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从对称到超对称 (上)

- 作者:Julius Wess    译者:卢昌海 -

译者序: 2007 年 8 月 8 日, 每位学习超对称的物理系学生都知道的 Wess-Zumino 模型的提出者之一, 奥地利物理学家 Julius Wess 在德国汉堡去世, 享年 72 岁。 在 Wess 去世前不久, 他向 Proceedings of SUSY07 及 The European Physical Journal C 的 Supersymmetry at the dawn of the LHC 专刊提交了一篇带有回忆性质的介绍超对称概念发展的文章草稿, 题为 “From Symmetry to Supersymmetry”。 他的去世使那篇草稿成为了遗稿。 2009 年 2 月, 该遗稿在经过 I. Gebauer 和 P. M. Zerwas 的编辑之后得以发表, 这便是本文。 一般说来, 物理学家 - 尤其是在物理学史上曾占一席之地的物理学家 - 的晚年作品中最易流传的往往是回忆文章, 因为无论晚年物理学家在知识和观念上是否已经落伍, 他们作为亲历者的回忆都具有独特的史料价值。 对本文来说, 除史料价值外, 我们也可以通过它看到作为最早研究超对称的物理学家之一的 Wess 本人对超对称的叙述及理解。

从一方面讲, 谈论对称性是很容易的。 每个人都有一个关于对称的观念, 从艺术到科学, 它是一个根基深厚且广为流传的观念。 每个人都能以这样那样的方式感受到对称性。 我认为值得一提的是, 大约三十年前, 人们曾以浓厚的兴趣对猿猴进行过实验, 看它们能学习多少东西。 其中的目标之一就是看猿猴如何学习画画。 在其中一个实验中, 纸的一边被画上了一个点, 猿猴会试图在另一边上画一个点来对称地平衡它。 那正是我们在物理学中所做的。

从另一方面讲, 谈论对称性是很困难的。 每个人, 包括物理学家, 对它都有着自己的观念, 你永远不会知道我们是否在谈论同样的东西。

幸运的是, 数学用它高超的抽象能力把对称性的观念抽象为了群的观念。 群论及群的表示论融合了我们在自然界、 艺术及科学等场合遇到的对称性的方方面面。 当我谈论对称性时, 我指的是群论、 群表示论、 代数及微分几何框架中的对称性。

在物理学上, 对称性自始至终都得到了应用。 群论方法使得从一个体系中获取信息变得大为容易。 一个象 Kepler 问题那样的问题如果不利用旋转对称性就会困难得多。

通过对称性你有可能无需真正理解支配一个体系的物理学定律, 或即便理解也无需能够求解动力学规律就能得到有关体系的信息。 你可以考虑一个平凡的例子: 天平。 基于对称性, 无需知道引力理论你就能相当确定天平左边和右边的物体具有相同的重量。 这示范了对称性如何在不知道规律的情况下帮助我们了解一个体系。

此外, 对称性通过守恒定律而与实验物理有着很强的相互关联。 能量、 动量和角动量的守恒可以通过实验来测量。 它们与时间平移、 空间平移及空间旋转下的不变性有关。 Noether 定理很准确地阐述了这一点: 如果我们知道一个体系在某种对称变换下不变, 我们就可以证明相应的守恒定律, 并且我们知道如何找到它的确切形式。 我们知道存在一个电荷守恒定律 - 我们需要一个对称性, 并在 Schrödinger 波函数的相位变化中找到了它。 这表明在数学抽象与实验事实间存在很强的联系。 我们很幸运地在物理学上拥有这种相互关联。

现代物理中的对称性甚至起着更强的作用, 以至于离开对称性的概念我们甚至无法表述现代物理学的定律。 为了使定域量子场论的框架有意义, 从一开始就必须考虑对称性。 我们不是在知道定律的情况下试图寻找对称性, 而是从一开始就必须贯彻对称性, 以便能以一种有意义的方式来表述那些定律。

图一. 粒子物理中的对称性
图一. 粒子物理中的对称性

我准备了一幅列举某些基础对称性的图 (图一)。 它有两列: 左边的一列表示时空对称性, 右边的一列表示内部空间的对称性。

在左边那列的顶部我们有旋转对称群。 这是一个物理学家们可以用来学习群论的群。 我们知道静电学和静磁学定律都是在旋转群下不变的, Newton 定律也具有旋转不变性。 旋转群与二维特殊幺正群 SU(2) 有着密切关联, 而后者又与自旋的概念相联系。 你从量子力学中学到了所有这些。 当静电学和静磁学并入 Maxwell 的电磁学理论时, 我们遇到了 Lorentz 群。 尽管静电学和静磁学所描述的力在强度上相差光速的量级, 它们却同属一个理论 [译者注: “在强度上相差光速的量级” (different in strength by the order of magnitude of the velocity of light) 是一个不太恰当的说法, 其确切含义是指相差 v/c 或 (v/c)2 - 取决于如何比较 - 的量级]。 我们可以说这种统一来自于将旋转群推广为 Lorentz 群。 这是一个很好的模型, 让我们对理论如何能通过扩大一个群而得到统一有一个很好的理解。

右边那列显示了一个内部空间的对称性。 我曾经提到过波函数的相位变换。 波函数能够在更高维的空间 - 即我们称为内部空间的空间 - 中旋转。 这方面的第一步是由 Heisenberg 所做的。 他从旋转群及自旋的框架中学到了 SU(2) 是什么, 然后将这一概念作为同位旋用到了内部空间。 后来这又被推广到了 SU(3)。 这是一个我们如今通过夸克模型来理解的成功尝试。 一个非常成功的模型 - 粒子物理的标准模型 - 是基于一个描述色的 SU(3)C, 描述弱及电磁相互作用的 SU(2)W 及 U(1) 群。 Lorentz 群与这个 SU(3)C×SU(2)W×U(1) 一起构成了标准模型的基础。 如我们在实验室中所知, 这一模型很好地描述着直到 10-16 厘米尺度上的物理学。

我们很自然地想知道 SU(3)C×SU(2)W×U(1) 是否是一个更大的群 - 比如 SU(5) - 的一部分。 这可以导致强、 弱及电磁相互作用真正统一的理论。 这种理论我们称之为 GUT - 大统一理论, 但我们还不清楚大自然是否知道这一点。 建立在 Lorentz 群及 SU(3)C×SU(2)W×U(1) 群之上的标准模型才是迄今受到实验支持及很好检验的理论。

从这两列上看, 大自然 (或我们) 似乎将同样的对称性概念使用了两遍。 但大自然是分开选择了它们吗? 大自然是将同一件事情做了两遍吗? 我们很自然地想在这两列之间寻找桥梁。

我们从 Maxwell 方程组中学到变换参数可以选得与时空有关。 这是 Maxwell 理论的规范变换性质。 我们可以将 Maxwell 理论中的这一参数与 Schrödinger 波函数的相位变换的参数等同起来, 从而构筑出一个我们如今所说的规范理论。 这样规范理论的想法就诞生了。 你要求理论必须在一个作用于内部空间, 但参数与时空相关的群作用下不变。 这便是标准模型赖以建立的概念。 标准模型是 SU(3)C×SU(2)W×U(1) 群的规范理论。 如果把同样的规范概念用于时空对称性, 我们得到的是 Einstein 的引力理论。

我们知道标准模型 - 通过重整化的概念 - 可以被诠释为量子场论, 作为这样的理论, 它在短距离 - 我前面所说的 10-16 厘米的尺度 - 上获得了极大的实验成功。

我们会乐意通过从实验上发现对标准模型的偏离来得到下一步该如何走的启示: SU(3)C×SU(2)W×U(1) 似乎是我们所能作的最简单的选择, 它成功了, 所有的实验一次又一次地验证了它。 大自然是否就不比这更复杂了? 它难道不知道大统一?

至于 Einstein 的引力理论, 我们知道它在大尺度下是非常好的理论。 在那里我们没有理由怀疑它的有效性。 我们对大尺度下时空的理解就是基于这一理论。

我们的局面是: 标准模型与 Einstein 的引力理论很好地描述了来自实验室及天文和天体物理的观测数据。 甚至连基于这两个理论的宇宙学也很合理。

从我们的两列中, 现在我们看到了一个更令人困惑的局面。 同样的对称性及对之进行规范的概念在左侧给出了一个非常好的经典引力理论, 它通过大量的奇异性抗拒着量子化 [译者注: Wess 所用的部分术语不太规范, 比如此处用 “奇异性” (singularity) 来表示人们通常所说的 “发散性” (divergence)。 这一用法他在后文还将重复, 我们一律照原文进行翻译。]。 在经典引力理论与量子场论间似乎存在着一种深刻的冲突。 另一方面, 同样的对称性及对之进行规范的概念在右侧导致了一个数学上和实验上都非常成功的可重整量子场论模型。

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