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为什么说黎曼猜想是最重要的数学猜想？
- 《十万个为什么 • 数学卷》词条 -
- 卢昌海 -
1900 年的一个夏日， 两百多位最杰出的数学家在法国巴黎召开了一次国际数学家大会。
会上， 著名德国数学家希尔伯特作了一次题为 “数学问题” 的重要演讲。
在演讲中， 他列出了一系列在他看来最重要的数学难题。
那些难题吸引了众多数学家的兴趣， 并对数学的发展产生了深远影响。
一百年后的 2000 年， 美国克雷数学研究所的数学家们也在法国巴黎召开了一次数学会议。
会上， 与会者们也列出了一些在他们看来最重要的数学难题。 他们的声望虽无法与希尔伯特相比，
但他们做了一件希尔伯特做不到的事情： 为每个难题设立了一百万美元的巨额奖金。
科学人
黎曼猜想是一位名叫黎曼 (Bernhard Riemann) 的数学家提出的。
黎曼是一位英年早逝的德国数学家， 出生于 1826 年， 去世于 1866 年， 享年还不到 40 岁。
黎曼的一生虽然短暂， 却对数学的很多领域都做出了巨大贡献， 影响之广甚至波及到了物理。
比如以他名字命名的 “黎曼几何” 不仅是重要的数学分支，
而且成为了爱因斯坦 (Albert Einstein) 创立广义相对论不可或缺的数学工具。
1859 年， 32 岁的黎曼被选为了柏林科学院的通信院士。 作为对这一崇高荣誉的回报，
他向柏林科学院提交了一篇题为 “论小于给定数值的素数个数” 的论文。
那篇只有短短八页的论文就是黎曼猜想的 “诞生地”。
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这两次遥相呼应的数学会议除了都在法国巴黎召开外， 还有一个令人瞩目的共同之处，
那就是在所列出的难题之中， 有一个——并且只有一个——是共同的。
这个难题就是黎曼猜想， 它被很多数学家视为是最重要的数学猜想。
为什么说黎曼猜想是最重要的数学猜想呢？ 是因为它非常艰深吗？ 不是。 当然，
黎曼猜想确实是非常艰深的，
它自问世以来， 已经有一个半世纪以上的历史。 在这期间， 许多知名数学家付出了艰辛的努力，
试图解决它， 却迄今没有人能够如愿。 但是， 如果仅仅用艰深来衡量的话，
那么其它一些著名数学猜想也并不逊色。 比如费尔玛猜想是经过三个半世纪以上的努力才被证明的；
哥德巴赫猜想则比黎曼猜想早了一个多世纪就问世了， 却跟黎曼猜想一样迄今屹立不倒。
这些纪录无疑也都代表着艰深， 而且是黎曼猜想也未必打得破的。
那么， 黎曼猜想被称为最重要的数学猜想， 究竟是什么原因呢？
首要的原因是它跟其它数学命题之间有着千丝万缕的联系。 据统计，
在今天的数学文献中已经有一千条以上的数学命题是以黎曼猜想 (或其推广形式) 的成立为前提的。
这表明黎曼猜想及其推广形式一旦被证明， 对数学的影响将是十分巨大的，
所有那一千多条数学命题就全都可以荣升为定理；
反之， 如果黎曼猜想被推翻， 则那一千多条数学命题中也几乎无可避免地会有一部分成为陪葬。
一个数学猜想与为数如此众多的数学命题有着密切关联， 这在数学中可以说是绝无仅有的。
微博士
黎曼猜想的内容无法用完全初等的数学来描述。 粗略地说， 它是针对一个被称为黎曼 ζ
函数的复变量函数 (即变量与函数值都可以在复数域中取值的函数) 的猜想。 黎曼 ζ
函数跟许多其它函数一样， 在某些点上的取值为零，
那些点被称为黎曼 ζ 函数的零点。 在那些零点中， 有一部分特别重要的被称为黎曼
ζ 函数的非平凡零点。
黎曼猜想所猜测的是那些非平凡零点全都分布在一条被称为 “临界线” 的特殊直线上。
黎曼猜想直到今天仍然悬而未决 (即既没有被证明， 也没有被推翻)。 不过，
数学家们已经从分析和数值计算这两个不同方面入手， 对它进行了深入研究。 截至本文写作之时，
在分析方面所取得的最强结果是证明了至少有 40% 的非平凡零点位于临界线上；
而数值计算方面所取得的最强结果则是验证了前十万亿个非平凡零点全都位于临界线上。
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其次， 黎曼猜想与数论中的素数分布问题有着密切关系。 而数论是数学中一个极重要的传统分支，
被德国数学家高斯称为是 “数学的皇后”。
素数分布问题则又是数论中极重要的传统课题， 一向吸引着众多数学家的兴趣。
这种深植于传统的 “高贵血统” 也在一定程度上增加了黎曼猜想在数学家们心中的地位和重要性。
再者， 一个数学猜想的重要性还有一个衡量标准，
那就是在研究该猜想的过程中能否产生出一些对数学的其它方面有贡献的结果。
用这个标准来衡量， 黎曼猜想也是极其重要的。 事实上，
数学家们在研究黎曼猜想的过程中所取得的早期成果之一，
就直接导致了有关素数分布的一个重要命题——素数定理——的证明。
而素数定理在被证明之前， 本身也是一个有着一百多年历史的重要猜想。
最后， 并且最出人意料的， 是黎曼猜想的重要性甚至越出了纯数学的范围， 而 “侵入”
到了物理学的领地上。 20 世纪 70 年代初， 人们发现与黎曼猜想有关的某些研究，
居然跟某些非常复杂的物理现象有着显著关联。 这种关联的原因直到今天也还是一个谜。
但它的存在本身， 无疑就进一步增加了黎曼猜想的重要性。
有这许多原因， 黎曼猜想被称为最重要的数学猜想是当之无愧的。
二零一二年三月十三日写于纽约
二零一二年五月二十二日发表于本站
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