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宇宙学常数、超对称及膜宇宙论

- 中篇：超对称 -

- 卢昌海 -

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四. 零点能

在 上一节 中我们讲到， 最新的天文观测表明宇宙中约有 70% 的能量密度是由所谓的暗能量组成的。 在广义相对论中， 描述这种暗能量的是由 Einstein 提出， 却又令他后悔、 被他放弃的宇宙学项。

需要说明的是， 虽被 Einstein 本人所不喜， 但宇宙学项在广义相对论中的出现其实并不是一件很牵强的事情。 在广义相对论中与 Newton 引力理论中的引力势相对应的是时空的度规张量， 如果我们假定广义相对论的引力场方程 (张量方程) 与 Newton 引力理论中的 Poisson 方程一样为二阶方程， 并且关于二阶导数呈线性， 那么在满足能量动量守恒的条件下， 场方程的普遍形式正好就是带宇宙学项的广义相对论场方程^[注一]。 因此宇宙学项在广义相对论的数学框架中是有一席之地的， 它最终的脱颖而出正好应了一句老话： 天生我材必有用。

宇宙学项的存在表明即便不存在任何普通物质 (即 T_μν=0)， 宇宙中仍存在由宇宙学常数所描述的能量密度。 在物理学中人们把不存在任何普通物质的状态称为真空， 从这个意义上讲宇宙学常数描述的是真空本身的能量密度， 暗能量则是真空本身所具有的能量。

但是号称一无所有的真空为什么会有能量呢？

这个问题是不该由广义相对论来回答的， 因为广义相对论描述的是能量动量分布与时空结构之间的关系， 至于能量动量分布本身的起源与结构， 则是物理学的其它领域——比如电磁理论、 流体力学等——的任务。 因此， 为了回答这一问题， 我们先把 Einstein 发动的这场直捣物理世界中最大研究对象——宇宙——的人只影单的 “斩首行动” 搁下， 到 20 世纪上半叶物理学的另一个著名战场——量子战场——去看看。 那里的情况与宇宙学战场正好相反， 研究的是物理世界中最小的对象——微观粒子， 战况却热闹非凡， 简直是将星云集， 就连在宇宙学战场上孤胆杀敌、 勇开第一枪的 Einstein 本人也在这里频频露面。 不用说， 这一番大兵团作战所获的战利品是丰厚的， 我们所寻找的有关暗能量物理起源的蛛丝马迹也混杂在了那些来自微观世界的玲琅满目的战利品中。

它就是微观世界中的零点能 (zero point energy)。

依照我们对微观世界的了解， 组成宏观世界的普通物质——即广义相对论中由 T_μν 描述的物质——都是由基本粒子构成的， 而这些基本粒子则是一些被称为量子场的量子体系的激发态。 当所有激发态都不存在时， 量子场的能量处于最低。 量子场的这种能量最低的状态被称为基态， 它对应的是宏观世界中不存在任何普通物质——即 T_μν=0——的状态， 也就是我们通常所说的真空。 微观世界的一个奥妙之处， 就在于当一个量子场处于基态时， 它的能量并不为零。 这种非零的基态能量被称为零点能， 它也正是真空本身的能量。 更妙的是， 这种真空本身所具有的零点能正好具备我们前面所说的暗能量的特点， 因为它的能量动量张量正好可以用宇宙学项来描述。

物理学就像一条首尾相接的巨龙， 宇宙之大与粒子之小探求到最后竟然交汇到了一起， 实在很令人振奋。 可惜好景不长， 物理学家们计算了一下由零点能给出的宇宙学常数的数值， 结果却大失所望。 假如普通量子场论适用的能量上限为 M (或等价地， 距离下限为 1/M)， 则计算表明， 在这一适用范围内量子场的零点能密度大约为 (这里我们采用了光速与 Planck 常数都为 1 的单位制)：

ρ ~ M⁴

由此对应的宇宙学常数约为：

Λ ~ Gρ ~ M⁴ / M_p²

其中 M_p 为 Planck 能量 (约为 10²⁸ eV， 或 10¹⁹ GeV)。

另一方面， 由宇宙学观测所得的宇宙学常数大约为 Λ ~ R^-2 ~ 10^-52 m^-2[注二]。 为了让两者相一致， 量子场论所适用的能量上限 M 必须在 meV (即 10^-3 eV) 的量级。 这无疑是荒谬的， 因为我们知道， 氢原子的能级在 eV 量级， 原子核的能级在 MeV (即 10⁶ eV) 量级， 电弱统一的能区在 10² GeV (即 10¹¹ eV) 量级…… 量子场论在所有这些能区都得到了大量的实验验证， 因此其适用的能量范围显然远远地超出了 meV 的量级。

此外， 由于 Λ ~ R^-2， 我们还可以反过来由零点能推算出宇宙半径， 即：

R ~ Λ^-1/2 ~ M_p / M²

这一结果表明量子场论所适用的能量 M 越高， 由零点能反推出的宇宙学常数就越大， 相应的宇宙半径则越小。 据说 Wolfgang Pauli 曾做过那样的推算， 他假定量子场论所适用的距离下限为电子的经典半径 (相当于 M ~ 10⁸ eV)， 结果发觉宇宙半径竟比地球到月球的距离还小得多 (对物理学中能量与距离的换算比较熟悉的读者可以用上文介绍的推算方法验证一下 Pauli 的结果)。 如上所述， 量子场论适用的能量范围显然要比 Pauli 所假定的还高得多， 许多物理学家甚至认为它可以一直延伸到量子引力效应起作用为止——也就是 Planck 能量。 若果真如此， 则 M~M_p， 由此所得的宇宙学常数比观测结果大出 120 个数量级以上！ 相应的宇宙半径则在 Planck 长度 (约为 10^-35 m) 的量级。

这样荒谬的结果表明量子世界的零点能虽在概念上支持宇宙学常数， 在具体数值上却与观测南辕北辙。 这一结果使得人们在很长一段时间内对零点能的引力效应——即它对宇宙学常数的贡献——不得不采取 “睁一眼闭一眼” 的态度， 或者干脆予以否定。 比如刚才提到过的 Pauli 就怀疑零点能对宇宙学常数的贡献 (也难怪， 谁愿意生活在一个比地月系统还小的宇宙中呢？)， 后来苏联物理学家 Yakov Zel'dovich 等人提出零点能的最低阶效应——即我们上面的计算——对宇宙学常数没有贡献， 真正的贡献只能来自跟引力有关的高阶效应。 这些消极否定的观点就算不是 “事后诸葛”， 起码也有点 “狐狸吃不到葡萄就认为葡萄是酸的” 的意味。 零点能的一些物理效应——比如 Casmir 效应——已被实验证实， 单单否定其——或其最低阶效应——对宇宙学常数的贡献并不能够令人信服， 而且 Zel'dovich 基于高阶效应所作的计算同样与实验大相径庭 (虽然程度比最低阶效应要轻微些)。 因此零点能初看起来给了人们一点揭开宇宙学常数之谜的希望， 这点希望却很快就像肥皂泡一样破灭了——不仅破灭了， 反而产生了尖锐的矛盾。

除零点能外， 量子场论中还有一些其它效应会对真空的能量密度产生贡献， 比如粒子物理标准模型中的 Higgs 势， 量子色动力学 (QCD) 中的手征凝聚 (chiral condensation) 等^[注三]， 这些贡献与实验结果的比较也有几十个数量级的出入， 同样令人失望。

很明显， 在这些来自微观世界的有关宇宙学常数物理起源的线索中还缺了些东西。

缺了的究竟是什么呢？

五. 超对称

宇宙学常数与量子场论的零点能之间所存在的尖锐矛盾， 早年曾引起过包括 Niels Bohr、 Werner Heisenberg 和 Pauli 在内的许多著名物理学家的注意， 不过在总体上并未对物理学界造成太大的困扰。 这一来是因为物理学家们很清楚自己对许多东西还知道得太少， 许多问题——尤其是将量子与引力联系在一起的问题——的解决时机还未成熟。 二来也是因为在很长一段时间里宇宙学常数本身的名份——如我们在前文中所述——还不怎么正， 所谓 “名不正则言不顺”， 大家也就没把它太当回事。 时间过去了几十年， 到了 20 世纪 70 年代， 情况发生了一些变化， 一种新的对称性——超对称——在物理学中诞生了。

我们知道， 基本粒子按照自旋的不同可分为两大类： 自旋为整数的粒子被称为玻色子 (boson)， 自旋为半整数的粒子被称为费米子 (fermion)。 这两类粒子的基本性质截然不同， 然而超对称却可以将这两类粒子联系起来——而且是能做到这一点的唯一的对称性。 对超对称的研究起源于 20 世纪 70 年代初期， 当时 P. Ramond、 A. Neveu、 J. H. Schwarz、 J. Gervais、 B. Sakita 等人在弦模型 (后来演化成超弦理论) 中、 Y. A. Gol'fand 与 E. P. Likhtman 在数学物理中， 分别提出了带有超对称色彩的简单模型。 1974 年， J. Wess 和 B. Zumino 将超对称运用到了四维时空中， 这一年通常被视为超对称诞生的年份^[注四]。

在超对称理论中， 每种基本粒子都有一种被称为超对称伙伴 (Superpartner) 的粒子与之匹配， 超对称伙伴的自旋与原粒子相差 1/2 (也就是说玻色子的超对称伙伴是费米子， 费米子的超对称伙伴是玻色子)， 两者质量相同， 各种耦合常数间也有着十分明确的关联。 超对称自提出到现在已经几十年了， 在实验上却不仅始终未能观测到任何一种已知粒子的超对称伙伴， 甚至于连确凿的间接证据也没能找到。 但即便如此， 超对称在理论上的非凡魅力仍使得它在理论物理中的地位有增无减。 今天几乎在物理学的所有前沿领域中都可以看到超对称的踪影。 一个具体的理论观念， 在完全没有实验支持的情况下生存了几十年， 而且生长得枝繁叶茂、 花团锦簇， 这在理论物理中是不多见的。 它一旦被实验证实所将引起的轰动是不言而喻的——或者用 Steven Weinberg (电弱统一理论的提出者之一) 的话说， 将是 “纯理论洞察力的震撼性成就”。 当然反过来， 它若不幸被否证， 其骨牌效应也将是灾难性的， 理论物理的很多领域都将哀鸿遍野。

超对称在理论上之所以有非凡魅力， 其源泉之一乃是在于玻色子与费米子在物理性质上的互补。 在一个超对称理论中， 这种互补性可以被巧妙地用来解决高能物理中的一些棘手问题。 比如标准模型中著名的等级问题 (hierarchy problem)， 即为什么在电弱统一能标与大统一或 Planck 能标之间有高达十几个数量级的差别^[注五]？ 超对称在理论上的另一个美妙的性质是普通量子场论中大量的发散结果在超对称理论中可以被超对称伙伴的贡献所消去， 因而超对称理论具有十分优越的重整化性质。

关于超对称的另外一个非常值得一提的特点是， 它虽然没有实验证据， 却有一个来自大统一理论 (GUT) 的 “理论证据”。 长期以来物理学家们一直相信在很高的能量 (即大统一能标， 约为 10¹⁵ - 10¹⁶ GeV) 下， 微观世界的基本相互作用——强相互作用、 弱相互作用和电磁相互作用——可以被统一在一个单一的规范群下， 这样的理论被称为大统一理论。 大统一理论成立的一个前提是强相互作用、 弱相互作用和电磁相互作用的耦合常数在大统一能标上彼此相等， 这一点在理论上是可以核验的。 但核验的结果却令人沮丧： 在标准模型框架内， 上述耦合常数在任何能标上都不会彼此相等。 这表明标准模型与大统一理论的要求是不相容的， 这对大统一理论是一个沉重打击， 也是对物理学家们追求统一的信念的沉重打击。 超对称的介入给大统一理论提供了新的希望， 因为计算表明， 在对标准模型进行超对称化后， 那些耦合常数可以在高能下非常漂亮地汇聚到一起。 这一点不仅给大统一理论提供了希望， 也反过来增强了物理学家们对超对称的信心——虽然它只是一个理论证据， 而且还得加上引号， 因为这一 “理论证据” 说到底只是建立在物理学家们对大统一的信念之上才成之为证据的。

超对称理论的出现极大地改变了理论物理的景观， 也给宇宙学常数问题的解决带来了新的希望。

这一线希望在于玻色子与费米子的零点能正是两者物理性质互补的一个例子， 因为玻色子的零点能是正的， 费米子的零点能却是负的。 当然， 这一点在标准模型中也成立， 只不过标准模型中的玻色子与费米子参数迥异， 自由度数也不同， 因此这种互补性并不能对零点能的计算起到有效的互消作用。 但超对称理论中的玻色子与费米子的参数及自由度数都是严格对称的， 因此两者的零点能将会严格互消——而且非独零点能如此， 其它对真空能量有贡献的效应也都如此。 事实上， 在严格的超对称理论中可以证明真空的能量密度——从而宇宙学常数——为零。

假如时间退回到十几年前 (那时还没有宇宙学常数不为零的确凿证据)， 宇宙学常数为零不失为一个令人满意的结果， 可惜时过境迁， 现在我们对这一结果却是双重的不满意。 因为我们现在认为宇宙学常数并不为零， 因此对宇宙学常数为零的结果已不再满意。 另一方面， 实验物理学家们辛辛苦苦做了许多年的实验， 试图发现超对称粒子 (顺便拿下诺贝尔奖)， 结果却一个也没找到， 因此现实世界根本就不是超对称的， 从而我们对以严格的超对称理论为基础的证明本身也并不满意 (这后一个不满意放在十几年前也成立)。

读者可能会奇怪， 既然实验不仅未能证实， 反而已经否定了超对称， 物理学家们为什么还要研究超对称？ 而且还研究得有滋有味、 乐此不疲？ 那是因为物理学上有许多对称性破缺机制可以协调这一 “矛盾”， 一种对称性可以在高能下存在， 却在低能下破缺。 标准模型本身——确切地说是其中的电弱统一理论——便是运用对称性破缺机制的一个精彩范例。 物理学家们心中的超对称也一样， 严格的超对称只存在于足够高的能量下， 低能区的超对称是破缺的。 因此前面关于宇宙学常数为零的证明必须针对超对称的破缺而加以修正。 可惜的是， 这一修正之下原先的双重不满意虽然可以消除， 原先受严格的超对称管束而销声匿迹的种种 “不良” 效应却也通通卷土重来。 宇宙学常数虽可以不再为零， 却又被大大地矫枉过正， 可谓是 “前门拒虎， 后门进狼”。

那么考虑到超对称破缺后的宇宙学常数究竟有多大呢？ 这取决于超对称在什么能量上破缺， 目前的看法是对标准模型来说超对称的破缺应该发生在 TeV (即 10¹² eV) 能区。 这相当于在前面提到的零点能密度的计算中令 M~TeV (因为虽然量子场论本身的适用范围远远高于 TeV， 但 TeV 以上的零点能被超对称消去了)， 由此所得的宇宙学常数约为 ρ ~ (TeV)⁴/M_p²。 这一结果比观测值大了约 60 个数量级 (由此对应的宇宙半径在毫米量级)， 比不考虑超对称时的 120 个数量级略微好些， 却也不过是 “五十步笑百步” 而已， 两者显然同属物理学上最糟糕的理论拟合之列。

连锐气逼人的超对称都败下阵来了， 我们还有希望吗？ 本文的 下篇 将做进一步讨论。

>> 接下篇

注释

1. 假如我们对广义相对论场方程的形式作更严格的限定， 即限定它不仅与 Poisson 方程一样为二阶方程， 而且与后者一样只含二阶导数， 或者限定其弱场近似严格等同于 Poisson 方程， 则宇宙学项将不会出现。 但在推广一个理论时是否有必要如此严格地模仿旧理论的结构是大可商榷的。
2. 细心的读者也许注意到了， Λ~R^-2 正是 第一节 中提到的 Einstein 静态宇宙模型中宇宙半径与宇宙学常数之间的关系式 (只不过 "=" 变成了表示数量级关系的 "~")。 这不是偶然的， 因为这一近似关系式适用于所有宇宙学常数为正， 且其贡献与普通物质可以比拟的宇宙模型。
3. 从这个意义上讲， 本节的标题换成 “真空能” 要比 “零点能” 更准确， 因为零点能只是真空能的一部分。 不过后面我们会看到， (依照本文所介绍的理论) 零点能扮演的角色才是真正关键的， 因此我们以它为标题。
4. 值得注意的是， Gol'fand 及 Likhtman 的工作其实已经将超对称运用到了四维时空中， 且比 Wess 和 Zumino 的工作早了三年， 可惜这一工作就像前苏联的其它许多开创性工作一样， 鲜为西方世界所知， 从而只落得个 “此情可待成追忆”。
5. 这一点之所以成为问题， 是因为在标准模型中 Higgs 质量平方的重整化修正是平方发散而非对数发散的， 这种情形下 Higgs 场——以及由 Higgs 场所确定的其它粒子——的 “自然” 能标应该由大统一或 Planck 能标所确定， 而非比后者低十几个数量级的实验观测值。 不过需要提醒读者的是， 这一类的问题是所谓的 “自然性” 问题 (naturalness problem)， 是现有理论显得不够自然的地方， 而不是像实验反例那样无法解决的 “硬伤”。

参考文献

1. S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (III) (Cambridge University Press, 2000).
2. J. A. Bagger (ed), Supersymmetry, Supergravity and Supercolliders - TASI 97 (World Scientific, 1999).

二零零三年九月九日写于纽约
二零零三年九月九日发表于本站
https://www.changhai.org/

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