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从对称到超对称 (下)

- 作者:Julius Wess    译者:卢昌海 -

<< 接中篇

让我首先讨论一下超对称理论具有相同数目的玻色子与费米子这一事实 [译者注: 这里实际指的是相同数目的玻色与费米自由度]

我们知道在自然界中夸克与轻子是费米子。 这些是构成物质的粒子。 这些费米子每种都有两个玻色伙伴, 因为每个自旋 1/2 的粒子都有两个自由度。 我们不知道自然界中是否存在那样的伙伴, 但我们可以给它们命名。 我们把夸克的超对称伙伴称为 squark, 把轻子的超对称伙伴称为 slepton, 其中 "s" 指超对称伙伴的标量性 [译者注: 不知 squark 和 slepton 是否已有标准译名, 若没有的话, 建议译为标量夸克与标量轻子]

我们知道在自然界中光子、 弱相互作用矢量粒子、 胶子、 引力子与 Higgs 粒子是玻色子。 这些是传递相互作用的粒子。 这些玻色子每种都必须有一个费米子伙伴。 我们给它们的命名为: photino、 wino、 zino、 gluino、 gravitino 和 Higgsino [译者注: 这其中 photino 和 gravitino 通常译为光微子和引力微子。 其余几种不知是否已有标准译名, 若没有的话, 建议译为 W 微子、 Z 微子、 胶微子和 Higgs 微子]

图三. QCD 中的超对称顶点 [译者注: 此处 QCD 显系 QED 之笔误]

我们可以用这些粒子来构筑模型, 并把我们已经知道这类模型中一半的粒子当成是一种成功。 不仅如此, 我们还知道它们的耦合, 那是完全由我们已知的粒子的耦合所确定的。 选一个由已知粒子组成的费曼图 (图三), 这种图中那些要么从入射粒子到出射粒子, 要么形成圈的线, 能够并且必须出现在一个等价图中, 在那里它被对应于超对称伙伴的线所取代。 对所有的线作这样的替换, 你就可以得到一个特定超对称理论的所有的图。 那些相应顶点上的耦合常数与你作为出发点的理论中的相同。

在一个真正超对称的理论中, 质量也必须是相同的。 如果对称性自发破缺, 这一点就不成立。 我们知道在规范对称性的自发破缺中, 一个多重态中的质量差有可能很大 - 就象光子与 W 或 Z 粒子的质量差。

超对称也有可能通过这样的方式破缺, 以维持其重整化性质。 超对称伙伴的质量差有可能很大, 我们称其为超对称隙 (SUSY gap)

不过, 辐射修正将不会完全抵消 - 我们可以预期与超对称隙具有相同量级的有限贡献。 在具有这种性质的规范理论的质量与耦合常数中, 包含了 Higgs 质量及 Higgs 耦合常数。

知道了这一性质, 人们就可以将之与粒子理论中的另一个现象联系起来。 假设存在一个大统一理论, 大统一规范群必须自发破缺以产生我们所知道的标准模型。 而标准模型的对称群 SU(3)C×SU(2)W×U(1) 则破缺为如我们在低能区所知的电磁与弱相互作用理论 [译者注: 此处 “电磁与弱相互作用理论” 似应为 “电磁与强相互作用理论”, 后者才对应于标准模型中的非破缺部分]

在量子场论模型中, 这一对称性破缺是由参数 - 即 Higgs 质量及 Higgs 耦合常数 - 引发的, 这些参数在非超对称理论中必须经受无穷大量的重整。 在这种破缺方案中, 很难理解两个不同能区的破缺如何能保持稳定并遵守能标。 这是粒子物理中的等级问题 (hierarchy problem)。 但假如理论是一个自发破缺的超对称理论, 那么有关参数只会受到的量级为超对称隙的辐射修正。 假如超对称隙是在表征 W 粒子质量的电弱破缺能标的量级上, 我们就能理解大统一理论中对称性破缺的稳定性。 在这样的方案中, 超对称隙必须在 TeV 量级上, 这是一个很快就会被实验所触及的能标。

我个人的信念是: 象超对称这样优美的对称性如果只是用来解决等级问题, 那将是巨大的浪费。 超对称在高能下也许扮演着重要得多的角色, 而解决等级问题只是它在低能下的残留之一。

不过请允许我强调, 这一预想有两个前提: 超对称与大统一。 它们的任何组合都有可能是对的或错的。

图四. 无重整性
图四. 无重整性

现在回到在规范理论框架中就曾提到过的话题。 我们看到, 超对称在重整化理论的框架中对量子场论的动力学行为有很强的影响。 我们可以从这一框架出发, 寻找一个包含自旋 0 和 1/2, 不仅在树图而且在单圈图层次上都尽可能光滑的模型。 我们可以寻求无穷大真空能的抵消, 通过这种方式我们可以确立相同的玻色与费米自由度。 如果还要求我在前面谈及过的无重整性质, 我们就可以构造出有可能带有所谓软破缺 - 一种不影响重整化性质的对称性破缺 - 的超对称理论。 如果我们要求所有的辐射修正都消失, 我们将得到严格的超对称理论。

因此导致超对称的也同样可以是一个动力学概念, 只不过是被推进到了单圈图的层次上。 一个知道如何处理费曼图的好的物理学家, 有可能无需知道任何代数、 群或分级群, 就发现超对称。 从某种意义上讲, 超对称是可重整量子场论框架内继规范理论之后的下一个逻辑步骤。 从对应于经典理论的树图层次到由单圈图表示的量子层次, 将同样的观念重复用一次, 你就得到超对称。 我们所不知道的, 是大自然是否知道这种思考方式, 或者它有不同的逻辑, 以不同的方式做事情。

现在谈谈超对称的历史。 它始于 Golfand 和 Likhtman 的工作。 他们考虑了通过在 Poincare 代数中添加旋量生成元, 以扩展代数。 那大约是在 1970 年, 他们的确是在超对称的轨道上。 我将在此次讲演结束时回到这个想法上来, 因为我认为这是一个正确的问题, 即我们能否通过新的代数概念来扩展代数及对称性概念, 以得到新的对称性? 然后是 1972 年, Volkov 和 Akulov 在一篇文章中沿下列思路进行了思考: 我们知道对称性的自发破缺伴随有无质量的 Goldstone 粒子。 在自然界中我们知道一种质量 - 如果有的话 - 很小的自旋 1/2 粒子, 即中微子。 这种费米子有可能是某种对称性破缺的 Goldstone 粒子吗? Volkov 和 Akulov 构造了一个超对称的非线性拉氏量。 当然, 如今我们从 Haag、 Lopuszanski 及 Sohnius 知道那必须是超对称的 [译者注: 这里提到的 “Haag、 Lopuszanski 及 Sohnius” 指的是所谓的 Haag–Lopuszanski–Sohnius 定理, 它表明一个四维时空量子场论所具有的最普遍的对称性是超对称, 并且其中的费米生成元具有 1/2 自旋。 这一定理被视为是 Coleman-Mandula 定理的推广]。 但由于是非线性的, 就象非线性 σ 模型, 那个拉氏量是高度不可重整的, 而且不具有任何我们如今在超对称中找到的有用及迷人的重整化性质的任何迹象。

通往超对称的另一条途径来自二维对偶模型。 Neveu 和 Schwarz 等人构筑了一个模型, 其中存在与超规范变换有关的旋量流, 它将标量场变换为旋量场。 不过, 这种变换的代数只在质壳上闭合。 该旋量流被称为超对称流, 那是 “超对称” 这一名称的由来。

1973 年, Bruno Zumino 和我发表了一篇文章, 在其中我们确立了四维的超对称, 构造了可重整的拉氏量, 并在单圈图层次上展示了无重整性质。 我们的出发点是超对称流及对 Noether 定理的很强的信心。

通过微扰量子场论的无重整性质推出超对称的文章则从未有人写过。

通过超对称可以很自然地将时空概念推广为超空间 (superspace) 的概念。 能量动量产生四维时空中的平移, 因此很自然地可以由反对易的荷在某个反对易的空间中产生某种平移。 这种新的空间与四维的 Minkowski 空间一起被称为超空间。

自旋01/213/22 
 21   Φ - 标量多重态
  11  V - 矢量多重态
    11引力多重态

表一

现在场变成了超空间变量的函数, 他们以一种很自然的方式包含了超对称多重态。 这一想法最初是由 Salam 和 Strathdee 提出的。 拉氏量可以很优美地用超场 (superfield) 来表述, 而无重整定理 (non-renormalization theorem) - 如 Fujikawa 和 Lang 所率先展示的 - 也得到了很优美的表述。 自旋 0 和自旋 1/2 的多重态在所谓的手征超场 (chiral superfield) 中找到了位置, 而自旋 1 和自旋 1/2 则出现在所谓的矢量超场 (vector superfield) 中 (见表一)。 由超场表示的任何只含手征场外线, 而不含共轭手征场 Φ* 或矢量场的图都不会被重整 (图四)。

在只含手征场的类别中若没有外场, 我们就得到关于真空能的无重整定理。 对超场拉氏量

L = ΦegVΦ + m2Φ2 + λΦ3

(2)

的浏览告诉我们, 手征场的质量项具有 Φ2 的形式, 而 Higgs 类型的耦合项具有 Φ3 的形式。 这些耦合不会被重整。 手征场的动力学项形如 Φ*Φ, 则具有波函数重整。

超空间变量在我们要对超对称理论的内部对称性进行规范时, 也扮演着重要角色。 规范一个内部对称性意味着表述一个在参数与时空有关的变换之下不变的理论。 时空本身并不是一个超对称的概念, 我们必须将它换成超空间。 规范一个超对称理论中的内部对称性意味着表述一个在参数与超空间有关的变换之下不变的理论。 用这种方法我们明白了如何将所有的规范理论超对称化。

超对称的规范也在超空间中找到了自然的表述。 Einstein 的引力理论可以表述为四维时空中的几何理论。 超引力 - 具有规范化超对称的理论 - 可以表述为超空间中的几何理论。 超引力包含了 Einstein 的理论, 因为超对称包含了 Lorentz 群。 它改善了普通引力理论的重整化性质, 不过并未使之成为完全可重整的理论。 但它距离将引力归入可重整量子场论的梦想又近了一步。

我们与超对称的所有互动都围绕着微扰量子场论的重整化问题。 必须被重整的奇异性是量子场论中不令人满意的短距离行为的结果。 对称性在一定程度上改善了局面。 但这果真是大自然解决短距离发散问题的方法吗?

另一种可能性是放宽某些公理。 但这必须以一种有受到很好控制的方式去做, 以便首先避免与实验事实相矛盾, 其次避免让理论游戏的规则过于开放, 以至于使理论变成一种簿记的工具。

迄今唯一满足这些条件的方法是弦论。 点的概念换成了弦的概念 - 局域性公理被放宽, 粒子的数目变为无穷, 它们是理论中弦的激发态。

在低能下, 弦图像也许能与我们用标准模型及 Einstein 引力理论所概括的实验知识相容。 弦的理论框架仍然是基于对称性与微分几何。 解析性也扮演着重要角色。 在弦论中, 我们关于时空的概念是建立在微分流形基础上的 - 它们无论多么弯曲, 都是与平直空间最相近的亲戚。

我们也可以寻求对量子场论代数结构的变更。 我们曾将之建立在量子力学的正则结构之上, 并改用到微分流形的代数可能性上。 非对易微分几何也许能提供一个超越微分流形的数学框架。 沿这一方向的努力表明, 它有可能导致短距离上的时空格点化。 这开启了值得探索的可能性。

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