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Riemann 猜想漫谈 (一)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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Bernhard Riemann (1826-1866)
Bernhard Riemann
(1826-1866)

一. Hardy 的明信片

让我们从一则小故事开始我们的 Riemann 猜想 (Riemann hypothesis) 漫谈吧[注一]。 故事大约发生在二十世纪三十年代, 当时英国有位很著名的数学家叫做 Godfrey Hardy (1877-1947), 他不仅著名, 而且在我看来还是两百年来英国数学界的一位勇者。 为什么这么说呢? 因为在十七世纪的时候, 英国数学家与欧洲大陆的数学家之间发生了一场激烈的论战。 论战的主题是谁先发明了微积分。 论战所涉及的核心人物一边是英国的科学泰斗 Isaac Newton (1642-1727), 另一边则是欧洲大陆 (德国) 的哲学及数学家 Gottfried Leibniz (1646-1716)。 这场论战打下来, 两边筋疲力尽自不待言, 还大伤了和气, 留下了旷日持久的后遗症。 自那以后, 许多英国数学家开始排斥起来自欧洲大陆的数学进展。 一场争论演变到这样的一个地步, 英国数学界的集体荣誉及尊严、 Newton 的赫赫威名便都成了负资产, 英国的数学在保守的舞步中走起了下坡路。

这下坡路一走便是两百年。

在这样的一个背景下, 在复数理论还被一些英国数学家视为是来自欧洲大陆的危险概念的时候, 土生土长的英国数学家 Hardy 却对来自欧洲大陆 (而且偏偏还是德国)、 有着复变函数色彩的数学猜想——Riemann 猜想——产生了浓厚兴趣, 积极地研究它, 并且——如我们将在 后文 中介绍的——取得了令欧洲大陆数学界为之震动的成就, 算得上是勇者所为。

当时 Hardy 在丹麦有一位很要好的数学家朋友叫做 Harald Bohr (1887-1951), 他是著名量子物理学家 Niels Bohr (1885-1962) 的弟弟。 Bohr 对 Riemann 猜想也有浓厚的兴趣, 曾与德国数学家 Edmund Landau (1877-1938) 一起研究 Riemann 猜想 (他们的研究成果也将在 后文 中加以介绍)。 Hardy 很喜欢与 Bohr 共度暑假, 一起讨论 Riemann 猜想。 他们对讨论都很投入, Hardy 常常要待到假期将尽才匆匆赶回英国。 结果有一次当他赶到码头时, 很不幸地发现只剩下一条小船可以乘坐了。 从丹麦到英国要跨越宽达几百公里的北海 (North Sea), 在那样的汪洋大海中乘坐小船可不是闹着玩的事情, 弄得好算是浪漫刺激, 弄不好就得葬身鱼腹。 为了旅途的平安, 信奉上帝的乘客们大都忙着祈求上帝的保佑。 Hardy 却是一个坚决不信上帝的人, 不仅不信, 有一年他还把向大众证明上帝不存在列入自己的年度六大心愿之中, 且排名第三 (排名第一的是证明 Riemann 猜想)。 不过在面临生死攸关的旅程之时 Hardy 也没闲着, 他给 Bohr 发去了一张简短的明信片, 上面只有一句话:

“我已经证明了 Riemann 猜想。”

Hardy 果真已经证明了 Riemann 猜想吗? 当然不是。 那他为什么要发那样一张明信片呢? 回到英国后他向 Bohr 解释了原因, 他说如果那次他乘坐的小船真的沉没了, 那人们就只好相信他真的证明了 Riemann 猜想。 但他知道上帝是肯定不会把这么巨大的荣誉送给他——一个坚决不信上帝的人——的, 因此上帝是一定不会让他的小船沉没的[注二]

上帝果然没舍得让 Hardy 的小船沉没。 自那以后又过了大半个世纪, 吝啬的上帝依然没有物色到一个可以承受这么大荣誉的人。

二. Riemann ζ 函数与 Riemann 猜想

那么这个让上帝如此吝啬的 Riemann 猜想究竟是一个什么样的猜想呢? 在回答这个问题之前我们先得介绍一个函数: Riemann ζ 函数 (Riemann ζ function)。 这个函数虽然挂着德国数学家 Bernhard Riemann (1826-1866) 的大名, 其实并不是 Riemann 首先提出的。 但 Riemann 虽然不是这一函数的提出者, 他的工作却大大加深了人们对这一函数的理解, 为其在数学与物理上的广泛应用奠定了基础。 后人为了纪念 Riemann 的卓越贡献, 就用他的名字命名了这一函数[注三]

那么究竟什么是 Riemann ζ 函数呢? 简单地说, 它的定义是这样的: Riemann ζ 函数 ζ(s) 是级数表达式 (n 为正整数)

ζ(s) = Σn n-s    (Re(s) > 1)

在复平面上的解析延拓 (analytic continuation)。 之所以要对上述级数表达式进行解析延拓, 是因为——如我们已经注明的——这一表达式只适用于复平面上 s 的实部 Re(s) > 1 的区域 (否则级数不收敛)。 Riemann 找到了这一表达式的解析延拓 (当然 Riemann 没有使用 “解析延拓” 这样的现代复变函数论术语)。 运用围道积分 (contour integral), 解析延拓后的 Riemann ζ 函数可以表示为:

这里我们采用的是历史文献中的记号, 式中的积分实际上是一个环绕正实轴 (即从 +∞ 出发, 沿实轴上方积分至原点附近, 环绕原点积分至实轴下方, 再沿实轴下方积分至 +∞——离实轴的距离及环绕原点的半径均趋于 0) 进行的围道积分; 式中的 Γ 函数 Γ(s) 是阶乘函数在复平面上的解析延拓, 对于正整数 s>1: Γ(s)=(s-1)!。 可以证明, 上述 ζ(s) 的积分表达式除了在 s=1 处有一个单极点 (simple pole) 外, 在整个复平面上处处解析。 这样的表达式是所谓的亚纯函数 (meromorphic function)——即除了在一个孤立点集 (set of isolated points) 上存在极点 (pole) 外, 在整个复平面上处处解析的函数——的一个例子。 这就是 Riemann ζ 函数的完整定义。

运用上面的积分表达式可以证明, Riemann ζ 函数满足以下代数关系式——也叫函数方程 (functional equation):

ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)

从这个关系式中不难发现, Riemann ζ 函数在 s=-2n (n 为正整数) 处取值为零——因为 sin(πs/2) 为零[注四]。 复平面上的这种使 Riemann ζ 函数取值为零的点被称为 Riemann ζ 函数的零点。 因此 s=-2n (n 为正整数) 是 Riemann ζ 函数的零点。 这些零点分布有序、 性质简单, 被称为 Riemann ζ 函数的平凡零点 (trivial zeros)。 除了这些平凡零点外, Riemann ζ 函数还有许多其它零点, 它们的性质远比那些平凡零点来得复杂, 被恰如其分地称为非平凡零点 (non-trivial zeros)。 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的研究构成了现代数学中最艰深的课题之一。 我们所要讨论的 Riemann 猜想就是一个关于这些非平凡零点的猜想, 在这里我们先把它的内容表述一下, 然后再叙述它的来龙去脉:

Riemann 猜想: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 Re(s)=1/2 的直线上。

在 Riemann 猜想的研究中, 数学家们把复平面上 Re(s)=1/2 的直线称为临界线 (critical line)。 运用这一术语, Riemann 猜想也可以表述为: Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于临界线上。

这就是 Riemann 猜想的内容, 它是 Riemann 在 1859 年提出的。 从其表述上看, Riemann 猜想似乎是一个纯粹的复变函数命题, 但我们很快将会看到, 它其实却是一曲有关素数分布的神秘乐章。

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注释

  1. 这则故事来自与 Hardy 相识的匈牙利数学家 George Pólya (1887-1985)。
  2. Hardy 的这个解释让我想起了一句有趣的无神论者的祈祷语: 上帝啊, 如果你存在的话, 拯救我的灵魂吧, 如果我有灵魂的话 (God, if there is one, save my soul if I have one)。
  3. 远在 Riemann 之前, Riemann ζ 函数 (当然那时还不叫这名字) 的级数表达式就已经出现在了数学文献中, 但正如我们在正文中所注, 那级数表达式的定义域较小, 即只适用于复平面上 Re(s) > 1 的区域。 Riemann 把 Riemann ζ 函数的定义域大大地延拓了, 这一点不仅对于它的应用有着重要意义, 对于 Riemann 猜想的表述及研究更是至关重要 (因为 Riemann 猜想所涉及的非平凡零点全都在级数表达式的定义域之外)。 仅凭这一点, 即便把 Riemann 称为 Riemann ζ 函数的提出者之一, 也并不过份。
  4. sin(πs/2) 在 s=0 及 s=2n (n 为正整数) 时也为零, 但是在 s=0 时 ζ(1-s) 有极点, s=2n (n 为正整数) 时 Γ(1-s) 有极点。 因此只有在 s=-2n (n 为正整数) 时才可以由 sin(πs/2)=0 直接推知 Riemann ζ 函数的取值为零, s=0 及 s=2n (n 为正整数) 时的取值则需进一步分析 (分析的结果是非零)。

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