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μ 子反常磁矩之谜 (五)

- 卢昌海 -

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十. 理论计算 - 电弱统一理论

在标准模型的框架内, 量子电动力学是所谓电弱统一理论 - 简称电弱理论 (electroweak theory) - 的一部分。 在电弱理论中, 除光子外, 还有通过 W、 Z、 以及 Higgs 粒子传递的相互作用, 它们对 μ 子反常磁矩也有贡献。 在这里, 我们将电弱理论中除纯粹量子电动力学贡献外的其它贡献称为电弱理论的贡献。 从语义上讲这是一个不无缺陷的叫法, 不过很多文献都这么用, 为了简洁起见, 本文就不在这方面独出心裁了。

理论物理学家们对电弱理论框架内轻子反常磁矩的计算始于二十世纪七十年代初。 但是 - 如我们很快将会看到的 - 由于电弱理论对 μ 子反常磁矩的贡献相当微小, 直到 2001 年, 实验上的精度才达到了能够检验这一贡献的程度。

好了, 现在我们来看看电弱理论的贡献。 在单圈图层次上, 电弱理论对 μ 子反常磁矩的贡献体现在以下三幅图中:

μ 子反常磁矩的电弱理论单圈图

μ 子反常磁矩的电弱理论单圈图

这里我们采用的是幺正规范 (unitary gauge), 这一规范的重要特点是可以消除电弱理论 (以及更一般的 Yang-Mills 理论) 中的鬼粒子。

上述三幅单圈图所描述的分别是与 W 粒子、 Z 粒子、 及 Higgs 粒子有关的贡献。 这三幅图的贡献早在 1972 年就由 R. Jackiw、 N. Cabibbo、 W. A. Bardeen、 K. Fujikawa、 B. W. Lee 等五组 (共计十几位) 物理学家各自独立地计算出了。 细细品味的话, 这是一件有点令人惊讶的事情。 要知道, 当时 Yang-Mills 理论的可重整性才刚刚被 't Hooft 所证明, 对确立电弱理论的地位至关重要的中性流、 W 粒子、 及 Z 粒子均尚未被实验所发现, 物理学家们对电弱理论是否是描述弱相互作用的可靠理论尚存争议。 可以说, 当时理论计算的可行性虽已开启, 但整个理论框架的可靠性尚未确立, 就在那样的情况下, 居然有那么多理论物理学家几乎一拥而上地在第一时间就计算出了上述单圈图的结果, 高能物理领域中的竞争之激烈可见一斑。 事实上, 如今回顾起来, 当时高能物理方面的很多理论工作都同时有多位物理学家, 甚至多个研究小组在彼此独立地进行着, 而且各自完成的时间也彼此相近[注二]

与量子电动力学一样, 电弱理论的上述单圈图贡献也有解析的结果, 但在实际计算中, 我们可以很放心地略去受 (mμ/mW)2、 (mμ/mZ)2、 或 (mμ/mH)2 所抑制的项 (mμ、 mW、 mZ、 及 mH 分别为 μ 子、 W 粒子、 Z 粒子、 及 Higgs 粒子的质量), 因为它们的贡献远在实验误差以下。 利用各粒子及耦合常数的现代数据, 上述单圈图计算的数值结果为:

aμ(2)(W) = 388.70(0)×10-11
aμ(2)(Z) = -193.89(2)×10-11
aμ(2)(H) ≤ 5×10-15

这里上标 2 沿用了量子电动力学中 “n 圈图对应的幂次为 2n” 这一由来。 这一约定我们在后面介绍量子色动力学的贡献时也将使用, 虽然那上标已不再代表结果相对于 e 的幂次 (但可以理解成相对于广义的耦合常数的幂次)。 上面与 Higgs 有关的结果 (第三式) 是在 mH≥114GeV 的前提下得到的, 但这一点已不重要, 因为这一项其实是一个受 (mμ/mH)2 所抑制的项, 完全可以忽略。

与量子电动力学的贡献相比, 电弱理论的贡献要小得多, 但计算却要复杂得多。 这一点在双圈图中体现得尤为明显。 由于电弱理论的顶点类型众多, 双圈图的数目也要多得多, 总数高达 1678 幅, 其中一些典型的双圈图贡献如下图所示:

μ 子反常磁矩的电弱理论双圈图 (费米贡献部分)

μ 子反常磁矩的电弱理论双圈图 (费米贡献部分)

这里每一幅图实际上都是很多不同图的集合, 其中费米内线 f 可取的粒子类型为 νe, νµ, ντ, e, µ, τ, u, c, t, d, s, b[注一], 相应的 f' (与 f 同时出现在图 d 和图 e 中) 所取的粒子类型则为 e, µ, τ, νe, νµ, ντ, d, s, b, u, c, t (f' 与 f 组成弱相互作用双重态)。 这还远远不是双圈图的全部。 事实上, 这只是包含费米子圈的图, 这些图的贡献被称为费米贡献 (fermionic contribution)。 在电弱理论的双圈图中, 还有不包含费米子圈的图, 那些图的贡献被称为玻色贡献 (bosonic contribution), 其大小与费米贡献几乎是半斤八两。 双圈图中另外一个引人注目的特点, 是包含了来自夸克的贡献。

说到夸克的贡献, 有些读者也许会问: 上节 所介绍的量子电动力学的双圈图为什么没有包括夸克的贡献? 夸克不是也能参与电磁相互作用吗? 答案是: 我们把那种贡献算到后文将要介绍的量子色动力学贡献中去了。 好追根问底的读者也许还会进一步问: 同样是夸克的贡献, 为什么在考虑量子电动力学时不算在内, 考虑电弱理论时却计算在内? 这纯粹是分类上的自由呢? 还是有别的原因? 答案是: 量子电动力学的贡献不包括夸克可以算是分类上的自由, 但电弱理论的贡献包含夸克却不仅仅是分类上的自由, 而有着更深层的原因。 这原因就是: 在电弱理论中不仅存在矢量流 (vector current), 而且还存在轴矢量流 (axial-vector current), 当两个矢量流顶点 (通常记为 V) 与一个轴矢量流顶点 (通常记为 A) 组成一个 VVA 型的三角图时, 会出现所谓的量子反常 (anomaly) 效应。 对这种效应的消除需要同时考虑轻子与夸克的作用。

电弱理论双圈图的计算是相当复杂的。 从粒子种类上讲, 既有轻子, 也有夸克; 从圈图结构上讲, 既有费米贡献, 也有玻色贡献; 从效应类型上讲, 既有微扰效应, 也有非微扰效应。 其中与夸克有关的贡献最为复杂, 对于那样的贡献, 上图中的费米圈只能算是一种象征性的表示。 以图 a 为例, 真正与夸克有关的计算可以用下面几幅图来表示:

与夸克有关的电弱理论双圈图

与夸克有关的电弱理论双圈图

这其中前两幅图表示的是用有效场理论 (effective field theory) 对低能 (即长程) 效应的计算, 这种计算包含了由束缚态 (即图中的各种介子) 所表示的非微扰效应。 第三幅图表示的则是用夸克-部分子模型 (quark-parton model) 中对高能 (即短程) 效应的计算, 这种计算包含的是微扰效应。

由于双圈图计算的复杂性, 也由于双圈图贡献的微小性, 对双圈图的计算比单圈图晚了将近二十年, 直到二十世纪九十年代初, 才由 E. A. Kuraev 等人给出了初步的结果。 但他们的计算存在很大的缺陷, 比如忽略了一些费米子三角图的贡献, 那些三角图在量子电动力学中是没有贡献的 (由于 Furry 定理), 但在电弱理论中则不然 (由于宇称破缺)。 另外他们也没有考虑夸克的贡献, 如上所述, 这会使得与量子反常有关的三角图计算出现错误。 后来的研究者们纠正了那些缺陷, 目前有关电弱理论双圈图贡献的计算结果是:

aμ(4)(all electroweak) = (-42.08 ± 1.5 ± 1.0) × 10-11

其中第一项误差主要来自 Higgs 质量的不确定性, 第二项误差则来自与夸克有关的计算。 如果 Higgs 质量只有 100GeV (这基本上已被实验所排除), 上述双圈图的贡献将取最大值, 约为 -40.98×10-11; 如果 Higgs 质量高达 300GeV, 上述双圈图的贡献则取最小值, 约为 -43.47×10-11。 但这两者的差异比实验误差小了一个数量级, 因此 Higgs 质量的不确定性不太可能用来消弭 μ 子反常磁矩之谜。

将电弱理论的双圈图效应与当前的 “世界平均” 实验值的误差 (即 63×10-11 - 参阅 第六节) 相比, 可以看到它已略小于实验误差。 但它与单圈图效应相比却并不显得很小 (约为单圈图贡献的五分之一), 这使得理论物理学家们不敢轻易忽略更复杂的三圈图效应。 但幸运的是, 对三圈图效应的计算表明它比双圈图小得多, 数值仅为:

aμ(6)(all electroweak) = (0.4 ± 0.2) × 10-11

当然, 这一计算是非常粗略的, 所用的方法是重整化群方法, 考虑的贡献只是最低阶的对数贡献 (leading logarithmic contribution)。 但由于其结果比实验误差小了整整两个数量级, 几乎铁定可以被忽略。

将上述所有贡献合在一起, 我们得到电弱理论对 μ 子反常磁矩的总贡献为 154(2)(1)×10-11。 这其中第一项误差来自与夸克有关的计算, 第二项误差主要来自 Higgs 质量的不确定性。 电弱理论对 μ 子反常磁矩的贡献只相当于当前 “世界平均” 实验值误差的 2.4 倍, 是标准模型贡献中最小的一类[注三]。 但这一贡献虽然微小, 一旦忽略的话, 却会使理论与实验的误差扩大到接近 6σ 左右, 因此它的存在依然是很重要的。

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注释

  1. 不过在图 d 中, f 所取的粒子类型将不会包括中微子 (请读者想一想这是为什么?)。
  2. 学术领域中的这种激烈竞争延续至今, 可以说是有过之而无不及。 别说是热门领域, 就连笔者当年在研究生阶段与导师所做的相对冷门的工作, 四项之中就有两项与其他物理学家撞了车。
  3. 不同文献给出的电弱理论的总贡献略有差异, 我们这里所取的是多数文献所列的结果, 它与上述单项结果之和的差异在计算误差许可的范围之内, 比实验误差则小了两个数量级, 不会对讨论产生任何影响。

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