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Riemann 猜想漫谈 (十四)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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二十三. Hardy 定理

就在 Bohr 与 Landau 研究零点分布的同时, 另一位为 Riemann 猜想而着迷的数学家——Hardy——也没闲着。 1914 年, 即与 Bohr-Landau 定理的提出同一年, Hardy 对 Riemann 猜想的研究也取得了突破性的结果。 这便是我们在 第一节 中提到过的那个 “令欧洲大陆数学界为之震动的成就”。 在 Riemann 猜想的研究中, 这一结果被称为 Hardy 定理[注一]

Hardy 定理: Riemann ζ 函数有无穷多个非平凡零点位于临界线上。

我们知道 (详见 上节), 无论 Hadamard、 Vallée-Poussin, 还是 Bohr、 Landau, 在 Hardy 之前人们所做的有关 Riemann 猜想的所有解析研究, 都没能证明 Riemann ζ 函数的哪怕一个非平凡零点落在临界线上。 那时人们所知的有关临界线上的零点的全部结果只有我们在 第八节 中提到过的 1903 年 Gram 给出的 15 个零点以及 1914 年 (与 Hardy 定理的提出同一年) Backlund 计算出的 79 个零点。 全部都是零星计算, 且涉及的零点数目少得可怜。 而忽然间, 来自英伦岛上的 Hardy 居然不动声色地一举把临界线上的零点数目扩大到了无穷, 不仅远远超过 Backlund 的区区 79 个零点, 也永久性地超过了后世所能给出的任何具体的数值计算结果。 因为无论用多么高明的计算方法, 无论用多么强大的计算设备, 也无论用多么漫长的计算时间, 任何具体的数值计算所能验证的零点数目都是有限的, 而无论多么大的有限数目相对于无穷来说都只是一个 “零”。 因此 Hardy 定理虽然没有给出临界线上任何一个具体零点的数值, 但它通过对这些零点的存在性证明, 为 Riemann 猜想提供了强有力的支持, 并且超越了任何可能的具体数值计算[注二]

这样的一个结果出现在人们对 Riemann ζ 函数的非平凡零点还知之甚少的 1914 年, 而且还出现在与欧洲大陆数学界颇为疏离的英国, 不能不令欧洲大陆的数学家们感到震动。

Hardy 定理的证明可以从一个有关 ξ(s) 的积分表达式:

入手。 这里 s 的取值满足 0<Re(s)<1, 被积表达式中的函数 G(x) 则定义为:

我们在 第五节 中介绍过, ξ(s) 的零点与 Riemann ζ 函数的非平凡零点相重合, 并且 ξ(s) 是一个整函数, 性质比 Riemann ζ 函数来得简单, 从而在 Riemann 猜想的研究中是一个十分重要的辅助函数。 证明 Hardy 定理的基本思路便是设法从前式中找出与 ξ(s) 在临界线上的零点分布有关的约束条件来。 为此, 第一步是从前式中解出 G(x)-1-1/x。 这与我们在 第四节 中介绍过的从 lnζ(s) 与 J(x) 的积分表达式中解出 J(x) 来是完全类似的, 其结果也类似, 为:

其中积分上下限中的 a 满足 0<a<1。 从 G(x) 的定义中不难看到 (读者可以自行证明), G(x) 在复平面上 -π/4 < Im ln(x) < π/4 的锲形区域内解析。 进一步的研究还表明, 在这一锲形区域的边界上 G(x) 存在奇点, 特别是, 当 x 从锲形区域内逼近 i1/2 (即 eπi/4) 时, G(x) 及其所有导数都趋于零。

另一方面, 假如 ξ(s) 在临界线上只有有限多个零点, 那么只要 t 足够大, ξ(1/2+it) 的符号就将保持恒定 (请读者想一想这是为什么?)。 换句话说, 只要 t 足够大, ξ(1/2+it) 要么是恒正函数, 要么是恒负函数[注三]。 显然, t 的这种大范围特征对上式右端的积分 (积分限中的 a 取为 1/2) 会产生可观的影响。 这种影响究竟有多大呢? Hardy 经过研究发现, 它足以破坏 G(x) 在 x→i1/2 时的所有导数都趋于零这一结果[注四]。 这就表明 ξ(s) 在临界线上不可能只有有限多个零点——而这正是 Hardy 定理。

Hardy 定理在研究 Riemann 猜想的征程上无疑是一个了不起的成就。 但是它距离目标究竟还有多远呢? 却是谁也答不上来。 从字面上看, Riemann ζ 函数共有无穷多个非平凡零点, 而 Hardy 定理所说的正是有无穷多个非平凡零点位于临界线上, 两者似乎已是一回事。 可惜的是, “无穷” 这一概念却是数学中最微妙的概念之一, 两个 “无穷” 之间非但未见得相同, 简直可以相距要多遥远有多遥远, 甚至相距无穷远! 因此, 为了知道我们离目标究竟还有多远, 我们还需要比 Hardy 定理更具体的结果。

幸运的是, 那样的结果很快就有了, 离 Hardy 定理的问世仅仅相隔七个年头。 在研究 Riemann 定理的征程中, 时间动辄就以几十年计, 因此七年应该算是很短的时间。 这回出现在英雄榜上的人物除了 Hardy 外, 还有 Hardy 的同胞兼 “亲密战友” Littlewood。

二十四. Hardy-Littlewood 定理

Hardy 一生除了对数学本身的卓越贡献外, 还有两段与他人合作的经历在数学史上被传为佳话。 其中一段是与印度数学奇才 Srinivasa Ramanujan (1887-1920) 的传奇性的合作, 另一段便是与 Littlewood 的合作。 Littlewood 与 Hardy 一样, 是英国本土的数学家。 我们曾在 第一节 中介绍过, 英国的数学界自 Newton-Leibniz 论战以来渐渐与欧洲大陆的数学界孤立了开来。 1906 年, 当 Littlewood 还是剑桥大学三一学院 (Trinity College) 的一位年轻学生的时候, 这种孤立所导致的一个有趣的后果落到了他的头上。 他当时的导师、 英国数学家 Ernest Barnes (1874-1953) 在那年的暑期之前随手写给了他一个函数, 轻描淡写地告诉他说这叫做 ζ 函数, 让他研究一下这个函数的零点位置。 初出茅庐的 Littlewood 不知 ζ 函数为何方神圣, 领命而去倒也罢了, 但 Barnes 居然能漫不经心地把这样的课题交给当时还是 “菜鸟” (尽管算是比较厉害的 “菜鸟”) 的 Littlewood, 说明他对欧洲大陆在近半个世纪的时间里对这一函数的研究, 以及由此所显示的这一课题的艰深程度了解得很不够。

不过 Barnes 虽有对 “敌情” 失察之过, 把任务交给 Littlewood 却是找对人了, 因为 Littlewood 很快就成长为了英国第一流的数学家。 而在这过程中, Barnes 所给的这个课题对他的成长不无促进之功。 若干年后, 当 Littlewood 终于体会到了 Riemann 猜想的艰深程度, 甚至开始怀疑其正确性 (参阅 第九节) 的时候, 他并没有后悔当时曾经接下了这一课题, 因为一位真正优秀的数学家在面对一个绝顶难题的时候, 往往会被激发出最大的潜力及最敏锐的灵感。

事实上, 拿到上述课题后的第二年, Littlewood 就发现这个 ζ 函数与素数分布之间存在着紧密关联。 对于欧洲大陆的数学家来说, 这种关联已不足为奇, 因为它早在四十八年之前就被 Riemann 发现了。 但在闭塞的英国数学界, 欧洲大陆在这方面的工作当时还鲜为人知。 不过闭塞归闭塞, 例外还是有的, 其中与 Littlewood 恰好同在三一学院的 Hardy 就是一个例外。 尽管 Littlewood 的发现在时间上未能领先, 但他能独立地重复 Riemann 的部分工作, 其功力之不凡还是给年长的 Hardy 留下了深刻印象。 此后 Littlewood 在曼彻斯特大学 (University of Manchester) 大学教了三年书。 1910 他在获得了三一学院的教职后重返剑桥, 由此开始了与 Hardy 长达三十七年亲密无间的合作生涯, 直至 1947 年 Hardy 去世为止。

Hardy 与 Littlewood 的合作堪称数学史上合作关系的典范。 在他们合作的极盛时期, 欧洲数学界流传着许多有关他们的善意玩笑。 比如 Bohr (Bohr-Landau 定理中的 Bohr) 曾经开玩笑说当时英国共有三位第一流的数学家: 一位是 Hardy, 一位是 Littlewood, 还有一位是 Hardy-Littlewood。 而与之截然相反的另一个玩笑则宣称 Littlewood 根本就不存在, 是 Hardy 为了自己的文章一旦出现错误时可以有替罪羊而杜撰出来的虚拟人物。 据说 Landau (Bohr-Landau 定理中的 Landau) 还专程从德国跑到英国来证实 Littlewood 的存在性[注五]

Hardy 与 Littlewood 对临界线上非平凡零点的研究起点与 Hardy 定理相同, 也是上面提到的 G(x) 与 ξ(s) 之间的积分表达式。 在 Hardy 定理的证明中, 如我们在上文及注释中看到的, 着眼点是 2ξ(z)xz-1/z(z-1) 在整个临界线上的积分。 这一着眼点其实已经为 Hardy 定理的结果埋下了伏笔。 正所谓 “种瓜得瓜, 种豆得豆”, 既然所研究的是整个临界线上的积分, 所得到的当然也就只是有关整个临界线上零点总数的笼统结果。

那么, 为了得到能与 Riemann 猜想对非平凡零点的描述进行具体比较的结果, 我们需要什么呢? 我们需要的不仅是对整个临界线上零点总数的研究, 更重要的是要了解临界线上位于区间 0≤Im(s)≤T 的零点数目。 为此, Hardy 与 Littlewood 研究了 2ξ(z)xz-1/z(z-1) 在临界线上任一区间的积分, 即:

其中 Re(s)=1/2。 通过对这一积分的细致研究, Hardy 与 Littlewood 发现临界线上不仅有无穷多个非平凡零点, 而且虚部在 0 到 T 之间的零点总数随 T 趋于无穷的速度起码是 KT (其中 K 为大于零的常数)。 他们发表于 1921 年的这一结果在数学界并无确切名称, 我们在这里将它称之为 Hardy-Littlewood 定理[注六], 它的完整表述如下:

Hardy-Littlewood 定理: 存在常数 K>0 及 T0>0, 使得对所有 T>T0, Riemann ζ 函数在临界线上 0≤Im(s)≤T 的区间内的非平凡零点数目不小于 KT。

有了这样的具体结果, 我们就可以将它与 Riemann 猜想相比较了。 那么, Hardy-Littlewood 定理距离 Riemann 猜想这一目标究竟有多远呢? 为了回答这一问题, 我们可以回忆一下 第五节 中 Riemann 那三个命题中的第一个, 即: 在 0<Im(s)<T 的区间内 (不限于临界线上), Riemann ζ 函数的零点总数大约为 (T/2π)ln(T/2π) - (T/2π)。 这个命题于 1905 年被 Mangoldt 所证明, 并且也是 Riemann 那三个命题中迄今唯一得到证明的命题。 与这个命题相比, 我们可以看到一个令人沮丧的结果, 那就是 Hardy-Littlewood 定理所给出的对临界线上非平凡零点数目下限的渐近估计相对于零点总数来说, 其渐近比例为零! 真是不比不知道, 一比吓一跳, 原来花了这么大功夫所得到的这一结果从纯比例的角度看竟是如此地 “微不足道”。

这就是我们与 Riemann 猜想的距离所在, 也是 Riemann 猜想的难度所在。

但尽管如此, Hardy-Littlewood 定理是有关 Riemann ζ 函数非平凡零点在临界线上的具体分布的第一个解析结果。 在当时也是唯一一个那样的结果, 其重要性是不言而喻的。 Hardy-Littlewood 定理的这一纪录总共维持了 21 年, 直到 1942 年才被我们在 第十七节 中提到过的 Selberg 所打破。

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注释

  1. Hardy 一生对数学有着诸多贡献, “Hardy 定理” 这一名称有时也被用来表示复变函数论中的一个定理, 为避免歧义, 我们在这里添加了 “在 Riemann 猜想的研究中” 这一限定。
  2. 在历史上, 这种存在性证明由于其非构造性的特征, 曾被以荷兰数学家 L. E. J. Brouwer (1881-1966)、 德国数学家 Hermann Weyl (1885-1955)、 荷兰数学家 Arend Heyting (1898-1980) 等人为代表的数学哲学 “三大流派” 之一的直觉主义 (Intuitionism) 所排斥。 但是存在性证明是数学中极其重要的方法, 在很大程度上体现了逻辑与推理的力量, 就像一个高明的侦探无需跑到罪犯家中将之拿下就可以推断出谁是凶手一样。 直觉主义因排斥这种非构造性的方法而抛弃的东西实在太多, 最后就连其代表人物之一的 Weyl 也不得不承认, 在直觉主义中 “数学家们痛苦地看着数学大厦中自己深信基础坚实的许多部分在他们的眼前化为了迷雾”。
  3. 由于 ξ(s) 在临界线上为实数 (参阅 第十一节), 且 ξ(s)=ξ(s) (参阅 第二十二节), ξ(1/2+it) 作为 t 的函数是一个偶函数, 因此我们只需考虑 t>0 的情形即可。
  4. 限于篇幅, 也为了避免涉及过多的技术性内容, 我们略去了对这一点的证明。 概括的讲, 它主要包括三个步骤: 1. 消去左端的 -1-1/x 及右端被积函数中的 1/z(z-1) 以简化表达式。 具体做法是用算符 x(d2/dx2)x 作用于 G(x) 的积分表达式的两端。 这一步比较容易。 2. 证明简化后的左端 H(x)=x(d2/dx2)xG(x) 在 x→i1/2 时具有与 G(x) 一样的行为, 即所有导数都趋于零。 这一步也比较容易。 3. 证明 ξ(1/2+it) 在 t 很大时具有恒定的符号这一性质对 2ξ(z)xz-1 的积分所产生的贡献足以使得 H(x) 在 x→i1/2 时的高阶导数无法为零。 这一步比较困难。
  5. 与 Hardy-Littlewood 的合作相比, 发生在华人科学家之间的 李杨之争 不能不让人深感惋惜与遗憾。
  6. 在数学界, 以 Hardy-Littlewood 命名的最主要的定理是 Hardy-Littlewood Maximal Theorem, 但这一定理并不经常被简称为 Hardy-Littlewood 定理, 因此 “Hardy-Littlewood 定理” 这一名称可算是半个空缺, 这里我们就用他们在 Riemann 猜想领域内的这一成就来填补这半个空缺。

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