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Riemann 猜想漫谈 (十二)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十九. Montgomery-Odlyzko 定律

Montgomery 关于 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的论文于 1973 年发表在了美国数学学会的系列出版物《纯数学专题讨论文集》(Proc. Symp. Pure Math.) 上。 但最初几年里它并没有吸引多少眼球, 因为这种存在于零点分布与随机矩阵理论之间的关联无论有多么奇妙, 在当时都还只是一个纯粹的猜测, 既没有严格的数学证明, 也没有直接的数值证据。 我们在第 十三十四 两节中曾经介绍过对 Riemann ζ 函数非平凡零点进行大规模计算的部分历史。 在 Montgomery 的论文发表之初, 人们对零点的计算还只进行到几百万个, 而且——如我们在 第十五节 中所说——那些计算大都只是验证了 “前 N 个零点” 位于临界线上, 却不曾涉及零点的具体数值。 既然没有具体数值, 自然也就无法用来检验 Montgomery 的对关联假设了。 更何况——如我们在 第十六节 中所说——为了检验后者, 我们需要研究虚部很大的零点, 这显然也是当时的计算所远远不能触及的。 因此当时就连 Montgomery 自己也觉得对他的猜测进行数值验证将是极为遥远的将来的事情。

但是 Montgomery 和我们在 第十四节 中提到过的那位输掉了葡萄酒的 Zagier 一样大大低估了计算机领域的发展速度。

在 Montgomery 的论文发表五年之后的某一天, 他又来到了普林斯顿。 不过这次不是为了觐见 Selberg, 而是来做一个有关 Riemann ζ 函数零点分布的演讲。 在那次演讲的听众中有一位来自 32 英里外的贝尔实验室 (Bell Labs) 的年轻人, 他被 Montgomery 所讲述的零点分布与随机矩阵理论间的关联深深地吸引住了。 这位年轻人所在的实验室恰好拥有当时著名的 Cray 巨型计算机。 这位年轻人就是我们在 第十六节 中提到的 Odlyzko。

普林斯顿真是 Montgomery 的福地, 五年前与 Dyson 在这里的相遇, 使他了解到了零点分布与随机矩阵理论之间的神秘关联, 从而为他的研究注入了一种奇异的魅力。 五年后又是在这里, 这种奇异的魅力打动了 Odlyzko, 从而有了我们在 第十六节 中介绍过的 Odlyzko 对 Riemann ζ 函数非平凡零点的大规模计算分析。 这些计算为 Montgomery 所猜测的零点分布与随机矩阵理论间的关联提供了大量的数值证据[注一]。 这种关联, 即经过适当的归一化之后的 Riemann ζ 函数非平凡零点的间距分布与 Gauss 幺正系综 (参阅 第十八节) 的本征值间距分布相同, 也因此渐渐地被人们称为了 Montgomery-Odlyzko 定律 (Montgomery-Odlyzko Law)[注二]

Montgomery-Odlyzko 定律虽然是用 Gauss 幺正系综来表述的, 但我们在 第十八节 中曾经提到过, 随机矩阵理论的本征值分布在矩阵阶数 N→∞ 时具有普适性。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律所给出的关联并不限于 Gauss 幺正系综。 不仅如此, 这种本征值分布的普适性还有一层含义, 那就是它不仅在各种系综下都相同, 而且对系综中任何一个典型的系统——即任何一个典型的随机厄密矩阵——都相同。 换句话说, 我们不仅不需要指定系综的分布函数, 甚至连系综本身都不需要, 只要随便取出一个随机厄密矩阵就可以了。 因此 Montgomery-Odlyzko 定律实际上意味着 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述[注三]

Montgomery 当初的研究——如我们在 第十六节 中介绍的——只涉及零点分布的对关联函数。 在他之后, 人们对零点分布的高阶关联函数也作了研究。 1996 年, Z. Rudnick 与 P. Sarnak 及 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 分别 “证明” 了零点分布的高阶关联函数也与相应的随机厄密矩阵的本征值关联函数相同。 美中不足的是, 我们不得不对这种 “证明” 加上引号, 因为它们和 Montgomery 的研究一样, 并不是真正严格的证明, 它们或是引进了额外的限制条件 (如 Z. Rudnick 与 P. Sarnak 的研究), 或是运用了本身尚未得到证明的 Riemann 猜想及 强孪生素数猜想 (如 E. B. Bogomolny 与 J. P. Keating 的研究)。

但即便如此, 所有这些理论及计算的结果还是非常清楚地显示出 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布与随机厄密矩阵的本征值分布——从而与由随机厄密矩阵理论所描述的一系列复杂物理体系的性质——之间的确存在着令人瞩目的关联。 Montgomery-Odlyzko 定律在 “经验” 意义上的成立几乎已是一个毋庸置疑的事实。

二十. Hilbert-Pólya 猜想

那么在 Riemann ζ 函数非平凡零点这样的纯数学客体与由随机矩阵理论所描述的纯物理现象之间为什么会出现像 Montgomery-Odlyzko 定律那样的关联呢? 很遗憾, 这是一个我们至今也未能完全理解的谜团。 不过有意思的是, 虽然在与 Montgomery 论文的发表已相隔几十年的今天我们仍未能彻底理解 Montgomery-Odlyzko 定律的本质, 可是远在 Montgomery 的论文发表之前六十余年前的二十世纪一、 二十年代, 数学界就曾经流传过一个与 Montgomery-Odlyzko 定律极有渊源的猜想, 这个猜想也是用两个人的名字命名的, 叫做 Hilbert-Pólya 猜想 (Hilbert-Pólya conjecture), 它的内容是这样的:

Hilbert-Pólya 猜想: Riemann ζ 函数的非平凡零点与某个厄密算符的本征值相对应。

当然, 确切地讲, Hilbert-Pólya 猜想指的是: 如果把 Riemann ζ 函数的非平凡零点写成 ρ=1/2+it 的形式, 则那些 t 与某个厄密算符的本征值一一对应[注四]。 我们知道, 厄密算符的本征值全都是实数。 因此如果那些 t 与某个厄密算符的本征值相对应, 则它们必定全都是实数, 从而意味着所有非平凡零点 ρ=1/2+it 的实部都等于 1/2, 这正是 Riemann 猜想的内容。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立, 则 Riemann 猜想也必定成立。

我们在 上节 中提到, Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布可以用任何一个典型随机厄密矩阵的本征值分布来描述。 这种描述虽然奇妙, 终究只是统计意义上的描述。 但如果 Hilbert-Pólya 猜想成立, 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点干脆就直接与某个厄密矩阵的本征值一一对应了。 这是严格意义上的对应, 有了这种对应, 统计意义上的对应自然就不在话下。 因此 Hilbert-Pólya 猜想虽然比 Montgomery-Odlyzko 定律早了六十余年, 却是一个比 Montgomery-Odlyzko 定律更强的命题!

历史真是富有戏剧性, 从二十世纪早期开始流传的 Hilbert-Pólya 猜想居然在无形之中与半个多世纪之后才出现的 Montgomery-Odlyzko 定律做了跨越时间的遥远呼应。

但这一呼应实在是太遥远了, Montgomery 的论文尚且因为缺乏证据而遭到冷场, Hilbert-Pólya 猜想自然就更无人问津了。 这种冷落是如此彻底, 以至于当 Montgomery 的论文及后续研究重新燃起人们对 Hilbert-Pólya 猜想的兴趣, 并开始追溯它的起源时, 大家惊讶地发现不仅 Hilbert 和 George Pólya (1887-1985) 两人不曾在人们找寻得到的任何发表物或手稿之中留下过一丝一毫有关 Hilbert-Pólya 猜想的内容。 而且在 Montgomery 之前所有其他人的文字之中竟然也找不到任何与这一猜想有关的叙述。 一个隐约流传了大半个世纪的数学猜想竟似乎没有落下过半点文字记录, 却一直流传了下来, 真是一个奇迹!

但 Odlyzko 执著地想要探寻这一奇迹的起点。 那时候 Hilbert 早已去世, Pólya 却还健在。 1981 年 12 月 8 日, Odlyzko 给 Pólya 发去了一封信, 询问 Hilbert-Pólya 猜想的来龙去脉。 当时 Pólya 已是九十四岁的高龄, 卧病在床, 基本不再执笔回复信件了, 但 Odlyzko 的信却很及时地得到了他的亲笔回复。 毕竟, 对一位数学家来说, 自己的名字能够与伟大的 Hilbert 出现在同一个猜想中是一种巨大的荣耀。 Pólya 在回信中这样写道[注五]

很感谢你 12 月 8 日的来信。 我只能叙述一下自己的经历。

1914 年初之前的两年里我在 Göttingen。 我打算向 Landau 学习解析数论。 有一天他问我: “你学过一些物理, 你知道任何物理上的原因使 Riemann 猜想必须成立吗?” 我回答说, 如果 ξ 函数的非平凡零点与某个物理问题存在这样一种关联, 使得 Riemann 猜想等价于该物理问题中所有本征值都是实数这一事实, 那么 Riemann 猜想就必须成立。

三年后 (1985 年) Pólya 也离开了人世, 他给 Odlyzko 的这封回信便成了迄今所知有关 Hilbert-Pólya 猜想的唯一文字记录。 至于早已去世的 Hilbert 在什么场合下提出过类似的想法, 则也许将成为数学史上一个永远的谜团了。

二十一. Riemann 体系何处觅?

如上所述, 假如 Hilbert-Pólya 猜想成立, 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点将与某个厄密算符的本征值一一对应。 我们知道厄密算符可以用来表示量子力学体系的哈密顿量, 而厄密算符的本征值则对应于该量子力学体系的能级。 因此如果 Hilbert-Pólya 猜想成立, 则 Riemann ζ 函数的非平凡零点有可能对应于某个量子力学体系的能级, 非平凡零点的全体则对应于该量子力学体系的能谱。 我们把这一特殊的量子力学体系称为 Riemann 体系, 把这一体系的哈密顿量称为 Riemann 算符[注六]

那么这个神秘的 Riemann 体系——如果存在的话——会是一个什么样的量子力学体系呢?

这个问题的答案目前当然还不存在。 不过, 有关这个问题目前所知道的最重要的线索显然是来自 Montgomery-Odlyzko 定律。 由于 Montgomery-Odlyzko 定律表明 Riemann ζ 函数的非平凡零点分布与随机厄密矩阵的本征值分布相同, 因此我们不难猜测, Riemann 算符应该是一个特殊的随机厄密矩阵。 那么由这个特殊的随机厄密矩阵所描述的量子力学体系会具有什么特点呢? 这个问题自二十世纪七十年代末以来有许多人研究过。 1983 年, 法国核物理研究所 (Institut de Physique Nucléaire) 的 O. Bohigas、 M. J. Giannoni 和 C. Schmit 等人提出了一个猜想, 即由随机厄密矩阵所描述的量子体系在经典极限下对应于经典混沌体系。 这一猜想被称为 Bohigas–Giannoni–Schmit 猜想 (BGS conjecture)[注七], 它获得了一些数值计算的支持 (比如对一些以经典混沌体系为极限的特定量子体系的能级计算得出了与这一猜想相容的结果), 但迄今尚未得到严格证明。 不过虽然尚未证明, 但从物理角度上讲, 这一猜想具有一定的合理性, 因为与经典混沌体系相对应的量子体系的波函数会在一定程度上秉承经典轨迹的混沌性, 从而使得哈密顿量的矩阵元呈现出随机性, 这正是随机厄密矩阵的特点。

由此看来, Riemann 体系很可能是一个与经典混沌体系相对应的量子体系。 那么, 这个作为 Riemann 体系经典近似的经典混沌体系又具有什么样的特征呢? 这个问题人们也做过一些研究。 由于我们所知道的有关 Riemann 体系最明确的信息是这一体系的能谱——因为它与 Riemann ζ 函数的非平凡零点相对应。 因此研究 Riemann 体系的特征显然要从能谱入手。 描述量子体系能谱的一个很有用的工具是所谓的能级密度函数:

ρ(E) = Σnδ(E-En)

这里的 δ(E-En) 是所谓的 Dirac δ 函数, 求和对所有能级进行。

早在二十世纪六十年末和七十年代初, 出生于瑞士、 一度跟随著名物理学家 Wolfgang Pauli (1900-1958) 学习过量子力学的物理学家 Martin Gutzwiller (1925-) 就对这一能级密度函数的经典极限进行了研究, 并得到了一个我们现在称之为 Gutzwiller 求迹公式 (Gutzwiller trace formula) 的结果。 在对应的经典体系具有混沌性的情形下, Gutzwiller 求迹公式为:

ρ(E) = ρ(E) + 2 ΣpΣk Ap,kcos(2πkSp/h + αp)

这里的 h 为 Planck 常数, ρ(E) 是一个平均密度。 我们感兴趣的是第二项, 它包含了一个对经典极限下所有闭合轨道 p 以及沿闭合轨道的绕转数 k (k 为正整数) 的双重求和。 求和式中的 Sp 是闭合轨道 p 的作用量, αp 是一个相位, 被称为 Maslov 相位 (Maslov phase) 或 Maslov 指标 (Maslov index) 。 而 Ap,k 与 闭合轨道的性质有关, 可以表示为:

Ap,k = Tp/h[det(Mpk-I)]1/2

其中 Tp 是闭合轨道 p 的周期, Mp 则是描述闭合轨道 p 的稳定性的一个单值矩阵 (monodromy matrix)。

另一方面, 我们也可以定义一个与量子体系的能级密度函数完全类似的 Riemann ζ 函数非平凡零点的密度函数:

ρ(t) = Σnδ(t-tn)

并利用 Riemann ζ 函数的性质对这一密度函数进行计算。

1985 年, 英国数学物理学家 Michael Berry (1941-) 给出了这一计算的结果:

ρ(t) = ρ(t) - 2 ΣpΣk [ln(p)/2π]exp[-k ln(p)/2]cos[k t ln(p)]

这个公式看似寻常, 却包含了一个非常值得注意的特点, 那就是: 其中的 k 虽然是正整数, p 却受到更大的限制。 事实上, 这个公式中的 p 是素数而非一般的正整数! 将这个结果与前面有关量子体系能级密度的计算相比较, 我们发现为了使两者一致, 必须有:

αp = π

Tp = ln(p)

Sp = (ht/2π) Tp

Ap,k = Tp/[2π exp(kTp/2)]

这其中最简洁而漂亮的关系式就是 Tp = ln(p), 它表明与 Riemann 体系相对应的经典体系具有周期等于素数对数 ln(p) 的闭合轨道! 这无疑是这一体系最奇异的特征之一。

研究 Riemann 体系的努力仍在继续着, 在一些数学物理学家的心目中, 它甚至已经成为了一种证明 Riemann 猜想的新的努力方向, 即所谓的物理证明[注八]。 会不会有一天人们在宇宙的某个角落里发现一个奇特的物理体系, 它的经典基本周期恰好是 ln2, ln3, ln5……? 或者它的量子能谱恰好包含 14.1347251, 21.0220396, 25.0108575…… (读者们应该还记得这些是什么数吧)? 我们不知道。 也许并不存在这样的体系, 但如果存在的话, 它无疑是大自然最美丽的奇迹之一。 只要想到像素数和 Riemann ζ 函数非平凡零点这样纯粹的数学元素竟有可能出现在物理的天空里, 变成优美的轨道和绚丽的光谱线, 我们就不能不惊叹于数学与物理的神奇, 惊叹于大自然的无穷造化。 而这一切, 正是科学的伟大魅力所在。

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注释

  1. 这种数值证据之一便是我们在 第十六节 中给出的关于 Montgomery 零点对关联函数的拟合曲线。
  2. 这 “定律” 二字通常在物理学中用得比在数学中多, 它很贴切地表达了这一命题虽有大量的数值证据, 却缺乏数学意义上的严格证明这一特点。
  3. 当然, 别忘了 N→∞ 这一条件。
  4. 第十一节 中引进 s=1/2+it 以来, 当我们提到 Riemann ζ 函数的非平凡零点时, 实际指的往往是零点虚部的大小 t, 这一点读者应该能很容易地从上下文中判断出来。
  5. Pólya 提到的 ξ 函数应该是指我们在 第五节注释 中提到的 Riemann 本人所定义的 ξ 函数。 Riemann 猜想等价于那个 ξ 函数的零点为实数。
  6. 严格讲, 量子力学中所有的可观测量都是由厄密算符表示的, 哈密顿量只是其中之一。 不仅如此, 由厄密算符的本征值所描述的物理量甚至并不限于量子力学中的物理量。 从 Pólya 给 Odlyzko 的信中也可以看到, Pólya 当年并没有对与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的 “物理问题” 做具体的猜测。 因此从 Hilbert-Pólya 猜想到 Riemann 体系是后人所做的进一步猜测。 之所以做这种进一步猜测, 除了哈密顿量对物理体系所具有的重要性外, 或许也是因为随机矩阵理论最初是在研究原子核能级时被引入物理学中的。 另一方面, 量子体系的能级是自然界中含义最为深刻的离散现象之一, 而且与零点分布一样都是有下界的, 这或许也是人们把注意力集中到这一方向上的原因之一。
  7. Bohigas–Giannoni–Schmit 猜想的原始表述针对的是 Gauss 正交系综。
  8. 数学家们则称这种方法为 “谱方法” (spectral approach), 因为它的要点是寻找一个本征值的全体——即谱——与 Riemann ζ 函数非平凡零点相对应的厄密算符。

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