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μ 子反常磁矩之谜 (六)

- 卢昌海 -

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十一. 理论计算 - 量子色动力学

在前两节中, 我们介绍了电弱统一理论 (含量子电动力学) 对 μ 子反常磁矩的贡献。 在标准模型中, 除电弱统一理论外还有一个很重要的部分, 那就是所谓的量子色动力学 (quantum chromodynamics), 它是描述强相互作用的理论。 虽然我们都知道, μ 子作为轻子并不直接参与强相互作用, 但自然界的相互作用是无法彼此隔离的, μ 子虽不直接参与强相互作用, 却可以通过电弱相互作用间接参与, 而这种间接参与对 μ 子的反常磁矩也有贡献, 而且这种贡献 - 如我们将会看到 - 要比除量子电动力学外的电弱统一理论的其它贡献大几十倍。

在量子色动力学对 μ 子反常磁矩的贡献中, 最简单的部分来自如下图所示的由强相互粒子引起的真空极化效应:

μ 子反常磁矩的量子色动力学真空极化图

μ 子反常磁矩的量子色动力学真空极化图

这种贡献虽然相对来说已是最简单的, 但仍比电弱统一理论的计算困难得多。 之所以困难, 是因为量子色动力学具有的所谓 “红外囚禁” (confinement) 特性。 由于这种特性的存在, 在电弱理论中行之有效的微扰方法对量子色动力学来说只有在高能区, 且远离各种共振态时, 才具有可接受的精度。 在低能区或共振态的附近则无法适用。

在上图中, 那个强相互作用 “团块” 从原则上讲是表示由夸克和胶子组成的各种圈图[注一], 但在低能区或共振态附近的实际计算中, 往往是表示来自各种强子 (从量子色动力学的角度讲, 强子是夸克、 胶子体系的共振态[注二]) 的贡献。 这其中尤以质量较轻的强子 - 比如 π、 K、 η 等介子 - 的贡献最为重要。 我们刚才说过, 在低能区或共振态的附近, 微扰方法无法适用。 事实上, 在与 μ 子反常磁矩有关的低能量子色动力学计算中, 不仅微扰方法无法适用, 就连在其它计算 - 比如对强子质量的计算 - 中大体有效的手征微扰理论及格点量子色动力学方法也无法达到所需要的精度。 因此理论物理学家们在这类计算中面临的是一个真正困难的局面。

不过, 这并不是他们第一次面临这样的困难局面。 在二十世纪中叶曾有一段时间, 人们在描述强相互作用与弱相互作用时都遇到了巨大的困难, 一度以为不仅微扰方法, 甚至整个量子场论都不再适用。 在那段艰难的时间里, 场论的进展限于停顿, 对一些非微扰方法的研究却成为了热门 (可参阅本人译作 标准模型简史)。 后来随着量子场论的复苏, 那些非微扰方法很快又冷落了下去。 那虽然只是一段历史小插曲, 但既然那些非微扰方法是在普通量子场论方法遭遇困难时发展起来的, 而如今我们在 μ 子反常磁矩的低能量子色动力学计算中遇到的困难局面与当年不无相似, 人们不难想到, 那些非微扰方法有可能再次起到一定的帮助作用。 事实也的确如此。

在那些非微扰方法中有一种方法叫做色散关系。 这个名字听起来很土, 象是经典物理的东西, 实际上也的确有很深的经典物理渊源。 它最初是荷兰物理学家 H. Kramers 提出, 用来描述光学介质的折射性质的。 在经典物理中, 色散关系的数学基础是折射率作为频率函数所具有的解析性, 而这种解析性则是来源于一条非常基本的物理规律: 光学介质中信号的传播速度不能超过真空中的光速。 二十世纪五十年代, 美国物理学家 M. Gell-Mann 等人将色散关系运用到了粒子物理的散射振幅 (被称为 S 矩阵) 中, 由此发展出了一种与经典色散关系完全平行的方法, 在这种方法中, “信号的传播速度不能超过真空中的光速” 这一物理基础被换成了作为量子场论基础的微观因果性[注三], 而 “折射率作为频率函数所具有的解析性” 这一数学基础则对应为了散射振幅在动量空间中的解析性。 对于我们所考虑的问题来说, 色散关系的作用是能将 μ 子反常磁矩的量子色动力学真空极化贡献表示为光子自能谱函数的虚部积分。

但问题是, 光子自能谱函数的虚部本身也是一个很麻烦的东西, 在所考虑的能区中同样是无法进行微扰计算的。 为了对付这个 trouble maker, 理论物理学家们采用了另一种非微扰方法: 光学定理。 这个甚至比色散关系还土的名字也是来自经典物理, 而且也是由 Kramers 提出的。 与色散关系利用物理上很基本的微观因果性相类似, 光学定理利用的也是物理上很基本的性质, 叫做幺正性 (unitarity), 通俗地讲就是几率的守恒性。 对于我们所考虑的问题来说, 光学定理的作用是能将上面提到的光子自能谱函数的虚部与正负电子对湮灭成强子 (e-e+ → 强子) 的反应截面联系起来。

因此, 经过两种非微扰方法的帮助, 理论物理学家们将 μ 子反常磁矩的量子色动力学真空极化贡献与正负电子对湮灭成强子的反应截面联系起来了。 但不幸的是, 在所考虑的能区中, 这个反应截面同样是无法进行微扰计算的。 虽然很没面子, 但不得不承认, 一涉及低能量子色动力学, 理论物理学家们的处境就是这么尴尬: μ 子反常磁矩的量子色动力学真空极化贡献没法计算; 通过色散关系将之转嫁到光子自能谱函数的虚部上, 还是没法计算; 通过光学定理将之进一步转嫁到正负电子对湮灭成强子的反应截面上, 仍然没法计算, 简直就是一问三不知。 当然, 这也并不奇怪, 因为象色散关系和光学定理那样的非微扰方法当年之所以会很快冷落, 是有它的道理的。 那些方法虽然物理基础很坚实, 数学推导也很严密, 却有一个致命的弱点, 那就是结果太弱, 无法告诉我们足够多的细节。 不过, 虽然始终没法计算, 那两个步骤倒也不是白费力气, 因为正负电子对湮灭成强子的反应截面是一个可以用实验测定的东西, 既然如此, 那我们就可以请实验物理学家们帮忙, 利用实验数据来弥补理论计算中无法进行到底的环节。

这正是理论物理学家们所做的。 当然, 他们只在低能区或共振态的附近才需要这么做。 具体地讲, 他们只在 0-5.2 GeV 与 9.46-13 GeV 这两个能区中采用了实验数据与上述非微扰方法相结合的手段。 这其中 0-5.2 GeV 包含了低能区及大量 u、 d、 s、 c 夸克的共振态, 9.46-13 GeV 则包含了许多 b 夸克的共振态 (称为 Υ 共振区)。 在这两个能区之外的区域里理论物理学家们总算能自食其力 (因为微扰方法基本能够适用)。 经过这种实验与理论相配合的复杂努力, 他们终于计算出了量子色动力学真空极化对 μ 子反常磁矩的最低阶贡献, 结果是:

aμ(4)(QCD vacuum polorization) = (6903.0 ± 52.6) × 10-11

当然, 这个结果只是很多类似结果中的一个。 由于计算极其复杂, 不同文献得到的结果之间存在数量级约为几十 (以 10-11 为单位) 的偏差, 是整个标准模型中 μ 子反常磁矩理论误差的首要来源。 需要提到的是, 在所有偏差中最引人注目的一次是出现在一组利用 τ 粒子衰变数据所进行的计算中。 我们前面提到, 与 μ 子反常磁矩计算有关的光子自能谱函数的虚部可以与正负电子对湮灭成强子的反应截面联系起来。 从理论上讲, 那并不是唯一的方法, 在 τ 子质量以下的能区中, 该谱函数的虚部也可以通过 u、 d 两种夸克间的同位旋对称性与 τ 粒子衰变为强子 (τ → ντ + 强子) 的反应截面联系起来。 2003 年, 人们曾用这类数据计算过量子色动力学真空极化对 μ 子反常磁矩的贡献, 结果比后来通过正负电子对湮灭数据得到的大得多。 当然, u、 d 两种夸克间的同位旋对称性并不是严格成立的, 但分析表明, 即便将同位旋对称性的破缺考虑在内, 两类实验的偏差仍然很大, 甚至比 μ 子反常磁矩的理论与实验的总偏差还大。 一般认为, 通过正负电子对湮灭的数据得到的结果无论在理论还是实验上都更可靠, 因此目前人们采用的是这类数据, 但两者间出现巨幅偏差的原因迄今仍未被完全理解。

考虑到量子色动力学的贡献相当大 (比实验误差大两个数量级), 更高级修正显然也是必须考虑的, 比如下面这些图 (每一幅代表的都是一整类图):

μ 子反常磁矩的量子色动力学真空极化高阶图

μ 子反常磁矩的量子色动力学真空极化高阶图

细心的读者也许会注意到, 上述图中的前两幅其实就是对 第九节 中的量子电动力学双圈图中的任意一条光子内线添加强子圈图的结果。 其中第一幅对应于那里的图 1-7, 第二幅对应于图 8-9, 其中对应于 9 的圈图由于受到质量因子 (mμ/mτ)2 的抑制, 贡献小于当前的实验及理论精度, 因而可以忽略。 研究表明, 上述各类高阶图的总贡献为:

aμ(6)(QCD vacuum polorization) = (-100.3 ± 1.1) × 10-11

这当然还不是故事的全部, 比方说, 我们在前面曾多次提到过的所谓的 light-by-light 散射就并未包括在上述各图之中。 这种散射可以用下图来表示 (已经省略了光子动量间的各种置换):

μ 子反常磁矩的量子色动力学 light-by-light 散射图

μ 子反常磁矩的量子色动力学 light-by-light 散射图

我们在 第九节 中曾经讨论量子电动力学中的 light-by-light 散射, 并介绍过 light-by-light 这一名字的由来。 研究表明, 这类图的贡献主要来自一些轻质量的强子 - 比如 π、 ρ、 η、 η' 等介子。 这类图的计算是极其困难的, 如我们在 第六节 中所说, 人们在这类图的计算中曾出现过整体符号上错误, 该错误在 2001 年被 Knecht 等人所发现并纠正。 但那还不是唯一的错误, 2004 年, 夏威夷大学的 K. Melnikov 等人在以往的计算中又发现并纠正了其它错误。 经过不止一批研究者的努力, 最近几年人们已经用几种不同的方法计算出了彼此相近 - 从而比较可信 - 的结果, 其中一个典型结果是:

aμ(QCD hadron light by light) = (116 ± 39) × 10-11

虽然付出了艰苦努力, 上述结果的相对误差仍比前面几类计算都大得多, 甚至连绝对误差也很大, 是整个标准模型中 μ 子反常磁矩理论误差的第二大来源。 有关 light-by-light 散射的理论计算直到最近仍不断有人在做, 这类计算的复杂性还体现在迄今所有的计算都需要利用介子的一些唯象性质, 从而无法做到与模型无关。

将上述几类贡献合并在一起, 我们得到量子色动力学对 μ 子反常磁矩的总贡献为 6919(64)×10-11

十二. 并非尾声的尾声

至此我们完成了对标准模型框架内 μ 子反常磁矩计算的介绍。 将 第九节 的量子电动力学、 第十节 的电弱统一理论及本节的量子色动力学贡献合并在一起, 就可以得到标准模型对 μ 子反常磁矩的总贡献。 在这里, 我们将这一总贡献与 第六节 引述的最佳实验值并排列出, 作为截至本文写作之时 (2009 年 12 月) 为止理论与实验的对比[注四]

μ 子反常磁矩的最佳理论值为 116591790(65) × 10-11
μ 子反常磁矩的最佳实验值为 116592080(63) × 10-11

将上述理论值与实验值相比较, 我们发现两者的联合误差为 90×10-11, 偏差却达到了 290×10-11, 约为联合误差的 3.2 倍 (即 3.2σ)。 我们在 第六节 末尾曾经说过, 这种偏差出自偶然的几率只有千分之一点四 (0.14%), 这就是所谓的 μ 子反常磁矩之谜。 很显然, 如果我们不想把希望寄托在千分之一点四那样的小概率上, 留给我们的可能性就只有三种 (彼此不一定互相排斥):

  1. 理论计算存在错误。
  2. 实验测量存在错误。
  3. 标准模型存在局限。

这几种可能性都有人在探讨, 而其中最令人感兴趣的无疑是第三种可能性[补注一]

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注释

  1. 确切地讲, 图中 “团块” 所表示的是单粒子不可约图 (1PI), 即不能通过去掉一条内线而分割为两部分的图。
  2. 细分的话, 可以把稳定的强子称为束缚态, 不稳定的称为共振态, 为行文简洁起见, 本文将两者统称为共振态。
  3. 量子场论中的微观因果性是指玻色 (费米) 场算符在类空间隔上彼此对易 (反对易)。
  4. 不同文献给出的最佳理论值略有出入, 但与实验值的偏差大都在 3σ 以上。

补注

  1. 原本打算再写几节, 对跟第三种可能性有关的种种提议或模型进行介绍, 但考虑到那些提议或模型大都涉及超对称, 而超对称在 LHC 运行数年后的今天仍未获得实验支持, 其在我心中的魅力已因由此导致的越来越严苛的约束而有所下降, 我决定先让这个系列结束在这里。 悲观地看, 有关超对称的这种状况倘若持续, 则不排除出现如我在 超对称、 弦论及弦论之可能衰落原因猜测 一文中所说的情形, 即实验物理学家 “有可能将超对称破缺的能标推高到使人们对超对称的信心和兴趣急剧丧失的程度”, 甚至使我那 “乌鸦嘴” 的预测——“超对称被实验排挤到越来越高的能区, 是弦论衰落的最有可能的原因”——一語成讖。 因此, 我决定先不费那有可能成为无用的功, 而耐心等待尘埃落定的那一天。 若那一天到来, 我或许会撰写一个新的系列 (或单篇, 取决于内容多寡) 予以介绍。 [2013-07-09]

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