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Riemann 猜想漫谈 (八)
- 卢昌海 -
If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem -
what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.
- H. Montgomery
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十二. 休闲课题：围捕零点
时下流行一种休闲方式叫做 DIY (Do It Yourself)， 讲究自己动手做一些原本只有工匠才做的东西，
比方说自己动手做件陶器什么的。 在像我这样懒散的人看来这简直比工作还累，
可如今许多人偏偏就兴这个， 或许是领悟了负负得正 (累累得闲？) 的道理吧。
既是大势如此， 我们也乐得共襄盛举， 安排 “休闲” 一下， 让大家亲自动手用 Riemann-Siegel
公式来计算一个 Riemann ζ 函数的非平凡零点。
DIY 一般有个特点， 那就是课题本身看起来虽颇见难度， 实际做起来却通常是捡其中相对简单的来做
(以免打击休闲的积极性)。 我们计算零点也是如此， 挑其中相对简单——即容易计算——的非平凡零点来计算。
那么什么样的非平凡零点比较容易计算呢？ 显然是那些听 Riemann 的话，
乖乖躺在临界线上的——因为不在临界线上的非平凡零点即便有也绝不可能容易计算，
否则 Riemann 猜想早被推翻了。
如我们在 上节 中所见，
Riemann-Siegel 公式包含了许多计算量很大的东西， 其中最令人头疼的是求和， 因为它使计算量成倍地增加。
不过幸运的是那个求和是对 n2<(t/2π) 的自然数 n 进行的，
因此如果 t<8π≈25， 求和就只有 n=1 一项。 这显然是比较简单的，
因此我们狡猾的目光就盯在了这一区间上。 在这一区间上， Riemann-Siegel 公式简化成为：
Z(t) = 2cos[θ(t)] + R(t)
这就是我们此次围捕零点的工具。
在正式围捕之前， 我们先做一点火力侦察——粗略地估计一下猎物的位置。
我们要找的是使 Z(t) 为零的点， 直接寻找显然是极其困难的， 但我们注意到
2cos[θ(t)] (通常被称为主项) 在 θ(t)=(m+1/2)π 时为零 (m 为整数)，
这是一个不错的出发点。 由 上节 中 θ(t)
的表达式不难证明， 在所有这些使 2cos[θ(t)] 为零的 θ(t) 中， θ=-π/2 (即 m=-1)
是使 t 在 t<25 中取值最小的 (当然， 别忘了 t 是正实数)， 它所对应的 t 为 t≈14.5。
这是我们关于零点的第一个估计值。 纯以数值而论， 它还算不错， 相对误差约为百分之三。
接下来我们对这个估计值进行一次修正。 修正的理由是显而易见的， 因为 t≈14.5
时 R(t) 明显不为零。 为了计算 R(t)， 我们注意到 t≈14.5 时 (t/2π)1/2≈1.5，
因此 R(t) 中的参数 N——即 (t/2π)1/2 的整数部分——为 1，
p——即 (t/2π)1/2 的分数部分——约为 0.5。 由此可以求出 R(t) 中的第一项——即
C0(t/2π)-1/4——约为 0.3。
为了抵消这额外的 0.3， 我们需要对 t 进行修正， 使 2cos[θ(t)] 减少 0.3。
我们采用最简单的线性近似 Δt≈Δ{2cos[θ(t)]}/{2cos[θ(t)]}' 来计算这一修正值。
为此注意到 2cos[θ(t)] 在 t≈14.5 处的导数 {2cos[θ(t)]}' 为
-2θ'(t)sin[θ(t)] ≈ -2(1/2)ln(14.5/2π)sin(-π/2) ≈ 0.83。
由此可知 t 需要修正为 t+Δt ≈ 14.5-0.3/0.83 ≈ 14.14。
这个数值与零点的实际值之间的相对误差仅为万分之四。 但是需要提醒读者的是，
这种估计——无论从数值上讲多么高明——都不足以证明零点的存在， 而至多只能作为围捕零点前的火力侦察。
那么究竟怎样才能证明零点的存在呢？ 我们在 上节 中已经叙述了基本思路，
那就是通过计算 Z(t) 的符号， 如果 Z(t) 在临界线上某两点的符号相反， 就说明 Riemann ζ
函数在这两点之间存在零点。 我们上面所做的估计就是为这一计算做准备的。
现在我们就来进行这样的计算。 由于我们已经估计出在 t=14.14 附近可能存在零点，
因此我们就在 14.1≤t≤14.2 的区间上撒下一张小网。 如果我们的计算表明
Z(t) 在这一区间的两端， 即 t=14.1 与 t=14.2， 具有不同的符号， 那就证明了
Riemann ζ 函数在 t=14.1 与 t=14.2 之间存在零点[注一]。
下面我们就来进行计算：
对于 t=14.1， (t/2π)1/2≈1.498027， θ(t)≈-1.742722。
因而主项 2cos[θ(t)]≈-0.342160， 剩余项 R(t) 中 p≈0.498027，
从而其中第一项 (即 C0 项) 为 C0(t/2π)-1/4≈0.312671。
由这两部分 (即主项及剩余项中的第一项) 可得:
Z(14.1) ≈ -0.342160 + 0.312671 = -0.029489
类似地， 对于 t=14.2， (t/2π)1/2≈1.503330， θ(t)≈-1.702141。
因而主项 2cos[θ(t)]≈-0.261934， 剩余项 R(t) 中 p≈0.503330，
从而其中第一项 (即 C0 项) 为 C0(t/2π)-1/4≈0.312129。
由这两部分 (即主项及剩余项中的第一项) 可得:
Z(14.2) ≈ -0.261934 + 0.312129 = 0.050195
显然， 如我们所期望的， Z(14.1) 与 Z(14.2) 的符号相反，
这表明在 t=14.1 与 t=14.2 之间存在 Riemann ζ 函数的非平凡零点。
当然， 我们还没有考虑 C1 ~ C4 项。 这些项中带有 C0 的各阶导数，
计算起来工作量非同小可， 有违休闲的目的， 因此就只好偷点懒了。 熟悉计算软件的读者可以动用
Maple、 Matlab 或 Mathematica 之类的计算软件来算一下。 对于其他读者来说，
我们就把算得的结果直接列在下表中了 (其中包括我们手工算得的结果)：
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t=14.1
|
t=14.2
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N
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1
|
1
|
|
p
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0.498027
|
0.503330
|
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θ(t)
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-1.742722
|
-1.702141
|
|
2cos[θ(t)]
|
-0.342160
|
-0.261934
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C0 项
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0.312671
|
0.312129
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|
C1 项
|
0.000058
|
-0.000097
|
|
C2 项
|
0.001889
|
0.001872
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|
C3 项
|
0.000001
|
-0.000002
|
|
C4 项
|
0.000075
|
0.000074
|
从表格所列的结果中可以看到， 剩余项中的高阶项的贡献虽然有所起伏， 但与第一项相比在总体上是很小的。
对我们来说， 这当然是很令人欣慰的结果， 因为它表明我们手工所能计算的部分给出的贡献是主要的。
这还是 t 较小的情况， 随着 t 的增加， 由于高阶项中所含 t 的负幂次较高，
其贡献会变得越来越小[注二]。
不过要严格表述这种趋势并予以证明， 却绝非轻而易举。 事实上 Riemann-Siegel 公式作为 Z(t)
的渐近展开式， 其敛散性质与误差估计都是相当复杂的。
现在我们知道了 Riemann ζ 函数在 t=14.1 与 t=14.2 之间存在零点。 如果我们再仔细点，
注意到 Z(14.1) 与 Z(14.2) 距离 Z(t)=0 的远近之比为 0.027466:0.052042，
用线性内插法可以推测零点的位置为：
t ≈ 14.1 + (14.2 - 14.1) × 0.027466 / (0.027466 + 0.052042) ≈ 14.1345。
这与现代数值 t=14.1347 的相对偏差只有不到十万分之二！ 即使只估计到 C0 项
(这是我们自己动手所及的范围)， 其误差也只有不到万分之二 (请读者自行完成内插法计算并验证误差)。
好了， 猎物在手， 我们的简短休闲也该见好就收了。 大家是否体验到了一些成就感呢？
要知道， Riemann ζ 函数的零点可是在 Riemann 的论文发表之后隔了四十四年才有人公布计算结果的哦。
当然， 我们用了 Riemann-Siegel 公式， 但这没什么， 一个好汉三个帮嘛！ 再说了， DIY
哪有真的百分之百从头做起， 连工具设备都包括在内的？
想象一下， 如果你 DIY 出来的陶器能够把缺陷控制在万分之二以内， 那是何等的风光？
当然， 倘若你可以退回一百多年， 把这个结果抢在 Gram 之前公布一下， 那就更风光了。
在本节的最后， 还有一件可能让大家有成就感的事情要提一下。
那就是我们所用的估计零点的方法——即从使 2cos[θ(t)] 为零的点出发， 然后依据 R(t)
的数值对其进行修正[注三]， 最后再用 Z(t)
的符号变化来确定零点的存在——暗示着 Riemann ζ 函数在临界线上 0<t<T
的零点数目大致与 cos[θ(t)]
的零点数目相当。 而后者大约有 (请大家 DIY) θ(T)/π ~ (T/2π) ln(T/2π) - (T/2π) 个。
不知大家是否还记得， 这正是我们在 第五节 中介绍过的
Riemann 那三个命题中迄今无人能够证明的第二个命题！ 当然， 我们这个也不是证明
(真可惜， 否则的话， 嘿嘿……)， 但这应该使大家对我们的休闲手段之高明有所认识吧？
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二零零四年五月二十三日写于纽约
二零零四年五月二十三日发表于本站
二零一二年一月三十一日最新修订
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