*(m+k-1)!*(n-1)!/(m+n+k)!=[1/(m+k)]*n*k/(m+n+k). 关于: n*C(m+n+k-1,m+)*k*(m+k-1)!*(n-1)! 下面解释一下每一项是什么含义。 n: n个黑球中选一个放到最后一个位置。 C(m+n+k-1,m+n): 前 m=n+k-1 个盒子中，选出 m+k 个放红球或白球。 k: 考虑放置红白两色球的 m+k 个盒子，从 k 个白球中选一个放到最后一个盒子。 (m+k-1)!: 放红白球的盒子，最后一个盒子指定放白球，剩下 (m+k-1) 个盒子任意放置 (m+k-1) 个球，其中 m 个红球， k-1 个白球。 (n-1)!: 已经将一个黑球放到最后一个位置，且指定 (m+k) 个盒子放红白球，剩下的 (n-1) 个盒子任意放置黑球。
|
||
|
lifubo 发表文章数: 522 |
检查了一遍，前一个帖子有几个地方写错了。修改后重发。
设分别有m,n,k个红黑白三种颜色的球，依次取球，令P(m,n,k)表示红球先取完的概率。 显然有如下性质：P(m,m,m)=1/3, P(m,n,k)=P(m,k,n), P(m,n,k)+P(m,k,n)+P(k,n,m)=1. 不妨设想有 m+n+k 个依次编号的盒子，问题等价于，最后一个红球在其他任何一种颜色的球的至少一个的前面的概率。 若最后一个球为黑色(共n=20个黑球)：则红球先取完的概率为 n*C(m+n+k-1,m+k)*k*(m+k-1)!*(n-1)!/(m+n+k)!=[1/(m+k)]*n*k/(m+n+k). 若最后一个球为白色(共k=30白球): 可以得到一个类似的公式。 上述数字除以总的排列数即可得到相应的概率。将这两个概率相加即可。 关于: n*C(m+n+k-1,m+k)*k*(m+k-1)!*(n-1)! 下面解释一下其中每一项的含义。 n: n 个黑球中选一个放到最后一个位置。 C(m+n+k-1,m+k): 前 m+n+k-1 个盒子中，选出 m+k 个放红球或白球。 k: 考虑放置红白两色球的 m+k 个盒子，从 k 个白球中选一个放到最后一个盒子。 (m+k-1)!: 放红白球的 (m+k) 个盒子，最后一个盒子指定放白球，剩下 (m+k-1) 个盒子任意放置 (m+k-1) 个球，其中 m 个红球， k-1 个白球。 (n-1)!: 一共 (m+n+k) 个盒子，已经将1个黑球放到最后一个位置，且指定 (m+k) 个盒子放红白球，剩下的 (n-1)个盒子任意放置黑球。
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
明天我要仔细地再想想，也研究一下lifubo兄的答案。
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
已经睡下又爬起来，想到高中的做法。
60个球的全排列是60！ 至少有一个蓝球和一个绿球在10个红球后面的全排列，可以分3步完成 1）取10个红球在前，一个绿球一个蓝球在后的全排列是10！＊2＊20*30。 2）剩下有48个球全排列 48！ 3）48个球产生49个缝隙，可重复选12个缝隙地放入1）中的12个球，是（是多少我得明天想了）。 结果是 1)*2)*3) /60! My God！怎么这么怪的数字，明天再想，不然睡不着了。
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
修改一下，
至少有一个蓝球和一个绿球在10个红球后面的全排列，可以分2步完成 1）取10个红球在前，一个绿球一个蓝球在后的全排列是10！＊2＊20*30。 2）12个球产生13个缝隙，可复选地放入48个球，这一步明天想。 结果是 1)*2) /60!
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
我所谓得高中办法不对，会长生重复排列。真的要明天想了。汗！
|
||
|
egret 发表文章数: 13 |
我来解答第一题吧。
这种题目其实最难的是怎么把平时的语言转换成数学语言。这题就是要把在半圆之内转换成数学语言。 选取任意一个方向为正方向（比如顺时针），圆上两点间的距离定义为沿着正方向的距离，取任意一点为原点，这样就可以把圆转换成一条线段，假设线段长度为1（圆的周长）。在半圆内转换成数学语言就是在所有的以这N个点为原点的线段里，有一条线段，所有的点离原点的距离小于1/2。 对于其中的一条线段，任意一个随机点距离原点小于1/2的概率是1/2，有N-1个点（因为有一个点是原点）。所以几率是1/2^(N-1)。有N条这样的线段，所以几率是N/2^(N-1).
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
第一题我明白了。在n=3的情形，等价于平面上任取一个三角形，是钝角三角形的概率，自然是1/2。
N+1的情形是N的概率上乘上再多一个点的概率。N个点可简化成最远的两个点，配上第N+1个点，又是一个形成钝角三角的情形，于是P(N+1) = P(N) * 1/2，于是P(N)= (1/2)^(N-2)。 N>=3。一个点两个点是平凡的情形，是1。
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
是同一侧形成钝角三角形的情形。
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
是非锐角三角形，不是钝角三角形，直角三角形也可以的。我汗！
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
极端情形（直角、共点、共线）不考虑，只考虑钝角其实也没什么，极端情形概率都是0.
|
||
|
dfj 发表文章数: 282 |
1. 从n个点中的任一个连线到圆心做一直径，其余所有点都在这条直径的一侧的几率是多少？为了能把“n个点处在一个半圆内”这个事件分解成互不相交的事件，需要把前一句话中的“一侧”换成“左侧”或“右侧”之一。这样容易得到n/2^n这个结果。实际上也可以通过递推得到，但递推的过程中需要计算积分，比较麻烦。最开始我用递推得到了n=3时的结果，看了别人的答案才想到前面这种思路。
2. 答案为7/12。先取完蓝球的几率是4/15，先取完绿球的几率是3/20。公式是p(1)=f2f3*(1/(1-f2)+1/(1-f3))，以此类推。
|
||
|
dfj 发表文章数: 282 |
上面n/2^n应为n/2^(n-1)
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
今天晚上有空，又来想想。这才发现 数学文化打成数据文化了。
第一题我又糊涂了。 先考虑三点的情形，先忽略重叠和成一线（在一条直径的两端上）的情形（概率是0），三个不同的点能被半圆覆盖，等价于三个不同的点组成非锐角三角形，也就是圆上任取三不同的点，三点成非锐角三角形的概率。 我重新思考了一下，发现应该是3/4。我这么想，三角形的最大那个角的角度的范围是[60度, 180度），取到任何一个角度都是可能的，机会均等，所以取到非锐角的概率是3/4。 第一题的答案是(3/4)^(n-2), n>=3。 是不是我又落入类似Bertrand奇论的陷阱里面去了？
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
下面这句话
先忽略重叠和成一线（在一条直径的两端上）的情形（概率是0） 改称 先忽略三点之中任何有重叠的情形（概率是0）。
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
当n(n>=3)个不同点可以被半圆覆盖，添一个不同点，还能被半圆覆盖的概率，这时候问题变成n点中距离最大的两点，和新添的点组成非锐角三角形的概率，因为如果这三点成非锐角三角形，自然存在半圆覆盖这三点，而原来的那些点在最远两点之间的弧上，也被这个半圆覆盖了（因为不可能是另一侧的半圆）。
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
原来的那些点在最远两点之间的弧上
应改作 原来的那些点在最远两点之间的较短的弧上 （其实还是要忽略最远点为直径两端的情形，还好它出现概率为0）。
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
3/4的说法是胡说八道。当时状态不对有点晕了。
|
||
|
zhangqq 发表文章数: 549 |
任取三角形是钝角三角形的概率。
设三个角为x，y，z，x+y+z＝180， x>0, y>0, z>0。 这是一个(0,0,180), (0,180,0),(180,0,0)三个3维空间的点组成的正三角形的区域。 画一个草图很容易看出来， x<＝90且y<＝90且z<＝90的区域是正三角形的1/4。 x>90的区域是正三角形的1/4。 y>90的区域是正三角形的1/4。 z>90的区域是正三角形的1/4。 也就是x>90或y>90或z>90的区域是三角形面积的3/4。 所以概率是3/4。 我基本确定我的直觉还是对的，但愿不会再反复了。
|
| :: 新用户注册 | 用户登陆 | 回复 | 刷新 :: |