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Riemann 猜想漫谈 (十七)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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三十. 监狱来信

在前面各节中, 我们介绍了数学家们在证明 Riemann 猜想的漫长征途上所做过的多方面的尝试。 这些尝试有些是数值计算, 它们虽然永远也不可能证明 Riemann 猜想, 却有可能通过发现反例而否证 Riemann 猜想——当然, 迄今为止并未有人发现反例; 有些则是解析研究, 它们具有证明 Riemann 猜想的潜力, 但迄今为止距离目标还很遥远。 如果小结一下的话, 那么这两类尝试虽然很不相同, 却都可以被归为直接手段, 因为它们的目标都是 Riemann 猜想本身。

既然这两类直接手段都遇到了困难, 那我们不妨来问这样一个问题: 除这些直接手段外, 还有没有别的手段可以帮我们研究 Riemann 猜想, 或至少带给我们一些启示呢?

答案是肯定的。

事实上, Riemann 猜想虽然是一个极为艰深的难题, 但这种长时间无法解决的难题在科学上是并不鲜见的。 科学家们对付这种难题的大思路其实很简单, 那就是直接手段行不通时, 就采用间接手段。 当然, 大思路虽然简单, 具体采取什么样的间接手段, 可就大有讲究了。 一般来说, 常用的间接手段有两类: 第一类是研究与原问题相等价的问题——那样的问题一旦被解决, 原问题自然也就解决了[注一]; 第二类则是研究与原问题相类似、 但却更简单的问题——这类手段虽不能解决原问题, 却有可能带给我们启示。 更重要的是, 在原问题实在太艰深时, 这类手段往往比其它手段更具可行性。

就目前我们对 Riemann 猜想的了解而言, 它看来是属于那种 “原问题实在太艰深” 的情形, 因此我们要介绍的间接手段是 “往往比其它手段更具可行性” 的第二类间接手段。 这类手段在科学研究中有着广泛的应用。 比如物理学家们遇到很困难的三维空间中的问题时, 往往转而研究二维、 一维, 甚至零维空间中与原问题相类似的问题。 又比如生物学家们从事一些不宜在人体上作尝试的研究时, 往往转而用动物作为研究对象。 最近比较热门的用凝聚态体系模拟基础问题的做法, 也是第二类间接手段的例子[注二]。 这类手段通俗地讲, 其实就是研究 “山寨版” 的问题。 只不过与经济领域中的 “山寨版” 产品被四处喊打不同, 科学领域中的 “山寨版” 问题不仅不违规, 对它们的研究还广受鼓励。 有时候, 在 “山寨版” 问题上的突破, 甚至能成为重大的科学成就, 并获得重大的科学奖项。 Riemann 猜想就是一个很好的例子, 它的艰深与重要, 使得 “山寨版” 的 Riemann 猜想也 “鸡犬升天”, 变成了非同小可的问题, 研究或解决它的数学家甚至可以获得数学界的最高奖, 堪称是史上最牛的 “山寨版”[注三]

为了介绍这种史上最牛的 “山寨版”, 让我们把时光暂时拉回到 1940 年。

1940 年 4 月, 著名的法国几何学家 Élie Cartan (1869-1951) 收到了一封奇怪的信件, 它的寄信人地址是位于法国海滨城市 Rouen 的一座军事监狱。

一位著名数学家居然收到一封来自监狱的信件, 那会是什么样的信件呢? 照常理来说, 最大的可能性是某位民间 “科学家” (简称民科) 的杰作, 对于法国数学家来说, 情况尤其如此。 因为在这方面, 法国科学院 (French Academy of Sciences) 可谓是开了风气之先——自从一个多世纪前它为 Fermat 大定理悬赏以来, 民科信件便如雪片般地飞向了法国数学家的手里。 那热情, 就连一百多年的时光也不足以使之熄灭。 自那以后, 知名法国数学家收到民科来信就不再是新鲜事了。 不过 Cartan 收到的这封信件却有些不同, 它的寄信人地址虽然很 “民间”, 笔迹却颇为熟悉, 因为那笔迹属于一位真正的数学家。 那数学家不仅 Cartan 认识, 更是他那数学家儿子 Henri Cartan (1904-2008) 的好朋友。 那位数学家叫做 André Weil (1906-1998), 他一生的许多重要工作虽然还有待于此刻拿在 Cartan 手里的这封监狱来信来揭开序幕, 但当时的他就已在代数、 分析、 数论等诸多领域中享有了一定的声誉。 五年前, 他还与几位志同道合的年轻数学家 (其中包括 Henri Cartan) 一同, 创立了一个后来大名鼎鼎的数学学派——Bourbaki 学派。

Cartan 对笔迹的细心留意使那封监狱来信免遭了被弃之垃圾桶的命运, 也为我们的 Riemann 猜想之旅增添了一段新的故事。

三十一. 与死神赛跑的数学家

André Weil
André Weil

身为数学家的 Weil 怎么会跑到监狱里去的呢? 这还得从他早年的一些经历说起。

Weil 是一位早熟的数学家, 自九岁开始就在一份中学数学刊物上展露头角, 对数学的喜爱可以说是达到了着迷的程度。 据说有一次 Weil 不小心摔了一跤, 他那后来成为哲学家的妹妹所想到的安慰办法, 居然是立刻去把他的数学书找来。 十六岁时, Weil 进了一所名为 École Normale Supérieure 的学校, 这个校名翻译成中文是一个很土的名字, 叫做 “高等师范学校”。 但莫看名字不起眼, 它实际上却是一所为法国先后培养过十二位 Nobel 奖得主及十位 Fields 奖得主的一流学府。 在那里, Weil 参加了曾经证明过素数定理 (参阅 第七节) 的著名数学家 Hadamard 的讨论班, 并开始研读包括 Riemann 在内的一些数学大师的著作。 此外, 他还结交了精研印度及东方文化的教授 Sylvain Lévi (1863-1935)。 受后者影响, Weil 一生都对印度文化怀有浓厚兴趣。 自十九岁起, Weil 开始在欧洲各地游历, 每到一处都结交了不少朋友。 1930-1932 年间, 他到自己神往已久的印度生活了两年多, 亲自接触了这个古老国度的古老文化。 1935 年, 他还访问了苏联, 结识了一些苏联数学家。

但他万万不曾想到的是, 对印度文化的钟爱及与苏联数学家的友谊在不久之后将给他带来巨大的麻烦, 甚至险些让他葬身在异国他乡。

受印度教中某些和平主义思想的影响, 在二战前夕的 1939 年夏天, Weil 作出了逃避兵役的决定。 为此, 他和妻子来到了北欧国家芬兰, 打算以此为跳板前往美国。 在芬兰期间, 他沿袭了自己喜好游历的习惯, 一边在各处旅行, 一边与几位苏联数学家展开通信联络, 讨论数学问题。 几个月后, 二战爆发, 芬兰与苏联的关系趋于紧张, Weil 与苏联人的通信开始引起芬兰方面的警惕: 一个外国人, 不远千里, 来到芬兰, 专门与苏联人联系, 这是什么行为? 芬兰方面的警惕很快就变成了 Weil 的厄运。 1939 年 11 月底, 苏芬战争爆发, Weil 这位曾经访问过苏联, 当时仍与苏联人频繁通信, 甚至还很巧合地在战争爆发前夕游历到苏芬边境过的法国人, 几乎立刻就被当成苏联间谍抓捕归案。

在 Weil 的物品中, 芬兰警察发现了俄文信件, 其中还夹带着疑似间谍符号的奇怪记号 (其实是数学符号)[注四]。 此外, 芬兰警察还发现了一个名叫 Nicolas Bourbaki 的可疑人物的卡片。 这就让事情更说不清了, 因为 Nicolas Bourbaki 是 Weil 等人为 Bourbaki 学派所取的笔名 (跟间谍的化名差不多), 而那卡片则只不过是 Weil 等人发挥自己的幽默感制作出的道具。 可惜战云笼罩下的芬兰警察没有心情玩幽默, 数学符号也好, 幽默道具也罢, 通通被视为了间谍证据——至于你信不信, 芬兰警察反正信了。

Weil 帮苏联人做间谍一事就这样被定了罪——而且是死罪。 他的人生之旅走到了最危险的时刻。

在这冰天雪地的异国他乡, 有什么人能将他从死神手里救回呢?

临刑前的傍晚, Weil 在冰冷的死牢中等待最后一个黑夜的降临, 当地的警察局长却正在参加一个热闹的晚宴。 人生的际遇有时是很有戏剧性的。 与苏联人讨论数学看似无害, 却为 Weil 带来了死罪; 而警察局长的晚宴看似无益, 却成为了 Weil 的救命稻草。 因为参加晚宴的宾客中有一位数学家名叫 Rolf Nevanlinna (1895-1980)。 此人恰好是 Weil 的朋友。 Weil 在被审讯时曾经提到过这位朋友, 可惜没管用, 因为谁也不相信一位 “苏联间谍” 的话, 更懒得去核实。 Nevanlinna 是 Helsinki 大学的数学教授, 在全世界数学家的行列里虽排不到前列, 在芬兰却是很著名的数学家[注五], 名声之大甚至连警察局长也认识。 于是警察局长走到 Nevanlinna 身旁, 与他聊起了近日的 “打黑” 成果。 他告诉 Nevanlinna: “我们明天将处决一名间谍, 他声称认识您。 通常我是不会为这类琐事打扰您的, 但既然我们都在这里, 我很高兴能有机会直接咨询一下您。” Nevanlinna 就问: “他叫什么名字?” 警察局长回答说: “André Weil”。 Nevanlinna 大吃了一惊, 自己的朋友居然变成间谍, 这真是 “眼睛一眨, 老母鸡变鸭” 了! 当然, 他对事情的原委是一无所知的, 不过他还是建议警察局长不要处决 Weil, 而改为驱逐出境。

这一建议救了 Weil 的命。 他被芬兰警方送往瑞典边境驱逐出境, 瑞典警方随即逮捕了他, 将他送往英国, 如此几经接力, Weil 于 1940 年 2 月被送回到了法国警方手里。 法国警方则以 “逃避兵役” (desertion) 为由将他收押在前面提到的海滨城市 Rouen 的军事监狱中, 等候判决。

我们在 第二十五节 中介绍 “独行侠” Selberg 时曾经提到过, 战争造成的孤立在 Selberg 眼里有一种全然不同的感觉, 他将之比喻为是处在一座监狱里, 虽然与世隔绝, 却有机会把注意力集中在自己的想法上, 从而对研究来说有许多有利的方面。 Selberg 后来果真利用那样的孤立时光, 在 Riemann 猜想研究中取得了重要进展 (即 临界线定理)。 现在, 我们有了一个更好的例子来印证 Selberg 的感觉, 那就是 Weil。 与 Selberg 的比喻不同, Weil 可是货真价实地蹲了监狱, 他所取得的成果也确实对得住那样的经历。 而且很巧的是, 他那成果也与 Riemann 猜想有关——确切地说是跟 “山寨版” 的 Riemann 猜想有关。 他那成果原本是应该等到出狱之后才发布的, 但死里逃生的经历使他对命运感到了迷惘, 为防不测, 他决定将成果写成信件先发出去, 于是就有了 Cartan 所收到的那封监狱来信。

Weil 的经历和成果引起了一些数学家的 “眼红”。 Henry Cartan 在读了父亲转给他的 Weil 的监狱来信后, 毫不隐讳地向 Weil 表示了 “羡慕” 之心: “我们都没那么幸运, 能像你那样不受干扰地坐下来工作”。 Weil 的印度朋友、 Hardy 的学生 Tirukkannapuram Vijayaraghavan (1902-1955) 则不止一次地感慨道: “如果能有六个月或一年时间蹲监狱的话, 我肯定能证明 Riemann 猜想。” 这种幽默感想必是从他老师 Hardy 那儿学来的, 其可信度当然也只能与 Hardy 的明信片 相提并论。 事实上, 如果蹲六个月或一年的监狱就能证明 Riemann 猜想的话, 数学家们肯定是会抢破脑袋去把牢底坐穿的, 毕竟, 与我们题记所引的 Montgomery 那句话相比, 蹲几个月监狱这种代价实在算不上什么。 Weil 本人对自己在监狱里取得的成果也深感自豪, 在给妻子的信中表示: “我的数学工作进展得超乎我最大胆的期望, 我甚至有点担心——假如只有在监狱里才工作得这么好的话, 我是不是每年都该把自己关起来两三个月?”

不过, 这样 “不受干扰” 的 “好日子” 并没有持续太久。 1940 年 5 月初, 对 Weil 的判决下来了, 他因逃避兵役被判五年监禁。 但这一判决带有一个宽限条件, 那就是假如他愿意到战斗部队去服役的话, 就可以免除监禁。 Weil 接受了这一条件 (幽默归幽默, 坐牢的滋味毕竟是不好受的)。 他没有想到的是, 这一选择使他在与死神的赛跑中又一次鬼使神差般地脱了身, 因为随着法国在二战中的快速退败, 仅仅一个多月后, 海滨城市 Rouen 就落入了德国人手中, 尚被关押在军事监狱里的囚犯则全部遭到了德军的枪杀。

战争仍在继续, 但不久之后, Weil 利用一份伪造的肺炎证明骗过军方, 如愿以偿地实施了当初前往芬兰时就拟定的赴美计划。 1941 年初, Weil 全家抵达纽约, 开始了全新的生活。 到达美国后, 他在 Lehigh 大学、 Chicago 大学等地任过教, 最终则落户于 Princeton 高等研究院, 安然度过了自己的学术晚年。 Weil 的一生在数学上有着颇多建树, “山寨版” 的 Riemann 猜想只是他的研究方向之一。 Weil 在这一方向上的研究持续了很多年, 他虽不是这一方向的开创者, 却对其发展起到了承前启后的作用, 并且还因这一方向上的研究, 而对代数几何 (algebraic geometry) 的发展起到了促进作用[注六]

卖了半天关子, 这 “山寨版” 的 Riemann 猜想究竟是什么样子的呢? 说起来有些出人意料, 它虽然只是 “山寨版”——因而比 “正版” 简单, 但对多数读者来说, 它的表述却远比 “正版” 复杂得多, 对科普来说更是堪称坚果。 接下来, 我们就要来啃一啃这枚坚果 (不排除崩坏牙齿的可能性)。

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注释

  1. 除研究等价问题外, 人们有时还会研究比原问题更普遍的问题。 有读者可能会问: 那样的问题难道不应该与原问题同样困难、 甚至更困难吗? 是的, 一般来说, 与一个难题相等价或更普遍的问题本身也不太可能是省油的灯。 但是, 解决难题往往需要灵感, 而不同的问题 (哪怕是等价的问题) 所能激发的灵感是不同的, 因此研究那样的问题有时能起到意想不到的作用。
  2. 这方面的一个例子, 是利用石墨烯 (graphene) 中的电子运动与相对论量子力学中无质量粒子运动的类似性, 来研究后者 (参阅拙作 石墨烯——从象牙塔到未来世界)。 此外, 2009 年受到过一些媒体关注的用特定流体中的声子运动来模拟黑洞附近的光子行为的所谓 “声学黑洞” (sonic black hole) 研究也是一个例子。
  3. 需要补充说明的是, “山寨版” Riemann 猜想的重要性并不仅仅来自于 “正版” Riemann 猜想的艰深与重要, 它本身以及它与其它数学领域的关联也有着不容忽视的重要性。
  4. 据 Weil 后来回忆, 那信件是著名苏联数学家 Lev Pontryagin (1908-1988) 的来信。
  5. 顺便提一下, Nevanlinna 的学生当中有一位很著名的人物: Lars Ahlfors (1907-1996)。 他是第一届 Fields 的得主, 所著《复分析》(Complex Analysis) 一书是该领域最著名的教科书。
  6. Weil 没有获得过 Fields 奖, 但他所从事的将代数几何的方法与数论实践相结合的研究, 使他于 1979 年获得了数学界的另一个著名奖项: Wolf 奖 (Wolf Prize)。 他所开创的研究领域则使几位其他数学家获得了 Fields 奖。

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网友讨论选录

  • 网友: 星空浩淼   (发表于 2011-09-14)

    一如既往的好文。 我觉得《Riemann 猜想漫谈》系列是昌海兄最值得出版的系列文章之一。

  • 网友: rainbow   (发表于 2011-09-14)

    Riemann 猜想系列, 真是久违了。

  • 网友: 来自 140.109 的游客   (发表于 2011-09-14)

    《Riemann 猜想漫谈》這一系列的文章實在精彩, 看得非常過癮, 如果有機會出版的話, 我一定要買一本。

  • 网友: sfman   (发表于 2011-09-14)

    真的非常喜欢这个系列, 感觉确实好看。 记得 2010 年春节我一口气把此系列当时有的都看完, 绝对是那个春节最美好的回忆!

  • 网友: 来自 221.137 的游客   (发表于 2011-09-16)

    终于看到这个系列的继续了, 激动。 当初关注博主就是因为这个系列写得实在太好了。

  • 网友: 来自 216.165 的游客   (发表于 2011-09-19)

    又是一篇科普好文章, 文章还运用了一下刚流行的高铁体语言。 真正的数学家在监狱逆境中还是可以作出惊人数学发现, 真是具有难以置信的数学才能。

  • 网友: 来自 76.240 的游客   (发表于 2011-09-23)

    使用 “山寨版” 一词似不妥。 数域和函数域的相似性早在 19 世纪中期就被 Dedekind 和 Kronecker 等人注意到, 希尔伯特提出一般类域的互反律时, 肯定是指数域和函数域同时成立的互反律, 不存在数域是正版, 而函数域是山寨的问题。

    这个系列写得非常生动, 我顺着连接看了几篇, 也是受益匪浅, 昌海兄辛苦了!

  • 网友: 卢昌海   (发表于 2011-09-23)

    谢谢来自 76.240 的游客。 这里的 “山寨版” 一词不是泛指数域与函数域的相似性, 而是对 Riemann 猜想间的相似性的戏称。 函数域与数域的相似性虽然很早就为人们所知, 与函数域有关的 Riemann 猜想却是 1920 年才被提出的, 因此我戏称其为 “山寨版”。 记得有人说过 “所有比喻都是拙劣的”, 这个 “山寨版” 的称谓也不例外, 只是戏称而已, 并非贬低。

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