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从对称到超对称 (中)

- 作者:Julius Wess    译者:卢昌海 -

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规范就是全部呢, 还是存在着时空及内部空间对称性之间更加深刻的关联? 在核物理中, 很久以前 Wigner 和 Hund 提出过一个以自旋 SU(2) 及同位旋 SU(2) 为子群的 SU(4) 群。 通过这种方式他们统一了时空及内部空间, 并且得到了有关核能级的很好的分类。 当粒子物理用到了 SU(3) 时, 这一想法被推广为了 SU(6), 以包含自旋的 SU(2) 及内部空间的 SU(3)。 在 SU(6) 的基础上可以对带不同自旋 - 自旋 0 和 1 及自旋 1/2 和 3/2 - 的粒子的质量给予合理的实验预言 [译者注: SU(6) 并不是一个成功的模型, 它对粒子质量的预言其实并不比完全不假定跨自旋或跨 “味” 的对称性来得高明。]。 如今这已在夸克模型的基础上得到了更好的理解。 由于那时侯夸克模型尚不为人知, 人们曾做过很多尝试, 试图将 SU(6) 模型推广至包含 Lorentz 群。 但这被证实为是不可能的, 即不可能构筑一个在低能下具有 SU(4) 或 SU(6) 对称性的 Lorentz 不变的模型。 如果很多物理学家尝试了某件事情却没有成功, 那么聪明的做法也许是去试图证明那件事情是不可能成功的。 这正是人们所做的, 它以 O'Raifeartaigh 的工作为起始, 最终得到了一个如今被称为 Coleman-Mandula 此路不通定理 (no-go theorem) 的优美表述 [译者注: SU(4) 和 SU(6) 对称性的提出时间分别为 1937 年和 1964 年 (后者与夸克模型同年), O'Raifeartaigh 的工作发表于 1965 年, Coleman-Mandula no-go 定理则发表于 1967 年。]

这个定理告诉我们, 对于一个以 Lorentz 群为对称群, 且满足我很快将会告诉你们的若干公理的四维时空中的理论, 对称群的唯一可能性就是 Lorentz 群与某些紧致内部群的直积。

我们居然有一个建立在很基本的公理基础上的定理来区分那两列, 这是足够奇怪的。

现在让我们来谈谈公理。 除 Lorentz 不变性外, 那些公理规定理论必须基于量子力学并且是局域的, 它必须是一个局域量子场论。 在这里局域指的是微观意义上的局域, 即两个类空分隔的观测 - 无论距离多近 - 不能彼此影响。 理论的局域性来自于场的局域性。 此外我们还假设存在一个唯一的能量最低态 - 一个我们称之为真空的基态, 所有其它态都具有更大的能量。 几率被假定为是在量子力学意义上守恒的。 最后, 我们假定只存在有限数目的不同粒子 [译者注: Wess 对最后这一假设的表述并不确切, 确切的表述是: 在任意一个给定的能标以下, 只存在有限数目的不同粒子。]。 这些看上去全都是很合理的假设, 但它们的推论之一就是你不能如我们试图通过假设一个 SU(4) 或 SU(6) 对称性所做的那样将两列合并起来。

这组公理有一个问题: 除自由场理论外, 我们还不知道任何一个其存在性能被严格证明, 并且满足所有公理的局域量子场论。 我们已经在微扰理论中发明了很有力的方法, 通过重整化手段分离无穷大。 我们能够用这种方法提取出可在实验上检验的信息。 从某种意义上讲, 这只是一种技巧, 但它工作得非常漂亮。 在这样的基础上我们理解着我所讨论的那些模型, 并使它们取得了成功。 然而这是一种数学家们不会乐意接受为理论的模型表述。 不过它与实验数据的比较是如此成功, 使得我们无法抛弃这种类型的理论。

现在我愿意提出一个观点。 假如我们想在前面讨论过的框架下构筑一个理论, 我们想要有自旋 0、 1 以及 1/2 的场。 我们从自由场出发, 试图通过调节多重态及耦合常数来使微扰理论中只出现有限数目的发散。 我们从树图开始, 研究 Feynman 图对能量动量的依赖性, 并调节模型使这种依赖性尽可能光滑, 以便为一圈图层次上对能量动量变量的积分创造便利。 这样做的结果是一个带有对称性自发破缺的规范理论。 因此, 即便不知道群论与对称性, 一个好的物理学家仍能在动力学的基础上发明规范理论的全部观念。 这一点在二十年前就已经由 Cornwell、 Llewellyn Smith 以及 Steve Weinberg 所阐明。 他们率先采用了这种方法。 在你知道了这一结果后, 通过一本群论教材, 将你的模型用你的群论知识表述出来, 并将对称群规范化, 就容易多了。 用这种方法你得到一个模型, 你会发现它是一个可重整的量子场论。 这可以由规范不变性得到证明。 Noether 定理及流的守恒是这一证明的核心。 流必须是一个具有良好定义的东西, 它有助于将无穷大以及未定义的常数联系起来, 使得最终出现的只是有限的数字。 这确定了重整化方案。 当我说即便表述一个物理理论也必须用到对称性的概念时, 我指的就是这个。 但这也提出了一个问题, 即对称性是真正基本的呢, 还是能在一些合理的公理基础之上从体系的动力学中推导出来?

我们的思维方式受深刻而广泛的对称性观念的影响是如此之大, 以至于如果我们在一个动力学体系中发现了一个漂亮的对称性, 我们就说我们理解了这个体系。 如果偏离了对称性, 我们则说: 一定有什么东西我们还没有理解。

由对称性而非动力学的需要出发还有一个很好的理由, 那就是后一种方法将会是困难的, 并且 - 依我说 - 也是丑陋的。 数学家们未曾从这种晦涩的途径出发来发展概念, 因而我们也没有能够使用的数学工具。 这与前一种方法相反, 在那里我们有各种各样漂亮的数学。

有一种联合时空对称性与内部对称性的令人惊讶的方法, 那就是通过超对称。 这是通过推广对称性的概念而达成的。 如你所知, 对称性可以用对易关系来表述, 就象量子力学中的角动量对易关系一样。 一大类群 - 李群 - 是与由对易关系所定义的李代数有关的。 我们已经提到过的所有对称性都是这种类型的。

图二
图二

从 Dirac 那里我们知道: 不仅对易子, 而且反对易子也是非常有用的概念, 特别是当我们处理带半整数自旋的粒子时。

我们的想法是将对称性的概念推广为一种同时建立在对易子和反对易子之上的结构。 这在数学上并不是一种新的想法, 这样的结构 - 分级李代数 (graded Lie algebras) - 已经被彻底研究过了, 比如被 Berezin。 但是这样的一种概念能够在量子场论中实现吗? 答案是肯定的: 存在一种相当唯一的对称性, 它的唯一性是建立在 Coleman 和 Mandula 的此路不通定理基础之上的 (图二)。

这是由 Haag、 Lopuszanski 以及 Sohnius 所证明的。 在这里该定理并未说此路不通, 而是告诉你一条由下面这个公式所表示的非常唯一的道路 [译者注: 原文将 {QαN, QβM}+ 写成了 {QαN, QαM}+, 显系笔误。]

{QαN, QβM}+ = 2γαβνPνδNM

(1)

荷 QαN 是旋量荷, α 是旋量指标, QαN 是 Majorana 旋量。 N 是一个自由指标。 如果 N 取值为从 1 到 2, 我们谈论的就是 N=2 的超对称。 如果它取值为从 1 到 4, 我们谈论的就是 N=4 的超对称。 四维矢量 Pν 是产生时空平移的能量动量四维矢。 这一代数的结构常数是 Dirac γ 矩阵与 Kronecker 符号。 这一代数可以与 Lorentz 群合并, 这样得到的就是超对称的代数。

这些荷现在可以通过局域场来实现, 超对称的代数关系在场的正则对易关系的基础上得以成立。 这些荷与流联系在一起, 那是 3/2 流, 就如同能量动量是与作为自旋 2 客体的能量动量密度张量联系在一起的。 如果理论被规范化, 那种流就是场的源 - 对于电流来说那是光子, 自旋为 1; 对于能量动量张量来说那是引力子, 自旋为 2; 对于超对称流 (supercurrent) 来说则是引力微子 (gravitino), 自旋为 3/2。

超对称理论有一个很令人鼓舞的特性: 作为量子场论, 它们要比没有超对称时具有更少的发散性。

超对称理论也有一个很不令人鼓舞的特性, 它是代数的直接推论, 那就是一个超对称理论必须具有相同数目且质量简并的玻色与费米自由度。 自然界并不是这样的。 我们有费米子和玻色子, 但并不存在于同一个多重态结构之内, 质量也并不简并。

这两个特性导致了困扰, 而且这困扰由于它们并非彼此独立而更严重。 让我用一个简单的例子来说明这一点。 考虑一个具有相同频率的玻色和费米谐振子, 它们的零点能具有相反的符号, 把它们加起来就会导致零点能的相互抵消。 一个场可以被看成是无穷多个谐振子之和, 其零点能的总和将是一个无穷大的真空能, 除非是在一个玻色子和费米子的贡献相互抵消的理论中。 Pauli 就已经知道了这一点, 但他同时也知道世界并不是这样的。 超对称将这种相互抵消与理论的代数结构联系在一起, 受此影响, 你也许会相信它已经建立在了有关理论与自然的一种更深刻的性质之上。 自 Pauli 时代以来, 我们已经学会了处理自发破缺的对称性。 在这种带有对称性自发破缺的理论中场论性质得到了维持, 但在低能唯象的层次上, 对称性看起来被显著的效应所破坏。

导致真空能抵消的这同一种机制还会导致很多其它发散性的抵消。 理论的这种得到改善的重整化性质可以归结到带有玻色或费米内线的图的抵消性质之上。 可以证明, 理论中的某些参数将不会有辐射修正, 甚至连有限的修正都没有。 这在量子场论中即便不是奇迹, 也是令人兴奋的。 你可以在非量子化的层次上引进诸如特定的质量或耦合常数之类的参数, 使之完全不受辐射修正。 很自然地, 这对基于超对称理论的粒子唯象学是有影响的。

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