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本文发表于《现代物理知识》二零零七年第二期 (中国科学院高能物理研究所), 发表时的标题为: 质量起源 - 从对称性破缺到希格斯机制。

质量的起源 (三)

- 卢昌海 -

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七. 对称性自发破缺

质量的电磁起源破灭后, 质量起源问题沉寂了很长一段时间。 但物理学本身的前进步伐并未因此而停顿。 物理学家们手头有大量的观测数据需要分析和解释, 同时理论体系本身也有大量的问题亟待解决。 对现代物理学的发展来说, 这些具体或细节问题是远比解决像质量起源那样的本原问题更重要的动力。 另一方面, 现代物理学在研究这些具体或细节问题中逐渐积累起来的智慧与洞见, 又常常会为更深入地探求本原问题提供新的思路。 这是现代物理学的卓越之处, 也是她没有象那些只注重于深奥的本原问题, 却对细节不屑一顾的其它尝试那样流于肤浅的重要原因。

物理学再次回到质量起源问题是在 20 世纪 60 年代。

在 20 世纪 60 年代初的时侯, 物理学家们在对基本粒子的研究中已经发现了许多对称性。 对称性在物理学中一直有着重要地位, 不仅由于其优美的形式与某些物理学家对自然规律的美学追求十分吻合, 更重要的是因为它们不仅中看, 而且中用, 有一种穿透复杂性的力量。 即便在对一个物理体系的动力学行为还缺乏透彻理解的情况下, 对称性也往往具有令人瞩目的预言能力。 这最后一点在二十世纪五六十年代的粒子物理研究中具有极大的吸引力, 因为当时人们对基本粒子相互作用的动力学机制还知之甚少, 而且对在很大程度上为研究基本粒子相互作用而发展起来的量子场论产生了很深的怀疑 (关于这一点, 感兴趣的读者可参阅本人的译作 规范理论的重整化)。 在这种情况下, 许多物理学家对对称性寄予了厚望, 希望通过它们来窥视大自然在这一层次上的奥秘。

但不幸的是, 当时所发现的许多对称性却被证明只在近似的情况下才成立, 比如同位旋对称性。 如何理解这种近似的对称性呢? 当时有一种猜测, 认为近似对称性是 (严格) 对称性自发破缺的产物。

所谓对称性自发破缺 (spontaneous symmetry breaking), 指的是这样一种情形: 即一个物理体系的 Lagrangian 具有某种对称性, 而基态却不具有该对称性。 换句话说, 体系的基态破缺了运动方程所具有的对称性。 这种对称性自发破缺的概念最早是出现在凝聚态物理中的, 20 世纪 60 年代被日裔美国物理学家南部阳一郎 (1921–) 和意大利物理学家 Giovanni Jona-Lasinio (1932-) 引进到量子场论中。 在量子场论中, 体系的基态是真空态, 因此对称性自发破缺表现为体系 Lagrangian 所具有的对称性被真空态所破缺。

有的读者可能会问: 一个物理体系的真空态是由 Lagrangian 所确定的, 为什么会不具有 Lagrangian 所具有的对称性呢? 这其中的奥秘在于许多物理体系具有简并的真空态, 如果我们把所有这些简并的真空态视为一个集合, 它的确与 Lagrangian 具有同样的对称性。 但物理体系的实际真空态只是该集合中的一个态, 这个态往往不具有整个集合所具有的对称性, 这就造成了对称性的破缺——也就是我们所说的对称性自发破缺[注一]

但是把近似对称性归因于对称性自发破缺的想法在 1961 年遭到了致命的打击。 那一年由英国物理学家 Jeffrey Goldstone (1933-) 提出并在稍后与巴基斯坦物理学家 Abdus Salam (1926-1996) 及美国物理学家 Steven Weinberg (1933-) 一起证明了这样一个命题——被称为 Goldstone 定理 (Goldstone theorem): 每一个自发破缺的整体连续对称性都必然伴随一个无质量标量粒子。 这个无质量标量粒子被称为 Goldstone 粒子 (Goldstone particle) 或 Nambu-Goldstone 粒子 (Nambu-Goldstone particle)。

为什么会有这样的结果呢? 我们来简单地证明一下:

假定一个物理体系的 Lagrangian 中的势函数为 V(φa) (a=1, ..., N), 其中 φa 为标量场 (可以是基本的也可以是复合的)。 显然, 该体系的真空态满足 ∂V/∂φa=0 (为避免符号繁复, 我们略去了对真空的标记), 而标量粒子的质量 (平方) 由 ∂2V/∂φa∂φb 在真空态上的本征值给出。 现在考虑对真空态 φa 作一个无穷小连续对称变换 φa → φa+εΔa(φ) (其中 ε 为无穷小参数)。 由于 V(φa) 在这一变换下不变 (请读者想一想这是为什么?), 因此有: Δa(φ)(∂V/∂φa)=0 (对相同指标求和, 下同)。 将这一表达式对 φb 作一次导数, 并注意到真空所满足的条件, 可得 (请读者自行证明):

Δa(φ) (∂2V/∂φa∂φb) = 0

由上式可以看到, 每一个 Δa(φ)≠0 的连续对称变换都对应于 ∂2V/∂φa∂φb 的一个本征值为零的本征态, 从而也就对应于一个无质量标量粒子。 而另一方面, Δa(φ)≠0 的连续对称变换所对应的正是那些不能使真空态不变——从而被真空态所破缺 (即自发破缺)——的连续对称性。 这就证明了每一个自发破缺的整体连续对称性都必然伴随一个无质量标量粒子, 即 Goldstone 粒子。 这正是 Goldstone 定理 (请读者思考一下, Goldstone 定理中的 “整体” 二字体现在证明的什么地方?)[注二] 由于自发破缺的整体连续对称性的数目等于这些对称性的生成元的数目, 因此 Goldstone 定理也表明了 Goldstone 粒子的数目等于自发破缺的整体连续对称性生成元的数目。 举个例子来说, SU(2) 对称性具有三个生成元, 若完全破缺, 就会产生三个 Goldstone 粒子; 若破缺为 U(1), 则只产生两个 Goldstone 粒子 (因为有一个生成元未破缺)。 进一步的分析还表明, Goldstone 粒子与那些自发破缺的整体连续对称性所对应的荷——关于荷, 请读者回忆一下 Noether 定理 (Noether theorem)——具有相同的宇称及内禀量子数。

当然, 严格讲, 上面的证明只是在所谓经典层次上的证明, 而没有考虑量子修正。 那么考虑了量子修正后, Goldstone 定理是否仍成立呢? 答案是肯定的, 而且证明也基本一样, 只需用包含量子修正的所谓量子有效势 Veff 取代经典 Lagrangian 中的势函数 V 即可[注三]

由 Goldstone 等人证明的这一结果为什么会对把近似对称性归因于对称性自发破缺的想法造成致命打击呢? 原因很简单, 那就是近似对称性中的某一些——比如同位旋对称性——正是整体连续对称性, 如果它们的近似性果真源自对称性自发破缺, 那就应该存在相应的无质量标量粒子。 但我们从未在实验上观测到任何这样的粒子。 因此对称性自发破缺的想法在粒子物理学中由于牵涉到无质量粒子而陷入了困境。

八. 从 Higgs 机制到电弱统一理论

无独有偶, 粒子物理学中产生于五六十年代的另一个很高明的想法也受到了无质量粒子的困扰, 那个想法是 1954 年由杨振宁 (1922-) 和 Robert Mills (1927-1999) 提出的, 现在被称为 Yang-Mills 理论 (Yang-Mills theory)。 这是一种所谓的定域 “非阿贝尔规范理论” (non-Abelian gauge theory), 是对像量子电动力学那样的定域 “阿贝尔规范理论” (Abelian gauge theory) 的推广[注四], 具体的区别是以非阿贝尔规范对称性取代了量子电动力学所具有的阿贝尔规范对称性——即 U(1) 规范对称性。 提出这种理论最初的动机是企图用它来描述同位旋对称性。 但这一企图立刻就遇到了一个很大的困难, 那便是这种理论所具有的定域规范对称性会无可避免地导致无质量的矢量粒子 (被称为规范粒子, 类似于量子电动力学中的光子), 而在现实中, 除光子外我们从未在实验上观测到任何这样的粒子。

就这样, Yang-Mills 理论与对称性自发破缺这两个出色的想法先后搁浅了, 推根溯源, 都是无质量粒子惹的祸。 但如果我们仔细研究一下这对 “难兄难弟” 的病根, 就会发现两者竟然象是互为解药! 对称性自发破缺的问题出在哪里呢? 出在整体连续对称性上; 而 Yang-Mills 理论的问题又出在哪里呢? 出在定域规范对称性 (那是一种特殊的定域连续对称性) 上。 如果我们把这两者放在一起, 让对称性自发破缺干掉那些产生无质量矢量粒子的定域规范对称性, Yang-Mills 理论不就可以摆脱困境了吗? 更妙的是, 由于 Yang-Mills 理论中的对称性不是整体而是定域的, Goldstone 定理将不适用于这种对称性的自发破缺, 这样一来说不定那些可恶的 Goldstone 粒子也会消失, 那岂不是两全其美? 世界上会有这么好的事吗? 还真的有。

最早明确指出这一点的是美国凝聚态物理学家 Philip Warren Anderson (1923-)。 对于 Anderson 来说, Goldstone 定理显然不可能是普遍成立的, 因为当时的凝聚态物理学家们已经知道, 超导体就是一个连续对称性——U(1) 对称性——自发破缺的体系, 但在这一破缺的过程中并没有产生无质量的 Goldstone 粒子。 Anderson 并且很正确地意识到了 U(1) 对称性的定域特点是使 Goldstone 定理失效的关键。 由于并非只有定域 U(1) 对称性具有定域特点, 事实上所有 Yang-Mills 理论也都具有这一特点。 因此 Anderson 在 1963 年猜测道: “Goldstone 的零质量困难并不是一个严重的困难, 因为我们很可能可以用一个相应的 Yang-Mills 零质量问题来消去它”。 Anderson 的想法得到了一些物理学家的认同, 但也有人认为这种凝聚态物理的类比不能应用到相对论量子场论中。

这种怀疑很快就被推翻了。 1964 年, 英国物理学家 Peter Higgs (1929-)、 比利时物理学家 François Englert (1932-) 与 Robert Brout (1928-) 等几乎同时证实了 Anderson 的想法。 这便是描述规范对称性自发破缺的著名的 Higgs 机制 (Higgs mechanism), 它一方面消除了无质量的 Goldstone 粒子, 另一方面则使规范粒子获得了质量[注五]

不过 Higgs 等人的漂亮工作并没有引起即刻的轰动。 Higgs 就这一工作所写的两篇短文中的第二篇甚至一度遭到了退稿, 理由是 “与物理世界没有明显关系”。 这一退稿理由使 Higgs 深感不快, 但也促使他更深入地考虑了理论可能引致的实验结果, 并对论文进行了补充。 Higgs 后来认为, 他因遭到退稿而补充的那些内容是人们将 Higgs 粒子及 Higgs 机制与他的名字联系在一起的主要原因

做了这么多背景介绍, 现在让我们回到主题——质量的起源——上来。 Higgs 机制不仅一举 “救活” 了粒子物理学中对称性自发破缺与 Yang-Mills 理论这两个极为出色的想法, 而且在救助过程中为我们提供了一种产生质量的新方法, 即通过规范对称性的自发破缺, 从不带质量项的 Lagrangian 中产生出质量来。 不过, 由此而获得质量的——如上文及 [注四] 所述——只是规范粒子, 而规范粒子的质量在宇宙可见物质的质量中只占了微不足道的比例, 我们更关心的是在可见物质质量中占主要比例的那些粒子——费米子。

那么, 费米子的情况如何呢? 1967 年, Weinberg 和 Salam 将 Higgs 机制应用到美国物理学家 Sheldon Lee Glashow (1932-) 等人几年前所提出的旨在描述电磁和弱相互作用的 SU(2)×U(1) 规范理论中, 建立起了所谓的电弱统一理论 (electroweak theory)[注六]。 这一理论与描述强相互作用的量子色动力学 (quantum chromodynamics) 一起组成了粒子物理的标准模型。 在标准模型中, 费米子也是通过规范对称性的自发破缺——或者更确切地说, 通过电弱统一理论中的规范对称性自发破缺——获得质量的。 具体地讲, 在标准模型中, 费米场 ψ 与 Higgs 机制中的标量场 (也称为 Higgs 场) φ 之间存在所谓的 Yukawa 耦合 (Yukawa coupling): -λψψφ (其中 λ 为耦合常数)[注七]。 由于 Higgs 场 φ 具有非零的真空期待值, 因此将这一耦合项相对于真空展开后就会出现形如 -mψψ 的费米子质量项。

因此, 我们可以说, 标准模型中所有基本粒子的质量都来源于电弱统一理论中的规范对称性自发破缺。 这是标准模型对质量起源问题的直接回答。

不过遗憾的是, 这一回答却是一个不尽人意的回答。 为什么这么说呢? 因为这一回答从某种意义上讲与其说是回答了问题, 不如说是在转嫁问题——把我们想要理解的基本粒子的质量转嫁给了 Higgs 场的真空期待值、 规范耦合常数以及 Yukawa 耦合常数。 这其中 Higgs 场的真空期待值及规范耦合常数与基本粒子——主要是费米子——的种类无关, 可以算是具有普适性的, 因此将质量向这些参数约化不失为是一种有效的概念约化。 但 Yukawa 耦合常数则不然, 它对于每一种费米子都有一个独立的数值。 由于这些参数的存在, 标准模型的 Lagrangian 虽然不显含质量参数, 但它所包含的与质量直接有关的自由参数的数目却一点也不比原先需要解释的质量参数的数目来得少 (事实上还略多一点)。 从某种意义上讲, 用这种方式来解释质量的起源, 就象英国物理学家 Stephen Hawking (1942-) 在 《时间简史》(A Brief History of Time) 一书中引述的一位老妇人的 “理论”。 那位老妇人宣称世界是平面的, 由一只大乌龟托着。 当被问到那只大乌龟本身站在哪里时, 老妇人冷静地回答说: “站在另一只大乌龟的背上”。

因此, Higgs 机制及包含 Higgs 机制的电弱统一理论虽然从许多唯象的方面来衡量是非常成功的, 其所体现的把质量与真空的对称性破缺性质联系在一起的思路也极为深刻。 但它们作为与对称性破缺有关的特殊机制或模型, 本身却没能实现对质量概念的真正约化, 从而不能被认为是对质量起源问题令人满意的回答。

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注释

  1. 学过量子力学的读者可能会进一步问: 如果一个量子体系的基态是简并的, 那么体系的物理基态难道不应该是这些简并态的某种量子叠加吗? 这种量子叠加——如我们在量子力学中所见到的——往往不仅会破除原有的基态简并性, 并且使真正的基态具有与原先简并基态的集合相同的对称性。 在这种情况下, 对称性自发破缺岂不是不存在了? 这是一个非常好的问题, 答案是: 对于有限体系来说情况确实会如此 (除非有什么原因——比如对称性——禁止简并基态间的相互耦合)。 但在量子场论中通常假定体系的空间体积趋于无穷, 这时不同真空态之间的相互耦合趋于零, 严格的对称性自发破缺只发生在这种情形下。
  2. Goldstone 定理也可以从几何上来理解。 V=V(φa) (a=1, ..., N) 可以看成是一个 N 维曲面, 真空态对应于该曲面的一个极小值点, 而该点处每一个独立的平坦方向 (即二阶导数为零的方向) 对应于一个无质量标量粒子。 另一方面, 每一个这种独立的平坦方向对应于一个可以使真空态移到邻近点的连续对称变换。 这种连续对称变换所表示的正是被真空态所破缺的对称性。 这就表明无质量标量粒子与这种自发破缺的对称性一一对应。 另外再补充一点: Nambu 曾在 1960 年提出过类似于 Goldstone 定理的想法, 但未引起足够重视。
  3. 这里有一个很有意思的问题, 那就是既然真正的对称性自发破缺是由量子有效势 Veff 而非经典势函数 V 所决定的, 那么在经典势函数 V 不具有简并真空态 (从而不会产生对称性自发破缺) 的情况下, 是否有可能通过体现在有效势 Veff 中的纯量子效应产生对称性自发破缺呢? 答案是肯定的。 如果哪位读者独立地想到了这个问题, 那么祝贺你了, 这说明你有非常敏锐的物理思维能力。 如果你同时还具有第一流的理论基础, 并且早生几十年的话, 就有可能作出一个非常重大的理论发现, 那便是 1973 年由美国物理学家 Sidney Coleman (1937-2007) 与 Erick Weinberg (1947-) 所发现的如今被称为 Coleman-Weinberg 机制 (Coleman-Weinberg mechanism) 的对称性破缺机制。
  4. 一般来说, 粒子物理学中的规范对称性指的就是 “定域” 规范对称性。 不过在本节中, 为突出 “定域” 所起的作用, 我们有时会特意注明。
  5. 用技术性的语言来说, 在 Higgs 机制中对应于 Goldstone 粒子的那些自由度可以被定域规范变换所消去 (必须注意的是: “定域” 二字在这里至关重要, 整体的连续变换是不具有这种能力的)。 从规范理论的角度讲, 这相当于选取了一种被称为幺正规范 (unitary gauge) 的特殊规范。 这种特殊规范的选取造成定域规范对称性的破缺, 从而使原本受定域规范对称性所限必须无质量的规范粒子可以获得质量。 人们有时把这种机制形象地描述为: 规范粒子通过 “吃掉” Goldstone 粒子而获得质量。 另外要说明的是, 这里所介绍的由 Higgs 等人提出的, 被粒子物理标准模型所吸收的其实只是 Higgs 机制的一种最简单的实现形式——但似乎恰好就是自然界所采用的形式。
  6. 电弱统一理论中的规范对称性破缺方式是 SU(2)×U(1) 破缺为 U(1), 由此产生的三个 Goldstone 粒子通过 Higgs 机制使四个规范粒子中的三个 (即 W± 和 Z) 获得质量, 剩下的一个 (即光子) 则维持了无质量。
  7. 更确切地讲, 标准模型中的 Yukawa 耦合是形如 -λψLψRφ - h.c. 的项, 其中 ψ 为质量本征态 (不同于弱本征态), L 与 R 分别代表左右手征部分, h.c. 代表厄密共轭。 Yukawa 耦合是费米子场与标量场之间唯一的可重整耦合。

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