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实数都是代数方程的根吗？
- 《十万个为什么 • 数学卷》词条 -
- 卢昌海 -
读者们大都在学校里学过解方程， 其中解得最多的就是所谓代数方程， 比如 3x - 1 = 0，
x2 + 2x - 8 = 0， 等等。
这些方程的一个主要特点， 就是每一个包含未知数的项都只包含未知数的正整数次幂。 除此之外，
代数方程还有一个很重要的特点， 那就是项的数目是有限的。
科学人
法国数学家刘维尔 (Joseph Liouville) 是最早证明超越数存在的数学家。 他于 1844
年给出了超越数存在的证明， 并于 1851 年具体构造出了用十进位小数表示的超越数。
刘维尔在数学及数学物理的某些其它领域也颇有成就。
刘维尔所构造的超越数抽象意义大于实用意义。
更具实用意义的超越数， 最早是由法国数学家厄密
(Charles Hermite) 证明的。 他于 1873 年证明了 e 是超越数。
厄密也在其它领域颇有贡献， 许多数学及数学物理的术语是以他名字命名的。
另一位在超越数研究上作出过知名贡献的是德国数学家林德曼 (Ferdinand von Lindemann)。
他于 1882 年证明了 π 是超越数。 林德曼在数学上没有太多其它贡献， 但他有几位极著名的学生，
比如著名数学家希尔伯特 (David Hilbert) 和闵科夫斯基 (Hermann Minkowski)，
著名物理学家索末菲 (Arnold Sommerfeld) 等。
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现在， 我们要回答这样一个问题： 实数都是代数方程的根吗？ 不过， 仅凭上面的定义，
这个问题是简单得毫无意义的， 因为所有实数 r 显然都是代数方程 x - r = 0 的根，
因此答案是肯定的。 为了让问题有一定难度， 我们要对上面的定义加一个限制，
那就是每一项的系数 (包括常数项) 都只能是有理数。 加上这一限制后的代数方程确切地讲应称为
“有理数域上的代数方程”， 不过为简洁起见， 我们仍将称其为
“代数方程”[注一]。
现在让我们重新来回答 “实数都是代数方程的根吗？” 这一问题。
首先很明显的是， 所有有理数 q 都是代数方程 x - q = 0 的根。 其次，
学过一元二次方程的读者都知道， 虽然所有系数都被限制为有理数，
代数方程的根却不一定是有理数。 比如 x2 - 2 = 0 的两个根，
√2 和 -√2， 就是无理数。
因此， 代数方程的根既可以是有理数， 也可以是无理数， 从而至少在表面上具备了表示所有实数的潜力。
但有潜力不等于能做到， 关键得要有证明。 最早对 “实数都是代数方程的根吗？”
这一问题作出回答并给于证明的是法国数学家刘维尔， 他不仅证明了某些实数不是任何代数方程的根，
而且还具体构造出了那样的实数， 从而以最雄辩的方式给出了答案——否定的答案。
现在我们知道， 有很多重要的实数， 比如自然对数的底 e， 圆周率 π， 等， 都不是代数方程的根。
为了便于表述， 数学家们把能够用代数方程的根来表示的数称为代数数，
把不能用代数方程的根来表示的数称为超越数。 实数既包含代数数， 也包含超越数。
有理数与 √2 是代数数的例子；
e 和 π 则是超越数的例子。 我们的问题用这一新术语可以重新表述为：
实数都是代数数吗？ 答案则如上所述是否定的。
微博士
刘维尔对超越数存在的证明并不只是构造出少数几个特殊的超越数，
而是证明了一大类实数都是超越数。 为了纪念他的贡献， 那一大类实数被统称为了刘维尔数。
可以证明， 单刘维尔数这一种类型的超越数， 就远比代数数多。 不过， 跟超越数的全体相比，
刘维尔数依然只是凤毛鳞角。
刘维尔数最初是用连分数来表示的。 第一个用十进位小数表示的刘维尔数
(也是第一个用十进位小数表示的超越数) 是 0.110001000…… (小数点后面的数字规律是这样的：
小数点后第 n!——即 n 的阶乘——位的数字为 1， 其余的数字全都为零)。
这个数通常被称为刘维尔常数， 但有时候也被称为刘维尔数，
虽然它其实只是无穷多个刘维尔数中的一个。
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不过， 答案虽然揭晓了， 找到或证明一个具体的超越数却往往不是容易的事情。
比如对 e 和 π (尤其是 π) 是超越数的证明就费了数学家们不小的气力。 而像 e + π
和 e - π 那样的简单组合是否是超越数， 则直到今天也还是谜。
接下来我们还可以问一个问题， 那就是代数数多还是超越数多？ 从构造和证明超越数如此困难来看，
也许很多读者会猜测是代数数多。 事实却恰恰相反。 1874 年，
德国数学家康托证明了超越数远比代数数多 (这里所涉及的是无穷集合元素数目的比较，
感兴趣的读者可参阅拙作 无穷集合可以比较吗？)。 事实上，
他证明了实数几乎全都是超越数！
超越数的存在不仅仅具有抽象的分类意义， 而且可以解决一些具体的数学问题。 比如， 几何中的 “尺规作图”
方法所能作出的线段的长度——相对于给定的单位长度——可被证明为只能是代数数[注二]。
因此 π 是超越数这一看似只具有抽象分类意义的结果， 直接证明了困扰数学家们多年的
“尺规作图三大难题” 之一的 “化圆为方” 是不可能办到的。
最后， 我们要补充提到的是， 代数方程的根既可能是实数， 也可能是复数。
相应地， 代数数和超越数这两个概念也适用于复数， 并且与实数域中的情形类似，
复数也并不都是代数数 (事实上， 复数也几乎全都是超越数)。
二零一二年三月十九日写于纽约
二零一二年六月十八日发表于本站
https://www.changhai.org/
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