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弯曲时空量子场论的历史与现状 (下)
- 作者：Robert M. Wald 译者：卢昌海 -
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3. 弯曲时空自由量子场论的代数表述
在任意全局双曲时空 (M, gab) 的量子场论代数表述中， 人们首先为场可观测量指定一个代数。
对于自由 Klein-Gordon 场， 合适的代数可以通过以下方式来定义。 首先定义一个自由 *-代数
A0， 它由单位元 I 以及形如 φ(f) -
其中 f 为 M 上的试验函数 - 的表达式所生成 。
换句话说， A0
包含所有 φ 与 φ* 的有限乘积构成的有限线性组合， 例如
c1φ(f1)φ(f2) +
c2φ*(f3)φ(f4)φ*(f5)。
然后再对 A0 附加以下条件：
(i) 对 f 线性； (ii) 对 φ 取实值： φ*(f)=φ(f)，
其中 f 为 f 的复共轭； (iii) 满足 Klein-Gordon 方程：
φ([∇a∇a-m2]f)=0； (iv) 正则对易关系：
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[φ(f), φ(g)] = -iΔ(f, g)I
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(15) |
其中 Δ 表示超前与推迟 Green 函数之差。 我们所需要的 *-代数 A
便是 A0 约去了这些关系后的代数。 注意
A 中的可观测量对应于量子场 φ 的相关函数。
在代数方法中， 状态 ω 是一个对所有 A∈A
满足正定条件 ω(A*A)≥0 的线性映射 ω: A→C。
ω(A) 被诠释为可观测量 A 在状态 ω 上的期待值 。
普通 Hilbert 空间中的态可以这样导出代数态： 设 H 为 Hilbert 空间， 带有
A 的表示 π， 即对每一个 A∈A，
π(A) 是 H 上的算符， 并且映射 A→π(A) 保持 A
上的代数关系。 令 Ψ∈H 处于所有算符 π(A) 的共同定义域中， 那么由
给出的映射 ω: A→C 就定义了 A
上的一个态 。
反过来， 给定了 A 上的一个态 ω， 我们可以用它定义
A 上的一个 (准) 内积：
这不一定能够定义 A 上的内积， 因为尽管对所有
A∈A 都有 (A, A)≥0， 但有可能存在非零元素使得 (A, A)=0。
但是， 出现这种情况时， 我们可以在空间中约去那种零模矢量。 这样我们就得到了一个带有
A 的自然表示 π 的 Hilbert 空间 H。
对应于 I∈A 的矢量 Ψ∈H 对所有
A∈A 满足 ω(A)=<Ψ|π(A)|Ψ>。
确定算符 π(A) 在态 Ψ 上的普通量子力学几率法则可以用来定义可观测量 A 在状态 ω
上的几率法则。 由此， 就 A 中的局域场可观测量而言，
我们得到了 Klein-Gordon 场在任意全局双曲弯曲时空上的完全表述， 即对于任何状态，
我们可以给出测量 A 上所有可观测量的所有可能结果的几率。
我们不需要引进优越 “真空态” 或 “粒子” 的概念， 虽然如果愿意的话我们当然完全可以对特定时空引进那些概念。
如我们刚刚看到的， 代数意义上的每一个状态都对应于一个普通 Hilbert 空间意义上的状态。 那么，
用代数方法表述理论有什么优点呢？ 一个主要的优点就是不必在一开始选定表象，
也就是说我们可以同时考虑来自理论的所有 Hilbert 空间构造的所有状态。 由此产生的一个结果是，
我们在定义理论时可以不必在一开始选定 “真空态” 或其它有问题的概念。 此外，
值得注意的是态的代数概念筛除了 Hilbert 空间中不在理论的可观测量定义域中的非物理态，
理论的 Hilbert 空间表象中不在所有 π(A) 的定义域中的矢量不定义代数意义上的态。
就 A 中的可观测量而言， 上面给出了弯曲时空中自由 Klein-Gordon
场的完全令人满意的构造。 类似的构造也适用于所有其它自由 (即无自相互作用的) 量子场。
但是起码出于下面两个原因， 总体的状况仍然是不完全并且不能令人满意的： 第一， 即使我们只对自由
Klein-Gordon 场论感兴趣， 也依然有许多我们感兴趣的可观测量不在 A 中。
事实上， A 中的可观测量只是线性场 φ 的 n-点函数，
它们甚至不包括 φ 及其导数的多项式 (Wick 多项式)。 具有极大物理重要性却不在
A 中的可观测量的一个首要例子是能量动量张量
Tab， 它是估计量子场对时空度规的反作用所需要的。 因此， 我们希望对代数
A 进行扩展， 使之起码包含 Wick 多项式。 第二，
我们并不相信自然界中的量子场是由自由场描述的， 因此我们希望将理论拓展到非线性场。
即使在 Minkowski 时空中， 人们也只在微扰层次上知道该如何做，
但是我们希望起码能把这些微扰法则推广到弯曲时空。 这些微扰法则要求我们能够定义自由场的
Wick 多项式以及场多项式的编时乘积。 为此我们同样需要拓展代数 A
使之包含那样的量。
如果量子场在确定的时空事件 p 上有良好的定义， 定义 φ 的多项式及编时乘积将是直截了当的。
但是， 如我们在 (12) 式后面已经注明的， 量子场只有作为时空上的分布才有意义。
因此， 定义诸如 [φ(p)]2 的朴素企图不太可能比试图定义 Dirac δ-函数的平方更有意义。
对于这一例子来说， 一种自然的尝试是通过类似于
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φ2(f) =
limn→∞∫φ(x)φ(y)Fn(x,y)d4xd4y
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(18) |
的公式来定义涂抹的 Wick 幂 φ2(f)， 这里 Fn(x,y) 是一个趋向于 Dirac
δ-函数的光滑函数序列。 但是， 右端的极限是发散的， 为了让极限有良好的行为，
必须先对这一表达式做某种类型的 “正规化”。
一旦定义了 Wick 幂 φk(f)， 就可以很容易地通过对因子直接 “编时” 而定义编时乘积
T(φk1(f1)...φkn(fn))，
其中支撑 f1,...,fn 具有适当的因果结构使其编时乘积具有良好定义。
事实上， 对因子数目 n 采用归纳法， 只要 f1,...,fn 的支撑的交集为空，
就可以直截了当地定义
T(φk1(f1)...φkn(fn))。
但是， 将这一分布推广到 “全对角” (total diagonal) 情形， 即 f1,...,fn
的支撑的相互交集非空的情形， 却并不直截了当。
从上面我叙述正规化问题的方式来看， 似乎最困难的问题是定义 Wick 多项式，
而定义编时乘积只不过是这一问题的小小补充。 但事实上， 在 Minkowski 时空中 Wick
多项式可以很容易地通过正规乘积方法来定义， 这可以诠释为在对 (18)
式右端取极限前先把场量中的真空期待值减除。 另一方面， 将编时乘积推广为全对角的问题等价于对所有的
Feynman 图进行重整化， 这是一个极端困难与复杂的问题。
为了将 Minkowski 时空中的正规化与重整化方法推广到弯曲时空， 许多重要的原则性问题必须解决。
在 Minkowski 时空中定义 Wick 多项式的正规乘积方法有赖于存在一个优越的真空态，
正规乘积是相对于这一真空态计算的。 但是， 我们已经看到在一般弯曲时空中并不存在优越真空态的概念。
不仅如此， 在 Minkowski 时空中定义编时乘积所需的重整化规则用到了 “动量空间方法” (即物理量的全局
Fourier 变换) 或 “欧几里得方法” (即对定义在欧几里得而非 Minkowski 空间的表达式进行解析延拓)。
这些方法进而要求 Poincaré 对称性， 优越的 Poincaré 不变的真空态， 以及通过变换 t→it
将 Minkowski 时空 “欧几里得化” 的能力。 所有这些在一般的弯曲时空中都不存在。
在七十年代后期人们就已经知道量子场 φ 的能量动量张量只在受到限定的一类状态上才能定义，
这类状态即所谓的 Hadamard 态 ωH， 其两点分布
ωH(φ(x), φ(y)) 在 y→x 时具有特殊形式的小距离奇点行为
。
对于 Hadamard 态， 可以给出一个定义期待值 ωH(Tab) 的方法，
涉及从 ωH(φ(x), φ(y)) 中减除一个局域且协变地构造出的 Hadamard
拟基本解奇异函数 (Hadamard parametrix) 而非真空期待值。 由此得到的方法给出了定义
ωH(Tab) 的无需选择真空态的令人完全满意的方式。 事实上，
这一方法在 ωH(Tab) 在 p 点的取值只依赖于时空几何及 p 的任意小邻域内的
ωH 的意义上是局域并且协变的。 不难证明，
即使人们能够在所有时空中选择一个唯一的真空态， 正规乘积也不能给出一个局域且协变的
ωH(Tab)。
但是， 尽管上述方法给出了 Hadamard 态上能量动量张量期待值的令人满意的定义， 并且可以推广为高次
Wick 幂的定义， 它却无法将 Tab 及其它 Wick 幂定义为一个扩展代数中的元素。 事实上，
在理论的 Hilbert 空间表示中， 上述方法只不过将 Tab 定义为 Hadamard
态上的二次形而非算符值分布， 因此不存在表示 Tab 可能取值的概率规则。
此外， 值得一提的是通过小距离奇异结构对 Hadamard 态的表征使用起来极其繁琐。 最后，
直至九十年代中期， 我们还远不清楚如何进行在弯曲时空中定义编时乘积所需的复杂困难得多的重整化。
4. 九十年代中期以来的进展
在过去十年里， 自由量子场可观测量的代数被推广到了含有所有的 Wick 多项式及编时乘积。
特别是， 相互作用量子场在弯曲时空中的微扰重整化现在已经因此而有了很好的严格定义。
这一进展很大一部分来自于将 “微局域分析” (microlocal analysis) 的重要方法引入到理论中。 大体上，
微局域分析提供了对分布中的奇异性的细致描述。 给定流形 M 上 p 点邻域内的一个分布 α，
我们可以对 α 乘上一个在 p 点的任意小邻域内有支撑， 且 f(p)≠0 的光滑函数 f。
然后我们可以分析 fα 的 Fourier 变换的衰减性质 (其中 Fourier 变换可以通过为
包含 fα 支撑的邻域选择一个任意 Euclidean 嵌入来定义)。 如果 α 在 p
点的某邻域内光滑， 则对于支撑在该邻域内的 f， fα 的 Fourier 变换在 Fourier
变换空间 k 中当 |k|→∞ 时将沿所有方向快速衰减。 因此， fα 的 Fourier
变换不快速衰减标识了 α 在 p 点的奇异行为。 如果对所有的 f， fα 的 Fourier
变换沿方向 k 附近都不迅速衰减， 我们就说 (p, k) 在 α 的波前集 (wavefront set)
WF(α) 中。 我们可以自然地将 WF(α) 与流形 M 的余切丛对等起来
。
因此波前集不仅标识了 M 中 α 奇异的点， 而且给出了 (余切空间中的) 奇异方向。
这种分布奇异性的细致标识使我们能够定义通常有问题的操作。 比方说， 如果 α 和 β
是分布， 它们的乘积通常是没有数学意义的。 但是， 假如凡 (p, k) 属于 WF(α)
就有 (p, -k) 不属于 WF(β)， 则乘积 αβ 可以通过 Fourier 卷积公式自然地定义。
通过给出诸如分布的乘积何时能定义为分布的法则，
微局域分析提供了判断正规化/重整化方案是否具有良好定义的极其有用的方法。
由于这种分析在本质上是完全局域的， 它提供了分析局域场可观测量的理想工具。
微局域分析在弯曲时空量子场论中的第一个重要应用出现在 Wightman 的学生 Radzikowski
的博士论文中。 Radzikowski 试图证明 Bernard Kay 提出的一个猜想：
如果量子态有一个小距离奇异性为 Hadamard 形式的两点函数， 则它在大距离下不会有任何额外的奇异性
(“局域 Hadamard 形式意味着全局 Hadamard 形式”)。 Radzikowski 使用了微局域分析工具来证明这一猜想。
特别是， 在他的分析过程中， 他证明了通过 ωH(φ(x)φ(y))
局域奇异性的细致结构来标识 Hadamard 态的繁琐做法等价于有关该分布的波前集的一个很简单的条件，
即 WF[ωH(φ(x)φ(y))] 是包含了所有点 (x,y;k,l) 的 M×M 的余切丛的子集，
这里 x 和 y 由在 x 点处具有未来切向量 ka=gabkb
的类光测地线 γ 所连接， la 则与 ka 沿 γ 平行移动到 y
点处的切向量反向。
值得一提的是在微局域分析与弯曲时空量子场论之间有一个有趣的历史互动。 在六十年代后期 Hormander
访问了 Princeton 高等研究所， 并与 Wightman 有过交流。 Wightman 向 Hormander 解释了什么是
Minkowski 时空中的 Feynman 传播子， 以及用波前集的性质对一般弯曲时空中 Feynman 参数的刻划可以在
Duistermaat 和 Hormander 的经典论文中找到 。
而 Wightman 则意识到了微局域分析在表述弯曲时空量子场论时的可能用途。 比方说， 在
de Sitter 时空中不存在全局的类时 Killing 场， 从而没有全局性的正能量。 因此， 人们看来无法象在
Minkowski 情形下要求能量正定那样引入量子场的全局能谱条件 (global spectra condition)。
但是， 人们或许可以在局域量子场可观测量上引入一个 “微局域能谱条件”。 与 Hormander 讨论之后不久，
Wightman 有一位学生 S. Fulling 对弯曲时空量子场论感兴趣， 他建议 Fulling
研究微局域分析在弯曲时空量子场论中的可能应用。 但是， 在花费了一些气力研究微局域分析后，
Fulling 决定自己最好还是去干点别的。 在 Fulling 随后的毕业论文研究中有一个课题是不同量子化方案的不等价性。
特别是， 他论述了在 Minkowski 时空的 Rindler 楔形 (Rindler wedge) 中用 Lorentz boost Killing
场定义时间平移概念的量子化会给出与将普通 Minkowski 真空局限在该区域不同的真空态。 这一工作为上文提到的
Unruh 后来的分析奠定了数学基础。 然而， Wightman 必须再等二十年才有另一位学生对弯曲时空量子场论感兴趣。
当 Radzikowski 开始用微局域分析方法来分析 Kay 的猜想时， 有充分思想准备的 Wightman 给了他大量的鼓励。
在 Radzikowski 的工作之后， Fredenhagen
及其合作者清楚地意识到微局域分析能够为分析弯曲时空量子场论中的发散性提供所需的工具。
Brunetti， Fredenhagen 及 Kohler 证明了如果我们考虑一个任意 Hadamard 真空态 ω0
的 Fock 表示， 则正规乘积可以被用来在这一 Hilbert 空间上定义作为算符值分布的 Wick 多项式。
事实上， 用这种方法可以定义场可观测量的一个更大 - 大到足以包含所有编时乘积 - 的代数 W。
Brunetti 和 Fredenhagen 还给出了应该加在编时乘积上的微局域能谱条件的表述。 但是， 如前面所述，
正规乘积方法无法给出 Wick 多项式的局域且协变的定义。 而且 Brunetti 等人给出的
W 的构造涉及到 Hadamard 真空态 ω0 的任意选择。 不过， 可以证明 W
作为抽象代数不依赖于 ω0 的选择， 因而它是所需要的可观测量扩展代数的有效候选者。
因此， 剩下的问题是确定 W 中哪些元素正确表述了 “真正的” Wick 多项式及编时乘积。
在 Wick 多项式及编时乘积的定义中要引进的一个关键条件是它们必须是局域且协变的场。 如上节所述，
这一条件曾被引入到能量动量期待值的定义中。 但是， 这一观念在那里的表述对于当前的目的来说是不够的，
我们必须给出一个更普遍的表述。
有了这些关键的想法及构造， 下面这些结果的证明成为了可能： (1) 存在一个定义所有局域、
协变且满足一系列合理附加性质 - 包括在度规的连续/解析变换下连续/解析及具有适当的标度行为 -
的 Wick 多项式的完全确定的方法。 这一方法除了一些 “局域曲率歧义性” (local curvature ambiguity)
外是唯一的。 比如， 对于 Klein-Gordon 场 φ， 定义 φ2 的方法除了
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φ2 → φ2 + (c1R + c2m2)I
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(19) |
外是唯一的， 其中 c1， c2 是任意常数， R 为曲率标量， I 表示 W
中的单位元。 对于 Minkowski 时空中的无质量场， 所有的歧义性都消失， 该方法与相对于普通
Minkowski 时空的正规乘积一致。 但在一般弯曲时空中， 定义 φ2 及其它 Wick
多项式的方法不同于任何一种真空态下的正规乘积。 (2) 存在一个定义所有局域、
协变、 满足微局域能谱条件及一系列合理附加性质的编时乘积的方法。 这一方法除了与 Minkowski
分析所预期的同类型但附加了局域曲率歧义性的 “重整化歧义性” (renormalization ambiguities) 外是唯一的。
(3) 在 Minkowski 时空中可重整的理论在弯曲时空中仍是可重整的。 对于可重整理论，
重整化流可以通过量子场在时空度规的标度变换 gab→λ2gab
下的行为来定义。 (4) 可以在编时乘积中附加重整化条件， 使得微扰理论对任意 (未必可重整)
的相互作用逐阶满足： (i) 相互作用场满足经典运动方程。 (ii) 相互作用场的能量动量张量守恒。
所有上述结果都已在不求助于 “真空” 或 “粒子” 观念的情况下得到了。
这些以及过去十年间的其它结果， 表明弯曲时空量子场论具有在深度上能与经典广义相对论相比拟的数学结构。
特别不同寻常的是， 弯曲时空量子场论看上去是数学上自洽的。 尽管由于对引力的处理是经典的，
弯曲时空量子场论不可能是对自然的基础描述， 但很难相信它不是在获取有关自然的某些基本的性质。
上述结果足以在微扰论水平上定义弯曲时空量子场论。 不过，
如何给出弯曲时空中相互作用量子场的非微扰表述仍是一个尚未解决的问题。
我的希望是未来几年中在这方面将会有显著进展。
二零零五年五月十五日译于纽约
二零零六年十二月一日发表于本站
https://www.changhai.org/
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