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从等效原理到 Einstein-Cartan 理论

- 卢昌海 -

本文汇集整理了我发表在繁星客栈上的几篇有关等效原理及 Einstein-Cartan 理论的短文

一. 等效原理

众所周知, 等效原理 (equivalence principle)——即引力场与加速场的不可区分性——是局域的。 在一个非局域的参照系——比如有限大小的 “爱因斯坦升降机” (Einstein's elevator)——中, 我们可以通过对所谓 “测地偏离” (geodesic deviation) 效应的观测, 来区分引力场与加速场。 这种观测之所以有效, 是因为所涉及的是联络 (connection) 的导数, 或者说曲率 (curvature) 的分量, 这是不能通过等效原理消去的。 由于对测地偏离效应的观测是在有限大小而非局域的参照系中进行的, 因此与等效原理并不矛盾。

一般教材的讨论大都到此为止。

很明显, 若所有物理效应都只跟度规及联络有关, 那等效原理的成立就是普遍的。 但假如存在某种局域的物理效应与曲率相耦合, 那么哪怕在局域的参照系中, 我们也将可以通过对这种物理效应的观测, 而对引力场与加速场做出区分。

那样的物理效应是否存在呢? 答案极有可能是肯定的。 事实上, 有自旋粒子的运动很可能就是那样的物理效应之一。 虽然迄今尚无任何实验足以检验这类效应, 但一般认为, 有自旋粒子在引力场中的运动由所谓的 “马西森-帕帕佩特鲁-狄克逊方程” (Mathisson-Papapetrou-Dixon equation) 所描述, 而这一方程显含曲率张量。 因此, 有自旋粒子在引力场中的运动会与曲率相耦合。 由此得出的一个推论则是, 通过观测有自旋粒子的运动, 原则上能在局域参照系中区分引力场与加速场[注一]

从某种意义上讲, 这意味着等效原理不再成立了。

但是, 这并不意味着广义相对论失效。 对于广义相对论来说, 等效原理的作用主要是确立时空的赝黎曼 (pseudo-Riemannian) 结构。 为此只要在每一点上存在局域参照系, 使度规为闵科夫斯基度规 (Minkowski metric), 同时使得联络系数全部为零即可 (如果把这作为等效原理的定义, 则等效原理的成立将不受上面提到的效应所影响)。 至于是否有物理效应与曲率相耦合, 并不妨碍广义相对论的建立。 有自旋粒子的经典运动在广义相对论的框架中是完全可以处理的, 就像 时钟佯谬 在狭义相对论的框架中完全可以处理一样。

二. Einstein-Cartan 理论

刚才我们提到, 有自旋粒子在引力场中的运动会与曲率相耦合, 从而能用来局域地区分引力场与加速场。 这一讨论只涵盖了与引力有关的有自旋粒子问题的一半——即有自旋粒子在给定的引力场中会如何运动。 现在, 我们来考虑问题的另一半, 即有自旋粒子本身会产生什么样的引力场。 这是一个性质很不相同的问题, 因为有自旋粒子在给定的引力场中的运动——如前所述——不会对广义相对论的结构产生根本性的影响, 而有自旋粒子本身产生的引力场, 则——如我们即将看到的——虽非必然, 却很有可能把我们引向不同于广义相对论的理论, 比如 Einstein-Cartan (爱因斯坦-嘉当) 理论。

我们知道, 对所有具有能量动量起源的角动量 Jabc=xaTbc-xbTac 来说, 能量动量张量 Tab 的守恒 (即 ∂aTab=0) 与对称 (即 Tab=Tba) 保证了角动量的守恒 (即 ∂aJabc=0)。 这种角动量被称为轨道角动量, 它涵盖所有的经典角动量 (包括经典意义下的 “自旋”——即自转角动量)。 另一方面, 我们也知道, 并非所有的角动量都具有能量动量起源, 比如量子意义下的自旋就不具有能量动量起源 (因为一个有自旋粒子完全可以是无质量的)。 如果我们把这种所谓 “内禀” (即不具有能量动量起源) 的角动量记为 Sabc, 则总角动量可以表示为 Jabc=Sabc+xaTbc-xbTac。 这时角动量守恒 ∂aJabc=0 将会要求:

aSabc = Tcb - Tbc

这一式子表明, 除非内禀角动量单独守恒 (即 ∂aSabc=0), 否则能量动量张量将是非对称的 (即 Tab≠Tba)。 由于内禀角动量显然并不单独守恒, 因此上式中的能量动量张量是非对称的。

如果能量动量张量非对称, 那么爱因斯坦场方程 Gab=8πTab 将要求爱因斯坦张量 Gab 也是非对称的。 这表明时空几何将不会是单纯的黎曼几何 (Riemannian geometry)。 使 Gab 非对称的一种最简单的方案, 就是引进非零的时空挠率 (torsion) tabcabcacb。 由此产生的最简单的理论就是所谓的 Einstein-Cartan 理论, 是法国数学家嘉当 (Élie Cartan) 于 1922 年提出的。

与纯度规性的广义相对论不同, Einstein-Cartan 理论是一种建立在仿射联络 ( affine connection) 基础上的引力理论, 在这种理论中等效原理不再成立 (因为非零挠率使得联络系数全部为零的局域参照系不复存在)。 Einstein-Cartan 理论中的这种带挠率的几何被称为黎曼-嘉当几何 (Riemann-Cartan geometry)。 Einstein-Cartan 理论的场方程则为:

Gab = 8πTab
tabc = 8πSabc + 4πδabSdcd + 4πδacSddb

不过, 上述推理并不是唯一的。

这不仅是因为使能量动量张量非对称的方法并不唯一 (从而 Einstein-Cartan 理论并不是唯一可能的推广), 而且也是因为内禀角动量的出现及并不单独守恒这一特点并非必然导致能量动量张量的非对称性。 事实上, 通过对能量动量张量添加一个对运动方程没有影响的散度项, 我们总可以将它改写为对称形式。 这种对称形式的能量动量张量被称为贝林番特张量 (Belinfante tensor)。 有一种 (比较常见的) 观点认为, 出现在爱因斯坦场方程中的能量动量张量应该是贝林番特张量[注二]。 显然, 这可以使得爱因斯坦场方程的成立不受内禀角动量的影响。 从这个意义上讲, 目前并没有充分的理由——哪怕只是理论上的理由——使人们必须在经典范围内拓展广义相对论的框架。

但是, 将贝林番特张量引进爱因斯坦场方程的做法也并不是完全令人满意的。 比如它使得表示角动量的能量动量起源的关系式 Jabc=xaTbc-xbTac 具有了完全的普遍性, 而我们在前面提到过, 量子意义下的自旋就不具有能量动量起源。 因此, 角动量与能量动量之间的这种关系式似乎不该具有那么大的普遍性, 起码不该将量子意义下的自旋包括在内。 而一旦认定量子意义下的自旋是一种与能量动量无关的角动量, 那它对时空的影响就没有理由被包含在能量动量对时空的影响——即爱因斯坦场方程——之中。

另一方面, 我们也不能简单地把自旋对时空的影响从理论中丢弃掉, 因为虽然尚不存在自旋对时空产生影响的任何观测证据 (考虑到自旋的微小, 这是不足为奇的), 但由于轨道角动量对时空的影响是广义相对论的确凿推论, 在理论上单单把自旋对时空的影响丢弃掉无疑是极不自然的。 这些都表明 Einstein-Cartan 理论对自旋的处理——即既承认它对时空有影响, 又不把这种影响归结于能量动量——是有一定合理性的。

除此之外, Einstein-Cartan 理论还有其它一些值得探讨的特点, 比如它可以将时空流形切空间上的结构群从广义相对论中的洛仑兹群 (Lorentz group) 推广到庞加莱群 (Poincaré group)——这是 Cartan 提出这一理论的原始动机之一 (我们所提及的量子意义下的自旋在当时尚未被发现), 又比如它有可能对 (部分地) 消除广义相对论中的奇点问题起到一定帮助, 等等。

不过, 所有这些合理性及值得探讨的特点, 都未能使 Einstein-Cartan 理论得到太多的关注。 原因在我看来有不止一条: 比如 Einstein-Cartan 与广义相对论的差别涉及到了象自旋这样的量子效应, 从而不仅现在, 哪怕将来也几乎没有任何可能得到直接的观测支持 (引力在这种尺度上太过微弱)。 此外, 像有自旋粒子产生的引力场那样的问题, 由于场源的量子特征无法忽略, 很可能根本就不能用经典理论来处理[注三]。 假如经典理论根本就不能用, 那么将广义相对论推广为 Einstein-Cartan 理论的做法, 也许就像当年索末菲 (Arnold Sommerfeld) 将玻尔理论推广为相对论性那样, 缺乏真正的重要性。

注释

  1. 这里需要注意的是, 所谓 “有自旋粒子” 指的是量子场论意义下的有自旋的点粒子, 因为这里所借重的是量子场论意义下的 “自旋” 和 “点粒子” 这两个概念——假如所讨论的不是这种概念, 而是有限大小的经典旋转物体, 则与等效原理的成立与否无关 (因为它不是局域的)。 从某种意义上讲, 这是在通过量子效应来局域地区分引力场与加速场。
  2. 支持这种观点的一个重要理由是: 从引力场的作用量原理所导出的场方程自动具有对称形式的能量动量张量 (对这一点感兴趣的读者可参阅拙作 希尔伯特与广义相对论场方程第三节)。
  3. 比方说, 用广义相对论的克尔 (Kerr) 解来描述一个质量为 m, 自旋为 J 的微观粒子, 将自旋视为角动量, 则度规会在接近粒子康普顿波长 (Compton wavelength) 的 J/m 处出现所谓的 “裸奇环”。 我们且不去理会那个很令人头疼的 “裸” 字 (别想歪了, 这是一个技术字眼, 对之感兴趣的读者请参阅拙作 从奇点到虫洞第四章), 在接近粒子的康普顿波长处出现像 “奇环” 那样的奇异性显然是不可接受的, 也是与粒子物理实验完全矛盾的。 虽然对微观粒子来说, 我们原本就不该对经典描述有太多期待, 但康普顿波长是经典与量子效应的分水岭, 经典度规在 “分水岭” 上就出现如此巨大的问题, 无疑是非常奇怪的, 也是与引力在微观世界中的微弱性很不一致的。

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