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Riemann 猜想漫谈 (十六)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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二十七. Levinson 方法

Selberg 的临界线定理表明 Riemann ζ 函数临界线上的零点在全体非平凡零点中所占比例大于零。 那么这个比例究竟是多少呢? Selberg 在论文中没有给出具体的数值。 据说他曾经计算过这一比例, 得到的结果是 5%-10%[注一]。 另外, 中国数学家闵嗣鹤 (1913-1973) 在牛津大学留学 (1945-1947) 时, 曾在博士论文中计算过这一比例, 得到了一个很小的数值。 这些结果或是太小, 或是没有公开发表, 在数学界鲜有反响。 总的来说, Selberg 的结果更多地是被视为是一种定性的结果——即首次证明了位于临界线上的零点占全体非平凡零点的比例大于零。

有关这一比例的具体计算时隔二十多年才有了突破性的、 并且引人注意的进展。 这一进展是由美国数学家 Norman Levinson (1912-1975) 做出的。 Levinson 小时候家境非常贫寒, 父亲是鞋厂工人, 母亲目不识丁且没有工作, 但他在十七岁那年成功地考入了著名的高等学府麻省理工学院 (Massachusetts Institute of Technology, 简称 MIT)。 在 MIT 的前五年, Levinson 在电子工程系就读, 但他选修了几乎所有的数学系研究生课程, 并得到了著名美国数学家 Norbert Wiener (1894-1964) 的赏识。 1934 年, Levinson 转入了数学系。 这时 Levinson 的水平已完全具备了获取数学博士学位的资格, 于是 Wiener 帮他申请了一笔奖学金, 让他去 Hardy 所在的剑桥大学访问了一年。 次年, Levinson 返回 MIT, 立即拿到了博士学位。 Levinson 在学术生涯的早期先后经历了美国的经济大萧条及麦卡锡主义 (McCarthyism) 的盛行, 几次面临放弃学术研究的窘境, 但最终还是幸运地度过了难关。

Levinson 在 Fourier 变换、 复分析、 调和分析、 随机分析、 微分及积分方程等领域都做出过杰出贡献。 他二十八岁时就在美国数学学会出版了有关 Fourier 变换的专著, 这通常是资深数学家才有机会获得的殊荣; 他在非线性微分方程领域的工作于 1953 年获得了美国数学学会 (American Mathematical Society) 每五年颁发一次的 Bôcher 纪念奖 (Bôcher Memorial Prize); 他 1955 年完成的著作《常微分方程理论》一出版就被誉为了这一领域的经典著作。 但他最令世人惊叹的则是在年过花甲, 生命行将走到尽头的时侯, 忽然在 Riemann 猜想研究中获得了重大突破, 给出了临界线上零点比例的一个相当可观的下界估计。

Levinson 对临界线上零点比例的研究采取了与 Hardy、 Littlewood 及 Selberg 都十分不同的方法。 他的基本思路来源于 Riemann ζ 函数 ζ(s) 的零点分布与其导数 ζ'(s) 的零点分布之间的关联。 早在 1934 年, 瑞士数学家 Andreas Speiser (1885-1970) 就曾经证明过, Riemann 猜想等价于 ζ'(s) 在 0<Re(s)<1/2 上没有零点。 1974 年 Levinson 与 Montgomery 合作证明了 Speiser 结果的一个定量版本, 那就是 ζ'(s) 在开区域 {-1<Re(s)<1/2, T1<Im(s)<T2} 内的零点数目与 ζ(s) 在 {0<Re(s)<1/2, T1<Im(s)<T2} 内的零点数目之比渐近于 1。 有了这一结果, 人们就可以通过研究 ζ'(s) 的零点分布, 而得到有关 ζ(s) 在临界线上的零点数目的信息[注二], 这正是 Levinson 所做的。 与上述结果的发表同年 (即 1974 年), Levinson 通过这种方法, 得到了对临界线上零点比例下限的一个突破性的估计。

Levinson 的研究在刚开始的时侯给出了一个非常乐观的结果: 98.6%! 他把自己的一份手稿交给了同事、 意大利裔美国数学家 Gian-Carlo Rota (1932-1999), 并且幽默地宣称自己可以把这个比例提高到 100%, 但他要把剩下的 1.4% 留给读者去做。 Rota 信以为真, 便开始传播 “Levinson 证明了 Riemann 猜想” 的消息。 这很快被证明是一个双重错误: 首先, 在 Levinson 所采用的方法中, 即使真的把比例提高到 100%, 也不等于证明了 Riemann 猜想; 其次, 很快就有人在 Levinson 的证明中发现了错误。 幸运的是, 该错误并没有彻底摧毁 Levinson 的努力, 只不过那个奇迹般的 98.6% 掉落尘埃, 变成了 34%。 Levinson 最终把自己论文的标题定为了: “Riemann Zeta 函数超过三分之一的零点位于 σ=1/2”[注三]。 如果我们用 N0(T) 表示临界线上区间 0<Im(s)<T 内的零点数目, 而 N(T) 表示临界带上区间 0<Im(s)<T 内的零点数目——即满足 0<Im(s)<T 的全部非平凡零点的数目, 则 Levinson 的结果可以表述为[注四]

Levinson 临界线定理: 存在常数 T0>0, 使得对所有 T>T0, N0(T) ≥ (1/3) N(T)。

Levinson 的这一结果是继 Selberg 之后在这一领域中的又一个重大进展, 它不仅为临界线上的零点比例给出了一个相当可观的下界, 更重要的是, Levinson 的这种把 ζ(s) 与 ζ'(s) 的零点分布联合起来进行研究的方法——被称为 Levinson 方法——为许多后续研究奠定了基础。

二十八. 艰难推进

运用 Levinson 方法进行零点研究的第一项后续研究是由他本人做出的。 1975 年, 即紧接着上述研究的那一年, Levinson 把对临界线上零点比例的下界估计提高到了 0.3474。 这虽然是一个很小的推进, 但这种计算每一个都异常繁复, 而 Levinson 当时的身体状况已经极差, 他能够完成这样的计算堪称是一个奇迹。 事实上, 那已是他生命中的最后一个年头, 那一年的十月十日, Levinson 因患脑瘤在他的学术故乡波斯顿 (Boston——MIT 的所在地) 去世。

在 Levinson 之后, 数学家们艰难地推进着 Levinson 的结果, 但速度极其缓慢。 1980 年, 中国数学家楼世拓与姚琦证明了 N0(T) ≥ 0.35 N(T); 1983 年, 美国数学家 Brian Conrey 证明了 N0(T) ≥ 0.3685 N(T)。 这些结果都是在小数点后的第二位数字上做手脚。 1989 年, Conrey 终于撼动了小数点后的第一位数字, 他把比例系数提高到了 0.4, 即:

Conrey 临界线定理: 存在常数 T0>0, 使得对所有 T>T0, N0(T) ≥ (2/5) N(T)。

这是迄今为止数学家们在这一方向上所获得的最强的结果[补注一]。 Conrey 认为自己的证明还有改进的空间, 但计算实在太过复杂, 不值得花费时间了。 他的说法是: 如果可以把估计值提高到 50% 以上, 那就值得去做, 因为那样的话人们至少可以说 Riemann ζ 函数的大部分非平凡零点都在临界线上。 可惜 Conrey 认为他的证明能够改进的幅度不会超过几个百分点, 不可能达到 50%。 不仅 Conrey 的证明如此, 整个 Levinson 方法的改进空间有可能都已不太大了, 目前数学家们普遍认为用 Levinson 方法不可能把对临界线上零点比例的下界估计推进到 100%。

虽然数学家们在推进临界线上零点比例的下界估计上进展缓慢, 但在这一过程中他们也得到了许多相关的结果。 这其中很重要的一类结果是关于单零点 (simple zero) 在全部非平凡零点中所占比例的估计。 数学家们普遍猜测, Riemann ζ 函数所有的零点都是单零点[注五], 这被称为单零点假设 (simple zero conjecture), 它是一个迄今尚未得到证明的命题。 不过, 与 Riemann 猜想类似, 单零点假设也得到了许多数值及解析结果的支持。 1979 年, 英国数学家 Roger Heath-Brown (1952-) 对 Levinson 方法做了改进 (Selberg 也做了同样的工作, 但没有发表), 使之给出的比例变成有关单零点的比例, 从而把 Levinson 1975 年的结果转变成至少有 34.74% 的非平凡零点位于临界线上, 并且都是单零点。 类似地, Conrey 临界线定理也被转变成至少有 2/5 的非平凡零点位于临界线上, 并且都是单零点。 除此之外, 由于单零点假设通常与 Riemann 猜想联系在一起 (有些数学家甚至将之视为 Riemann 猜想的一部分), 因此也有一些数学家研究了在所有非平凡零点都位于临界线上 (即传统的 Riemann 猜想成立) 的前提下, 非平凡零点中单零点所占的比例。 比如 Montgomery 在 1973 年曾经证明了如果 Riemann 猜想成立, 则至少有 2/3 的非平凡零点是单零点。

除了对 Riemann ζ 函数的零点进行研究外, 数学家们对与之关系密切的 ξ 函数 (忘记这一函数的读者请温习一下 第五节) 及其导数的零点分布也作过一些研究。 比如上文提到的 1983 年 Conrey 的结果所针对的实际上是 ξ(s) 及其各阶导数, 他得到的主要结果为:

  • ξ(s) 的零点至少有 36.85% 在临界线上。
  • ξ'(s) 的零点至少有 81.37% 在临界线上。
  • ξ''(s) 的零点至少有 95.84% 在临界线上。
  • ξ'''(s) 的零点至少有 98.73% 在临界线上。
  • ξ''''(s) 的零点至少有 99.48% 在临界线上。
  • ξ'''''(s) 的零点至少有 99.70% 在临界线上。

不仅如此, Conrey 还给出了有关更高阶导数的渐近结果[注六]。 在上面所列举的结果中, ξ(s) 的零点由于恰好与 ζ(s) 的非平凡零点相重合 (参阅 第五节), 因此有关 ξ(s) 零点的结果等价于上文所提到的 N0(T) ≥ 0.3685 N(T)。

从 Conrey 的这一系列结果中不难看到, 有关 ξ(s) 各阶导数的结果远比有关 ξ(s) 本身的结果强得多。 因此, 如果有什么办法能像 Levinson 在 ζ(s) 与 ζ'(s) 之间建立的关联那样, 把有关 ξ(s) 各阶导数的结果转化为有关 ξ(s) 本身的结果——从而也就是有关 ζ(s) 的结果, 那将对临界线上的零点估计再次产生突破性的影响。 Levinson 在临终前曾认为自己已经有这样的办法, 可惜他很快去世了, 而迄今为止谁也没能找到这种办法。 不过, 尽管迄今还没有办法把有关 ξ(s) 各阶导数的结果转化为有关 ξ(s) 本身的结果, Conrey 对 ξ(s) 各阶导数的研究依然是很有意义的, 因为可以证明: 如果 Riemann 猜想成立, 则 ξ(s) 与它的各阶导数的零点都必定位于临界线上。 换句话说, 只要发现 ξ(s) 及其任意阶导数的任何一个零点不在临界线上, 就等于否证了 Riemann 猜想。 因此, Conrey 的结果可以被视为是对 Riemann 猜想很有力的间接支持。

二十九. 哪里没有零点?

读者们也许注意到了, 我们前面各节所介绍的有关零点分布的解析结果沿袭着一条共同的思路, 那就是尽可能地 “抓捕” 位于临界线上的零点。 从 Bohr-Landau 定理确立临界线是零点分布的汇聚中心, 到 Hardy 定理确立临界线上有无穷多个零点, 到 Hardy-Littlewood 定理确定该 “无穷多” 最起码的增长方式, 到各种临界线定理确定临界线上零点比例的下界, 到有关单零点的类似结果, 再到 ξ(s) 及各阶导数在临界线上零点比例的下界…… 所有这些努力, 都是在试图 “抓捕” 临界线上的非平凡零点, 或与之有关的性质。

这样的思路当然是非常合理的, 因为 Riemann 猜想所 “猜想” 的正是所有的非平凡零点都位于临界线上。 如果我们能在临界线上把所有的零点一一 “抓捕归案”, 自然也就证明了 Riemann 猜想。 但是, 正如我们在这个漫长系列中所看到的, “抓捕” 零点是一件极其困难的事情, 这么多年来, 经过这么多数学家的持续努力, 我们在临界线上 “抓捕” 到的零点数目还不到总数的一半。 在这种情况下, 我们不妨换一个角度来思考问题: 既然我们还无法证明所有的零点都位于临界线上, 那何不先试着排除掉某些区域呢? 排除掉的区域越多, 零点可以遁形的地方也就越少, 这就好比是侦探在寻找罪犯时把无关的人员排除得越干净, 就越有利于锁定罪犯。 如果我们可以把临界线以外的所有区域——即 Re(s)<1/2 与 Re(s)>1/2——全部排除掉, 也同样就证明了 Riemann 猜想。

遗憾的是, 数学家们在这方面所获得的进展比直接捕捉零点还要少得多, 简直可以说是少得可怜。 从排除区域的角度上讲, 最先被排除掉的是 Re(s)<0 及 Re(s)>1, 这是非常简单的结果 (参阅 第五节附录一)。 接着被排除掉的是 Re(s)=0 及 Re(s)=1, 这是非常困难的结果, 它直接导致了素数定理的证明 (参阅 第七节), 临界带的概念也由此产生。 这些结果距今都已经超过一百年了, 那么在时隔一百多年之后, 我们是否有能力把这类结果再推进一点, 比方说把临界带的右侧边界由 Re(s)=1 向左平移为 Re(s)=1-ε (ε>0), 从而把 Re(s)≥1-ε 的区域排除掉呢[注七]? 不幸的是, 我们迄今还没有这个能力。 无论把 ε 取得多小, 一百多年来也始终没有人能够把 Re(s)≥1-ε 的区域排除掉。 迄今为止, 数学家们所能证明的只有诸如临界带之内曲线 Re(s)=1-c/ln[|Im(s)|+2] (c>0) 右侧的区域内没有非平凡零点之类的结果[注八]。 由于曲线 Re(s)=1-c/ln[|Im(s)|+2] 在 Im(s)→∞ 时无限逼近于 Re(s)=1, 因此我们无法利用这一结果将临界带的右侧边界向左平移哪怕最细微的一丁点。

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注释

  1. 也有说是 1% 左右。 需要提醒读者的是, 这种比例指的都是下界, 比如 5%-10% 指的是至少有 5%-10% 的非平凡零点在临界线上。
  2. 确切地说, 从上述结果中直接得到的是有关 ζ(s) 在临界线之外——即 0<Re(s)<1/2——的零点数目的信息 (请读者想一想我们为什么不提 1/2<Re(s)<1?)。 但由此可以很容易地推出有关临界线上零点数目的信息。
  3. 这里的 σ 就是 Re(s)。
  4. 与 Selberg 的情形类似, “Levinson 定理” 这一名称也已名花有主, 在本系列中我们把形如 N0(T) ≥ CN(T) 的定理均称为临界线定理, 除对 Selberg 的结果不加冠语外, 其余一律以证明者的姓氏来区分。 另外需要指出的是, Levinson 的原始论文所讨论的比例是针对 N0(T+U)-N0(T) 与 N(T+U)-N(T) (U 是一个与 T 有关的正数), 而不是直接针对 N0(T) 与 N(T)的。 不过可以证明, 在比例小于 100% 时这两者等价 (比例等于 100% 时则不等价)。 结合本注释, 感兴趣的读者不妨回过头去思考一下正文所说的 “在 Levinson 所采用的方法中, 即使真的把比例提高到 100%, 也不等于证明了 Riemann 猜想” 的原因。
  5. 这其中也包括平凡零点, 但平凡零点为单零点是很容易证明的。
  6. Conrey 所证明的渐近结果表明 ξ(n)(s) 位于临界线上的零点的比例下界 pn 在 n→∞ 时满足渐近规律: |1-pn|~O(n-2)。
  7. 由于零点分布的对称性, 在这种情况下临界带的左侧边界也将相应改变。 人们有时把临界带的边界可以向内平移称为准 Riemann 猜想 (quasi-Riemann hypothesis)。
  8. 这一结果的基本形式是 Vallée-Poussin 于 1899 年给出的, 距今已有一百多年历史了。 数学家们对这一结果的改进极为有限, 比如只能将曲线改变为 Re(s)=1-c/(lnln|Im(s)|)1/3(ln|Im(s)|)2/3, 而无法改变曲线无限逼近 Re(s)=1 这一特点。

补注

  1. 2012 年 4 月, 中国数学家冯绍继在《数论杂志》(Journal of Number Theory) 上发表论文, 在 Levinson 和 Conrey 方法的基础上, 将零点比例的下界估计提高到了 0.4128。 [2014-03-20]

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