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Riemann 猜想漫谈 (五)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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六. 错钓的大鱼

在 Riemann 的论文发表之后的最初二、 三十年时间里， 他所开辟的这一领域显得十分冷清， 没有出现任何重大进展。 如果把 Riemann 论文的全部内涵比做山峰的话， 那么在最初这二、 三十年时间里， 数学家们还只在从山脚往半山腰攀登的路上， 只顾着星夜兼程、 埋头赶路。 那高耸入云的山颠还笼罩在一片浓浓的雾霭之中， 正所谓高处不胜寒。 但到了 1885 年， 在这场沉闷的登山之旅中却爆出了一段惊人的插曲： 有人忽然声称自己已经登顶归来！

这个人叫做 Thomas Stieltjes (1856-1894)， 是一位荷兰数学家。 1885 年， 这位当时年方 29 岁的年青数学家在巴黎科学院发表了一份简报， 声称自己证明了以下结果：

M(N) ≡ Σ_n<Nμ(n) = O(N^1/2)

这里的 μ(n) 是我们在 第四节 末尾提到过的 Möbius 函数， 由它的求和所给出的函数 M(N) 被称为 Mertens 函数 (Mertens function)。 这个命题看上去倒是面善得很： Möbius 函数 μ(n) 不过是一个整数函数， 其定义虽有些琐碎， 却也并不复杂， 而 Mertens 函数 M(N) 不过是对 μ(n) 的求和， 证明它按照 O(N^1/2) 增长似乎不像是一件太困难的事情。 但这个其貌不扬的命题事实上却是一个比 Riemann 猜想更强的结果！ 换句话说， 证明了上述命题就等于证明了 Riemann 猜想 (但反过来则不然， 否证了上述命题并不等于否证了 Riemann 猜想)。 因此 Stieltjes 的简报意味着声称自己证明了 Riemann 猜想。

虽然当时 Riemann 猜想还远没有像今天这么热门， 消息传得也远没有像今天这么飞快， 但有人证明了 Riemann 猜想仍是一个非同小可的消息。 别的不说， 证明了 Riemann 猜想就意味着证明了素数定理， 而后者自 Gauss 等人提出以来折磨数学家们已近一个世纪之久， 却仍未得到证明。 与在巴黎科学院发表简报几乎同时， Stieltjes 给当时法国数学界的一位重量级人物 Charles Hermite (1822-1901) 发去了一封信件， 重复了这一声明。 但无论在简报还是在信件中 Stieltjes 都没有给出证明， 他说自己的证明太复杂， 需要简化。

换作是在今天， 一位年青数学家开出这样一张空头支票， 是很难引起数学界的任何反响的。 但是十九世纪的情况有所不同， 因为当时学术界常有科学家做出成果却不公布 (或只公布一个结果) 的事， Gauss 和 Riemann 都是此道中人。 因此像 Stieltjes 那样声称自己证明了 Riemann 猜想， 却不给出具体证明， 在当时并不算离奇。 学术界对之的反应多少有点像现代西方法庭所奉行的无罪推定原则， 即在出现相反证据之前倾向于相信声明成立。

但相信归相信， 数学当然是离不开证明的， 而一个证明要想得到最终的承认， 就必须公布细节、 接受检验。 因此大家就期待着 Stieltjes 发表具体的证明， 其中期待得最诚心实意的当属接到 Stieltjes 来信的 Hermite。 Hermite 自 1882 年起就与 Stieltjes 保持着通信关系， 直至十二年后 Stieltjes 过早地去世为止。 在这期间两人共交换过 432 封信件。 Hermite 是当时复变函数论的大家之一， 他与 Stieltjes 的关系堪称数学史上一个比较奇特的现象。 Stieltjes 刚与 Hermite 通信时还只是 Leiden 天文台 (Leiden Observatory) 的一名助理， 而且就连这个助理的职位还是靠了他父亲 (Stieltjes 的父亲是荷兰著名的工程师兼国会成员) 的关照才获得的。 在此之前他在大学里曾三度考试失败。 好不容易 “拉关系、 走后门” 进了天文台， Stieltjes 却 “身在曹营心在汉”， 手上干着天文观测的活， 心里惦记的却是数学， 并且给 Hermite 写了信。 照说当时一无学位、 二无名声的 Stieltjes 要引起像 Hermite 那样的数学元老的重视是不容易， 甚至不太可能的。 但 Hermite 是一位虔诚的天主教徒， 他恰巧对数学怀有一种奇特的信仰， 他相信数学存在是一种超自然的东西， 寻常的数学家只是偶尔才有机会了解数学的奥秘。 那么， 什么样的人能比 “寻常的数学家” 更有机会了解数学的奥秘呢？ Hermite 凭着自己的神秘主义眼光找到了一位， 那就是默默无闻的观星之人 Stieltjes。 Hermite 认为 Stieltjes 具有上帝所赐于的窥视数学奥秘的眼光， 他对之充满了信任。 在他与 Stieltjes 的通信中甚至出现过 “你总是对的， 我总是错的” 那样极端的赞许。 在这种奇特信仰与十九世纪数学氛围的共同影响下， Hermite 对 Stieltjes 的声明深信不疑。

但无论 Hermite 如何催促， Stieljes 始终没有公布他的完整证明。 一转眼五年过去了， Hermite 对 Stieljes 依然 “痴心不改”， 他决定向对方 “诱之以利”。 在 Hermite 的提议下， 法国科学院将 1890 年数学大奖的主题设为 “确定小于给定数值的素数个数”。 这个主题读者们想必有似曾相识的感觉， 是的， 它跟我们前面刚刚介绍过的 Riemann 那篇论文的题目十分相似。 事实上， 该次大奖的目的就是征集对 Riemann 那篇论文中提及过却未予证明的某些命题的证明 (这一点明确写入了征稿要求之中)。 至于那命题本身， 则既可以是 Riemann 猜想， 也可以是其它命题， 只要其证明有助于 “确定小于给定数值的素数个数” 即可。 在如此灵活的要求下， 不仅证明 Riemann 猜想可以获奖， 就是证明比 Riemann 猜想弱得多的结果——比如素数定理——也可以获奖。 在 Hermite 看来， 这个数学大奖将毫无悬念地落到 Stieljes 的腰包里， 因为即便 Stieljes 对 Riemann 猜想的证明仍然 “太复杂， 需要简化”， 他依然能通过发表部分结果或较弱的结果而领取大奖。

可惜直至大奖截止日期终了， Stieljes 依然毫无动静。

但 Hermite 也并未完全失望， 因为他的学生 Hadamard 提交了一篇论文， 领走了大奖——肥水总算没有流入外人田。 Hadamard 获奖论文的主要内容正是我们在 上节 中提到过的对 Riemann 论文中辅助函数 ξ(s) 的连乘积表达式的证明。 这一证明虽然不仅不能证明 Riemann 猜想， 甚至离素数定理的证明也还有一段距离， 却仍是一个足可获得大奖的进展。 几年之后， Hadamard 再接再励， 终于一举证明了素数定理。 Hermite 放出去的这根长线虽未能如愿钓到 Stieljes 和 Riemann 猜想， 却错钓上了 Hadamard 和素数定理， 斩获亦是颇为丰厚 (素数定理的证明在当时其实比 Riemann 猜想的证明更令数学界期待)。

那么 Stieljes 呢？ 没听过这个名字的读者可能会觉得他是一个浮夸无为的家伙， 事实却不然。 Stieljes 在分析与数论的许多方面都做出过重要贡献。 他在连分数方面的研究为他赢得了 “连分数分析之父” 的美誉； 挂着他名字的 Riemann–Stieltjes 积分 (Riemann–Stieltjes integral) 更是将他与 Riemann 的大名联系在了一起 (不过两人之间并无实际联系——Riemann 去世时 Stieljes 才十岁)。 但他那份 Hardy 明信片式的有关 Riemann 猜想的声明却终究没能为他赢得永久的悬念。 现在数学家们普遍认为 Stieljes 所宣称的关于 M(N)=O(N^1/2) 的证明即便有也是错误的。 不仅如此， 就连命题 M(N)=O(N^1/2) 本身的成立也已受到了越来越多的怀疑^[注一]。

七. 从零点分布到素数定理

素数定理自 Gauss 与 Legendre 以经验公式的形式提出 (详见 第三节) 以来， 许多数学家对此做过研究。 其中一个比较重要的结果是由俄国数学家 Pafnuty Chebyshev (1821-1894) 做出的。 早在 1850 年， Chebyshev 就证明了对于足够大的 x， 素数分布 π(x) 与素数定理给出的分布 Li(x) 之间的相对误差不会超过 11%^[注二]。

但在 Riemann 1859 年的研究以前， 数学家们对素数分布的研究主要局限在实分析手段上。 从这个意义上讲， 即使撇开具体的结果不论， Riemann 建立在复变函数之上的研究仅就其方法而言， 也是对素数分布研究的重大突破。 这一方法上的突破为素数定理的最终证明铺平了道路^[注三]。

在 第五节 的末尾我们曾经提到， Riemann 对素数分布的研究之所以没能直接导致素数定理的证明， 是因为人们对 Riemann ζ 函数非平凡零点的分布还知道得太少。 那么， 为了证明素数定理， 我们起码要知道多少有关 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的信息呢？ 这一问题的答案到了 1895 年随着 von Mangoldt 对 Riemann 论文的深入研究而变得明朗起来。 von Mangoldt 的研究我们在 第五节 中已经提到过， 正是他证明了 Riemann 关于 J(x) 的公式。 但 von Mangoldt 那项研究的价值比仅仅证明 Riemann 关于 J(x) 的公式要深远得多。

von Mangoldt 在研究中使用了一个比 Riemann 的 J(x) 更简单有效的辅助函数 Ψ(x)， 它的定义为：

Ψ(x) = Σ_n<xΛ(n)

其中 Λ(n) 被称为 von Mangoldt 函数 (von Mangoldt function)， 它对于 n=p^k (p 为素数， k 为自然数) 取值为 ln(p)； 对于其它 n 取值为 0。 运用 Ψ(x)， von Mangoldt 证明了一个本质上与 Riemann 关于 J(x) 的公式相等价的公式：

Ψ(x) = x - Σ_ρ(x^ρ/ρ) - (1/2)ln(1-x^-2) - ln(2π)

其中有关 ρ 的求和与 Riemann 的 J(x) 中的求和一样， 也是先将 ρ 与 1-ρ 配对， 再依 Im(ρ) 从小到大的顺序进行。

很明显， von Mangoldt 的 Ψ(x) 表达式比 Riemann 的 J(x) 简单多了。 时至今日， Ψ(x) 在解析数论的研究中差不多已完全取代了 Riemann 的 J(x)。 引进 Ψ(x) 的另一个重大好处是早在几年前， 上文提到的 Chebyshev 就已经证明了素数定理 π(x) ~ Li(x) 等价于 Ψ(x) ~ x。 为了纪念 Chebyshev 的贡献， von Mangoldt 函数也被称为第二 Chebyshev 函数 (second Chebyshev function)。

将这一点与 von Mangoldt 有关 Ψ(x) 的那个本质上与 Riemann 关于 J(x) 的公式相等价的公式联系在一起， 不难看到素数定理成立的条件是 lim_x→∞Σ_ρ(x^ρ-1/ρ)=0。 这一条件启示我们考虑 x^ρ-1 在 x→∞ 时趋于零的情形。 而要让 x^ρ-1 在 x→∞ 时趋于零， Re(ρ) 必须小于 1。 换句话说 Riemann ζ 函数在直线 Re(s)=1 上必须没有非平凡零点。 这就是我们为证明素数定理而必须知道的有关 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的信息^[注四]。 由于 Riemann ζ 函数的非平凡零点是以 ρ 与 1-ρ 成对的方式出现的， 因此这一信息等价于 0<Re(ρ)<1。

读者们大概还记得， 在 第五节 中我们曾经提到过 (证明参阅 附录一)， Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于 0≤Re(s)≤1 的区域内。 因此为了证明素数定理， 我们所需知道的有关 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的信息要比我们已知的 (也是当时数学家们已知的) 略多一些 (但仍大大少于 Riemann 猜想所要求的)。 这样， 在经过了 Chebyshev、 Riemann、 Hadamard 和 von Mangoldt 等人的卓越努力之后， 我们离素数定理的证明终于只剩下了最后一小步： 即把已知的零点分布规律中那个小小的等号去掉^[注五]。 这一小步虽也绝非轻而易举， 却已难不住在 Riemann 峰上攀登了三十几个年头， 为素数定理完整证明的到来等待了一个世纪的数学家们。 von Mangoldt 的结果发表后的第二年 (即1896 年)， Hadamard 与 Vallée-Poussin 就几乎同时独立地给出了对这最后一小步的证明， 从而完成了自 Gauss 以来数学界的一个重大心愿。 那时 Stieljes 已经去世两年了^[注六]。

经过素数定理的证明， 人们对于 Riemann ζ 函数非平凡零点分布的了解又推进了一步， 那就是证明了 Riemann ζ 函数的所有非平凡零点都位于复平面上 0<Re(s)<1 的区域内。 在 Riemann 猜想的研究中数学家们把这个区域称为临界带 (critical strip)。

素数定理的证明——尤其是以一种与 Riemann 的论文如此密切相关的方式所实现的证明——让数学界把更多的注意力放到了 Riemann 猜想上来。 四年后 (即 1900 年) 的一个夏日， 两百多位当时最杰出的数学家会聚到了巴黎， 一位 38 岁的德国数学家走上了讲台， 作了一次永载数学史册的伟大演讲。 演讲的题目叫做 “数学问题”， 演讲者的名字叫做 David Hilbert (1862-1943)， 他恰好来自 Gauss 与 Riemann 的学术故乡——群星璀灿的 Göttingen 大学。 他是 Göttingen 数学精神的伟大继承者， 一位与 Gauss 及 Riemann 齐名的数学巨匠。 Hilbert 在演讲稿中列出了二十三个对后世产生深远影响的数学问题， Riemann 猜想被列为其中第八个问题的一部分， 从此成为整个数学界瞩目的难题之一。

二十世纪的数学大幕在 Hilbert 的演讲声中徐徐拉开， Riemann 猜想也迎来了一段新的百年征程。

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注释

1. 这是因为比 M(N)=O(N^1/2) 稍强、 被称为 Mertens 猜想 (Mertens conjecture) 的命题： M(N)<N^1/2 已于 1985 年被 Andrew Odlyzko (1949-) 与 Herman te Riele (1947-) 所否证。 受此影响， 目前数学家们倾向于认为 M(N)=O(N^1/2) 也并不成立， 不过到目前为止还没人能够证明 (或否证) 这一点。
2. 比这更早一些， Chebyshev 还证明了： 如果 lim_x→∞ {π(x)/[x/ln(x)]} 存在， 它必定等于 1。 Chebyshev 的研究对于 Riemann 的研究及后来人们对素数定理的证明都有影响。
3. 复变函数方法在证明素数定理中所起的作用是如此之巨大， 以至于一度有人认为素数定理不存在初等证明 (elementary proof)——即不用复变函数方法的证明。 不过这一点在 1949 年被挪威数学家 Atle Selberg (1917-2007) 与匈牙利数学家 Paul Erdős (1913-1996) 所推翻， 他们找到了素数定理的初等证明。 在他们之后， 更多的初等证明被陆续发现。
4. 不过由于所处理的是无穷级数， 对这一点的严格证明并不是轻而易举的。
5. 这也正是我们在 第五节 中提到的 Riemann 在计算 J(x) 的过程中对与零点有关的级数的单项进行积分时隐含 (或者说遗漏) 的条件。
6. 但即便如此， Hadamard 在发表他的结果时仍谦虚地表示， 他之所以发表有关 Riemann ζ 函数在 Re(s)=1 上没有零点的证明， 是因为 Stieljes 有关半平面 Re(s)>1/2 上没有零点的证明尚未发表， 并且那一证明可能要困难得多。

二零零四年一月二十四日写于纽约
二零零四年一月二十四日发表于本站
二零一二年一月二十七日最新修订
https://www.changhai.org/

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