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时空的乐章——引力波百年漫谈 (三)

- 卢昌海 -

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三. 算不上先驱的先驱

在广义相对论之前的物理学中， 时空宛如一个舞台， 物理过程像戏剧一样千变万化， 舞台却是不变的。 广义相对论首次将时空变成了戏剧的一部分， 变成了一个动力学概念， 时空不再是不变的了。 另一方面， 在物理学上， 几乎所有可变的东西都可以有波动式的变化， 时空既然不再是不变的， 就也没理由例外， 从这个意义上讲， 引力波在概念层面上的存在几乎是水到渠成， 甚至显而易见了。

在更具体的层面上， 引力波的存在还可以这样来理解， 那就是广义相对论既然解决了牛顿万有引力定律与狭义相对论相互冲突的问题， 那么引力自然不会再像牛顿万有引力定律所隐含的那样瞬时传播了。 而引力既然不再瞬时传播， 就意味着引力源的运动对远处的影响只能逐渐传播开去， 这 “逐渐传播” 的典型形式无疑就是波动。 这种相互作用的非瞬时传播与波动之间的密切关联物理学家们并不陌生， 因为电磁波就是这样一种波动， 一种与电磁相互作用的非瞬时传播有着密切关联的波动。

不过， 引力的非瞬时传播虽然是由广义相对论所确立的， 相互作用非瞬时传播的概念却并非始于广义相对论， 甚至也并非始于狭义相对论——虽然后者对这一概念取得基础地位具有决定性的影响。 事实上， 比狭义相对论早得多就有科学家猜测过引力的非瞬时传播， 并且作出过跟引力波的存在不无异曲同工之处的猜测。

比如著名法国科学家拉普拉斯 (Pierre Simon de Laplace) 早在 1776 年就考虑过修改牛顿万有引力定律的若干可能性， 其中之一就是放弃引力的瞬时传播。 假如引力的传播不是瞬时的， 会有什么可观测效应呢？ 拉普拉斯以地球对月球的引力为例作了具体分析^[注一]。 他首先假定引力是通过物体之间交换某种微小粒子所产生的， 方向沿那些微小粒子的运动方向^[注二]。 对于地球与月球间的引力而言， 如果引力的传播是瞬时的， 产生引力的那种微小粒子的发射方向——也就是引力的方向——无疑就是沿两者的连线方向， 从而跟牛顿万有引力定律相一致。 但假如引力的传播不是瞬时的， 那种微小粒子从地球运动到月球就需要花费时间， 而在这段时间内， 月球本身会沿着公转轨道往前运动一段距离， 因此为了使那种微小粒子能与月球相遇， 它们的发射方向必须稍稍偏往月球的运动方向一点。 很明显， 这种发射方向上的偏角意味着地球对月球的引力将不再沿两者的连线方向， 而是——相对于月球而言——有一个沿切向往后拖拽的分量 (感兴趣的读者可以画一幅示意图论证这一点)。 由于这种拖拽效应的存在， 月球的轨道将会慢慢 “蜕化”， 轨道高度将会逐渐降低， 月球的最终命运——倘不考虑任何其他因素的话——将会是坠落到地球上。

拉普拉斯以引力的非瞬时传播为前提所预言的月球轨道的 “蜕化” 在定性上跟引力波造成的效应是相同的。 不过预言虽然相同， 拉普拉斯却并没有提出引力波的概念。 按照现代的思路， 月球轨道的 “蜕化” 意味着轨道能量的损失， 只要问一句 “损失的轨道能量到哪里去了”， 引力波的概念就几乎必然会被引出来。 可惜的是， 今天看来天经地义的推理在拉普拉斯时代却并非如此， 原因很简单： 能量守恒定律在拉普拉斯时代尚不存在。 能量及能量守恒定律的基础地位容易给人一个错觉， 以为这两者都是渊源流长的概念。 但其实， 它们的历史并不悠久， 稍具现代意义的能量概念在拉普拉斯时代尚处于形成之中， 许多形式的能量尚未被认识， 能量守恒的观念也尚未得到确立。 因此对拉普拉斯来说， “损失的轨道能量到哪里去了” 的问题并不显而易见， 更不会引发他往引力波的方向去猜测^[注三]。 也正因为如此， 他的猜测只能被称为 “跟引力波的存在不无异曲同工之处的猜测”， 这种猜测相对于引力波研究来说只在很边缘的意义上具有先驱性^[注四]。

等到英国物理学家麦克斯韦 (James Clerk Maxwell) 建立了完整的经典电磁理论以及爱因斯坦提出了狭义相对论之后， 有关引力波的猜测才真正问世了。 这种猜测有两个主要诱因： 一个是牛顿万有引力定律与描述静电相互作用的库仑定律 (Coulomb's Law) 具有表观上的相似性， 这种相似性启示人们猜测相对论性的引力理论与完整的经典电磁理论会有一定的相似性， 从而会像电磁理论具有电磁波一样具有引力波。 另一个诱因则是前面提到过的相互作用的非瞬时传播与波动之间的密切关联， 狭义相对论所确立的光速上限对这一诱因无疑是一种加强。 在这些诱因的 “引诱” 下， 法国科学家庞加莱 (Henri Poincaré) 早在 1905 年 6 月——比狭义相对论的发表还早——就对引力波的存在做出了明确猜测。 这位在爱因斯坦之前就对狭义相对论的很多结果有过预期的著名科学家在一篇题为 “电子的动力学” (Sur la dynamique de l'électron) 的论文中不仅提出了引力场会像电磁场那样产生以光速传播的波， 而且将这种波明确称为了引力波。 稍后， 庞加莱还进一步猜测引力波造成的能量损失有可能解释水星近日点进动 (perihelion precession of Mercury) 的传统计算与观测值之间的偏差。

不过当时距离广义相对论的创立还有 10 年， 庞加莱对符合相对论要求的引力理论的预期只是概念性的， 所提出的引力波也是概念性的， 除猜对了它的传播速度是光速外， 在技术层面上对引力波的其他了解近乎于零， 所猜测的引力波对水星近日点进动的影响也是完全错误的。 从这个意义上讲， 庞加莱这位提出了引力波概念及名称的先驱也是要打折扣的， 姑称为 “算不上先驱的先驱” 吧。

四. 广义相对论的弱场近似

在引力波的研究中， 真正称得上先驱及提出者的只有一个人， 那就是爱因斯坦本人。

爱因斯坦的研究风格具有极强的系统性， 在创立了广义相对论之后仅仅两年左右的时间里， 他就再接再厉开辟了两个全新的分支领域： 一个是相对论宇宙学， 另一个就是引力波研究。 爱因斯坦开辟的这两个领域后来都有了一些戏剧性的曲折， 比如相对论宇宙学的发展在不久之后就使爱因斯坦所青睐的静态宇宙模型遭到了观测否决， 而引力波的研究在爱因斯坦有生之年虽无观测数据， 爱因斯坦自己的观点却几经变化。 我们将在后文中介绍爱因斯坦的观点变化， 在本节中， 让我们先上点 “干货”， 介绍一下广义相对论的弱场近似 (weak field approximation)。 对引力波研究来说， 这是最便利的切入点， 也是爱因斯坦研究引力波时最先考虑的情形。

有读者也许会问： 讨论电磁波时从来也不需要弱场近似， 为什么引力波研究要以弱场近似为切入点呢？ 这是因为电磁理论——确切地说是麦克斯韦的经典电磁理论——是一个线性理论， 这种理论的基本特点是处理的难度与场的强弱无关， 从而没必要对后者作出限制。 但广义相对论不同， 它是一个非线性理论， 这种理论的一个基本特点是场具有所谓的自相互作用 (self-interaction)， 即场的产生不仅取决于源， 而且还取决于它自身。 这种自相互作用的存在使非线性理论的处理比线性理论困难得多， 而且场越强， 自相互作用往往越显著， 处理的难度也就越大。

那么非线性理论——或者具体地说， 广义相对论这一非线性理论——该如何处理呢？ 一般来说， 处理的手段有三类： 一类是寻找特殊解， 这类手段通常靠特定的对称性来简化问题， 适用面比较小， 但往往可以得到精确而解析的结果； 另一类是数值计算， 这类手段显著依赖于计算工具， 在早期研究中基本缺席， 在计算机技术日益发展的今天却有着越来越宽广的应用领域； 第三类则是线性近似， 这类手段的适用条件是非线性效应可以忽略， 只要这一条件得到满足， 它的适用面就是普遍的， 不依赖于对称性， 同时却往往可以得到解析结果。

弱场近似下的引力波研究采用的是第三类手段——因为弱场的自相互作用可以忽略， 从而广义相对论可以近似为线性理论。

关于广义相对论的弱场近似， 首先要问的是： 什么是弱场？ 由于广义相对论将引力归结为时空的弯曲， 而没有引力的时空是由闵科夫斯基度规 η_μν 所描述的平直时空——也称为闵科夫斯基时空。 因此所谓弱场显然是指时空偏离闵科夫斯基时空的幅度很小的情形。 用数学语言来表示， 广义相对论的弱场指的是形如

的度规所表示的引力场——其中括号里的 |h_μν| ≪ 1 表示时空偏离闵科夫斯基时空的幅度很小。

将 (4.1) 式代入爱因斯坦场方程 (2.9) 式^[注五]， 并且只保留 h_μν 的线性项， 可以得到

其中 h 是 h_μν 的缩并， T 是 T_μν 的缩并。 需要说明的是， (4.2) 式中 h_μν 和 T_μν 的所有指标都是用闵科夫斯基度规 η_μν 来升降的， 因为否则就会引进 h_μν 的非线性项。

(4.2) 式虽然是线性的， 却依然有相当的复杂性。 幸运的是， 我们还有一个 “杀手锏” 尚未使用， 那就是广义相对论所具有的广义协变性。 广义协变性使我们可以对 4 个时空坐标进行任意变换， 而在那样的变换下， 广义相对论中的度规、 联络等都将发生相应的变化。 利用这种变化， 我们可以选择特殊的坐标， 使得度规、 联络等具有最易于处理的形式， 这是研究广义相对论问题的重要技巧。 熟悉电磁理论的读者也许看出来了， 广义相对论所具有的广义协变性类似于电磁理论中的规范不变性 (gauge invariance)， 对时空坐标的任意变换类似于电磁理论中的规范变换 (gauge transformation)， 而由此带来的对度规、 联络等的选择则相当于在电磁理论中选择规范条件 (gauge condition)。 所不同的是， 电磁理论中的规范变换只涉及一个任意函数， 相应的规范条件也只有一个， 而广义相对论中的坐标变换涉及 4 个任意函数， 从而可以导致 4 个类似的条件——称为 “坐标条件” (coordinate conditions)。

坐标条件的选择不是唯一的， 就像电磁理论中规范条件的选择不是唯一的。 爱因斯坦在早年的研究中——包括理论框架完成之前的阶段里——往往只采用一个坐标条件， 即 g = —1 (其中 g 是度规张量 g_μν 的行列式)。 满足这一条件的坐标被称为 “幺模坐标” (unimodular coordinates)。 不过当他对弱场近似进行更系统的研究时， 很快发现幺模坐标不适合研究引力波， 因而自 1916 年 6 月发表引力波研究的第一篇论文 “引力场方程的近似积分” (Approximative Integration of the Field Equations of Gravitation) 开始， 转而采用了荷兰物理学家德西特 (Willem de Sitter) 提出的一组坐标条件： ∂^μ(h_μν — ½η_μνh) = 0。 这组条件共有 4 个， 从而充分利用了广义协变性带来的便利， 满足这组条件的坐标被称为 “各向同性坐标” (isotropic coordinates)。

利用各向同性坐标， 爱因斯坦于 1918 年给出了有关弱场近似下引力波的若干重要结果。 不过时隔一个世纪， 我们已没有必要重复爱因斯坦的选择， 而将采用一种更受现代研究者青睐的坐标条件： 调和坐标条件 (harmonic coordinate conditions， 也称为 “谐和坐标条件”)。 用数学语言来表示， 调和坐标条件指的是：

满足这组总计 4 个条件的坐标则被称为 “调和坐标” (harmonic coordinates， 也称为 “谐和坐标”)。

调和坐标是 20 世纪 20 年代由比利时数学家德唐德 (Théophile de Donder) 和匈牙利物理学家兰佐斯 (Cornelius Lanczos) 彼此独立地提出的^[注六]。 调和坐标条件作为一个坐标条件， 本身并不受弱场近似的限制 (这是它优于德西特和爱因斯坦针对弱场近似所采用的各向同性坐标的地方)， 但我们讨论的既然是弱场近似， 则对调和坐标条件也需要作一个弱场近似， 只保留 h_μν 的线性项。 不难证明， 这种近似下的调和坐标条件 (4.3) 可以表述为：

细心的读者也许注意到了， (4.4) 式跟各向同性坐标所满足的条件是完全相同的， 因此调和坐标与各向同性坐标在弱场近似下是相同的 (这也说明我们对弱场近似的处理跟爱因斯坦原始论文的处理是殊途同归的)。 不过这种相同只限于弱场近似， 普遍情形下的调和坐标是一种不同的坐标。

利用 (4.4) 式可以很容易地证明——感兴趣的读者不妨自己试试——(4.2) 式左侧除第一项外的其他三项相互抵消。 由此我们得到一个高度简化了的、 很漂亮的广义相对论弱场近似：

这一近似之所以漂亮， 是因为——读者想必认出来了——它正是所谓的波动方程 (wave equation)。 这个波动方程所描述的是一种以物质——具体地说是 T_μν — ½η_μνT——为源， 以时空——具体地说是时空偏离平直的程度 h_μν——为波幅的波动。 不仅如此， 我们还可以立刻看出这种波动的一个重要特点， 那就是传播速度是光速^[注七]。

如果说此前有关引力波的一切都是猜测， 那么波动方程的出现改变了事情的性质。 因为波动方程是波动的理论基础， 蕴含着它的定量属性， 也是定量验证的重要依据。 对一般的物理体系来说， 波动方程既然出现了， 波的存在就不言而喻了， 但我们将会看到， 引力波跟一般的波相比有一些概念上的微妙性， 一度甚至妨碍了爱因斯坦本人对它的理解和接受。

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注释

1. 之所以以地球对月球的引力为例， 是因此自牛顿时代起， 月球的运动就是一个老大难问题 (这其实并不意外， 因为一来月球同时受太阳和地球两大天体的引力影响， 且质量与地球质量相比不算太小， 其运动带有较明显的 “三体” 色彩， 二来对月球的观测相对容易， 从而容易发现问题)， 牛顿甚至还因此而怀疑英国天文学家弗拉姆斯蒂德 (John Flamsteed) 没有为他提供最好的观测数据， 两人为此闹僵。 拉普拉斯之所以考虑修改牛顿万有引力定律的可能性， 一个很重要的原因也是因为月球的运动当时尚未得到满意解决。
2. 这一想法跟现代量子场论对相互作用的描述不无相似之处——当然纯属表观。
3. 值得一提的是， 哪怕在广义相对论问世之后， 引力波是否真实存在以及它能否携带能量也依然有过争议 (我们在后文中将会提及)。 以这种争议为背景来看， 拉普拉斯从引力的非瞬时传播入手进行的分析具有额外的重要性， 因为它提供了一个独立视角。 事实上， 著名引力理论专家、 美国物理学家惠勒在《引力与时空之旅》 (A Journey into Gravity and Spacetime ) 一书中曾引述过两位现代物理学家提出的有关引力波为何能携带能量的通俗解释， 其实质也正是从引力的非瞬时传播入手， 从而跟拉普拉斯的分析具有完全相似的思路。 从这个意义上讲， 拉普拉斯的分析在定性上可以说是正确的。 如果进一步考虑到当时连麦克斯韦的电磁理论都尚未问世， 则拉普拉斯的分析还可以视为是对 “辐射阻尼” (radiation resistance) 的最早分析。 不过另一方面， 在广义相对论那样的具体理论问世之前， 拉普拉斯的分析注定只能是定性的， 一旦试图超越这一局限就不免走向谬误。 比如他依据自己的分析及月球运动的观测数据估算出的引力的传播速度高达光速的 700 万倍， 就不仅荒谬， 而且几乎对引力的非瞬时传播构成了否定。 当然， 这种谬误也有观测方面的原因， 因为月球轨道因辐射引力波而产生的 “蜕化” 哪怕在今天也绝非观测所能企及， 以此为基础推算任何东西都是在沙滩上建城堡， 走向谬误是不足为奇的。
4. 拉普拉斯的这种先驱性很少被提及， 因为他的猜测不仅——如前注所述——因他自己得到的引力传播速度高达光速的 700 万倍这一数值结果而显得荒谬， 而且从观念上讲也不受当时人们的亲睐——因为当时天体运动具有永恒性的宗教观念仍很顽固， 月球轨道的 “蜕化” 是跟这种顽固观念相冲突的。
5. 确切地说， 是代入 第二节 [注十] 所提到的爱因斯坦本人得到的与 (2.9) 式等价的场方程， 因为那一形式的左侧——即时空几何部分——相对简单。
6. 这种坐标之所以被称为调和坐标是因为在这种坐标下， 任何函数 φ 的所谓 “调和算符” 可以简化为 g^μν∇_μ∇_νφ = g^μν∂_μ∂_νφ — g^μνΓ^λ_μν∂_λφ = ∂^μ∂_μφ， 其中最后一步使用了调和坐标条件 (4.3) 式。 如果 φ 选为坐标 x^α 本身， 则由于其相对于坐标的二阶普通导数为零， 则显然有 g^μν∇_μ∇_νx^α = 0。 由于满足这一方程式的函数是古典分析中的 “调和函数” (harmonic function) 在爱因斯坦时空中的推广， 相应的坐标就因此而被称为了调和坐标。 另外可以补充的是： 调和坐标不仅受到现代研究者的青睐， 在一定程度上甚至可以说是受到了 “溺爱”， 比如苏联物理学家福克 (Vladimir Fock) 试图将调和坐标提升到优越坐标系的地位上， 中国物理学家周培源试图将调和坐标条件与爱因斯坦场方程并称为 “物质的引力规律”， 就都属于 “溺爱”。
7. 在本系列中， 我们采用了光速 c = 1 的单位制， 因此在公式中看不到光速， 感兴趣的读者可以通过简单的量纲分析将光速恢复起来。 另外可以顺便说明一下， 这里得到的引力波传播速度是光速这一特点与方向无关， 或者说是各向同性的， 这正是德西特和爱因斯坦所采用的坐标——它在弱场近似下与调和坐标相等价， 从而具有同样特点——被称为 “各向同性坐标” 的原因。

2016 年 10 月 23 日完稿
2016 年 11 月  4 日发布
https://www.changhai.org/

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网友讨论选录

• 网友： rainbow   (发表于 2016-11-06)

  看到了 Lanczos 的名字， 想起来他还发现过一个计算对称矩阵特征值的算法， 这想来也可以看做物理学家对数学家的贡献之一。

• 卢昌海   (发表于 2016-11-06)

  Lanczos 既可以称为物理学家 (博士论文是关于相对论的， 当过爱因斯坦的助手， 后来在美国标准局工作， 这些都是偏于物理的)， 也可以称为数学家 (除 Lanczos 算法外， 还作出过其他一些数学贡献， 并得过美国数学协会的 Chauvenet 奖)， 为行文简单起见， 我只称他为物理学家， 但他的学术工作本身是跨界的。

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