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Riemann 猜想漫谈 (八)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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十二. 休闲课题：围捕零点

时下流行一种休闲方式叫做 DIY (Do It Yourself)， 讲究自己动手做一些原本只有工匠才做的东西， 比方说自己动手做件陶器什么的。 在像我这样懒散的人看来这简直比工作还累， 可如今许多人偏偏就兴这个， 或许是领悟了负负得正 (累累得闲？) 的道理吧。 既是大势如此， 我们也乐得共襄盛举， 安排 “休闲” 一下， 让大家亲自动手用 Riemann-Siegel 公式来计算一个 Riemann ζ 函数的非平凡零点。

DIY 一般有个特点， 那就是课题本身看起来虽颇见难度， 实际做起来却通常是捡其中相对简单的来做 (以免打击休闲的积极性)。 我们计算零点也是如此， 挑其中相对简单——即容易计算——的非平凡零点来计算。 那么什么样的非平凡零点比较容易计算呢？ 显然是那些听 Riemann 的话， 乖乖躺在临界线上的——因为不在临界线上的非平凡零点即便有也绝不可能容易计算， 否则 Riemann 猜想早被推翻了。

如我们在 上节 中所见， Riemann-Siegel 公式包含了许多计算量很大的东西， 其中最令人头疼的是求和， 因为它使计算量成倍地增加。 不过幸运的是那个求和是对 n²<(t/2π) 的自然数 n 进行的， 因此如果 t<8π≈25， 求和就只有 n=1 一项。 这显然是比较简单的， 因此我们狡猾的目光就盯在了这一区间上。 在这一区间上， Riemann-Siegel 公式简化成为：

Z(t) = 2cos[θ(t)] + R(t)

这就是我们此次围捕零点的工具。

在正式围捕之前， 我们先做一点火力侦察——粗略地估计一下猎物的位置。 我们要找的是使 Z(t) 为零的点， 直接寻找显然是极其困难的， 但我们注意到 2cos[θ(t)] (通常被称为主项) 在 θ(t)=(m+1/2)π 时为零 (m 为整数)， 这是一个不错的出发点。 由 上节 中 θ(t) 的表达式不难证明， 在所有这些使 2cos[θ(t)] 为零的 θ(t) 中， θ=-π/2 (即 m=-1) 是使 t 在 t<25 中取值最小的 (当然， 别忘了 t 是正实数)， 它所对应的 t 为 t≈14.5。 这是我们关于零点的第一个估计值。 纯以数值而论， 它还算不错， 相对误差约为百分之三。

接下来我们对这个估计值进行一次修正。 修正的理由是显而易见的， 因为 t≈14.5 时 R(t) 明显不为零。 为了计算 R(t)， 我们注意到 t≈14.5 时 (t/2π)^1/2≈1.5， 因此 R(t) 中的参数 N——即 (t/2π)^1/2 的整数部分——为 1， p——即 (t/2π)^1/2 的分数部分——约为 0.5。 由此可以求出 R(t) 中的第一项——即 C₀(t/2π)^-1/4——约为 0.3。

为了抵消这额外的 0.3， 我们需要对 t 进行修正， 使 2cos[θ(t)] 减少 0.3。 我们采用最简单的线性近似 Δt≈Δ{2cos[θ(t)]}/{2cos[θ(t)]}' 来计算这一修正值。 为此注意到 2cos[θ(t)] 在 t≈14.5 处的导数 {2cos[θ(t)]}' 为 -2θ'(t)sin[θ(t)] ≈ -2(1/2)ln(14.5/2π)sin(-π/2) ≈ 0.83。 由此可知 t 需要修正为 t+Δt ≈ 14.5-0.3/0.83 ≈ 14.14。 这个数值与零点的实际值之间的相对误差仅为万分之四。 但是需要提醒读者的是， 这种估计——无论从数值上讲多么高明——都不足以证明零点的存在， 而至多只能作为围捕零点前的火力侦察。

那么究竟怎样才能证明零点的存在呢？ 我们在 上节 中已经叙述了基本思路， 那就是通过计算 Z(t) 的符号， 如果 Z(t) 在临界线上某两点的符号相反， 就说明 Riemann ζ 函数在这两点之间存在零点。 我们上面所做的估计就是为这一计算做准备的。 现在我们就来进行这样的计算。 由于我们已经估计出在 t=14.14 附近可能存在零点， 因此我们就在 14.1≤t≤14.2 的区间上撒下一张小网。 如果我们的计算表明 Z(t) 在这一区间的两端， 即 t=14.1 与 t=14.2， 具有不同的符号， 那就证明了 Riemann ζ 函数在 t=14.1 与 t=14.2 之间存在零点^[注一]。

下面我们就来进行计算：

对于 t=14.1， (t/2π)^1/2≈1.498027， θ(t)≈-1.742722。 因而主项 2cos[θ(t)]≈-0.342160， 剩余项 R(t) 中 p≈0.498027， 从而其中第一项 (即 C₀ 项) 为 C₀(t/2π)^-1/4≈0.312671。 由这两部分 (即主项及剩余项中的第一项) 可得:

Z(14.1) ≈ -0.342160 + 0.312671 = -0.029489

类似地， 对于 t=14.2， (t/2π)^1/2≈1.503330， θ(t)≈-1.702141。 因而主项 2cos[θ(t)]≈-0.261934， 剩余项 R(t) 中 p≈0.503330， 从而其中第一项 (即 C₀ 项) 为 C₀(t/2π)^-1/4≈0.312129。 由这两部分 (即主项及剩余项中的第一项) 可得:

Z(14.2) ≈ -0.261934 + 0.312129 = 0.050195

显然， 如我们所期望的， Z(14.1) 与 Z(14.2) 的符号相反， 这表明在 t=14.1 与 t=14.2 之间存在 Riemann ζ 函数的非平凡零点。 当然， 我们还没有考虑 C₁ ~ C₄ 项。 这些项中带有 C₀ 的各阶导数， 计算起来工作量非同小可， 有违休闲的目的， 因此就只好偷点懒了。 熟悉计算软件的读者可以动用 Maple、 Matlab 或 Mathematica 之类的计算软件来算一下。 对于其他读者来说， 我们就把算得的结果直接列在下表中了 (其中包括我们手工算得的结果)：

从表格所列的结果中可以看到， 剩余项中的高阶项的贡献虽然有所起伏， 但与第一项相比在总体上是很小的。 对我们来说， 这当然是很令人欣慰的结果， 因为它表明我们手工所能计算的部分给出的贡献是主要的。 这还是 t 较小的情况， 随着 t 的增加， 由于高阶项中所含 t 的负幂次较高， 其贡献会变得越来越小^[注二]。 不过要严格表述这种趋势并予以证明， 却绝非轻而易举。 事实上 Riemann-Siegel 公式作为 Z(t) 的渐近展开式， 其敛散性质与误差估计都是相当复杂的。

现在我们知道了 Riemann ζ 函数在 t=14.1 与 t=14.2 之间存在零点。 如果我们再仔细点， 注意到 Z(14.1) 与 Z(14.2) 距离 Z(t)=0 的远近之比为 0.027466:0.052042， 用线性内插法可以推测零点的位置为：

t ≈ 14.1 + (14.2 - 14.1) × 0.027466 / (0.027466 + 0.052042) ≈ 14.1345。

这与现代数值 t=14.1347 的相对偏差只有不到十万分之二！ 即使只估计到 C₀ 项 (这是我们自己动手所及的范围)， 其误差也只有不到万分之二 (请读者自行完成内插法计算并验证误差)。

好了， 猎物在手， 我们的简短休闲也该见好就收了。 大家是否体验到了一些成就感呢？ 要知道， Riemann ζ 函数的零点可是在 Riemann 的论文发表之后隔了四十四年才有人公布计算结果的哦。 当然， 我们用了 Riemann-Siegel 公式， 但这没什么， 一个好汉三个帮嘛！ 再说了， DIY 哪有真的百分之百从头做起， 连工具设备都包括在内的？ 想象一下， 如果你 DIY 出来的陶器能够把缺陷控制在万分之二以内， 那是何等的风光？ 当然， 倘若你可以退回一百多年， 把这个结果抢在 Gram 之前公布一下， 那就更风光了。

在本节的最后， 还有一件可能让大家有成就感的事情要提一下。 那就是我们所用的估计零点的方法——即从使 2cos[θ(t)] 为零的点出发， 然后依据 R(t) 的数值对其进行修正^[注三]， 最后再用 Z(t) 的符号变化来确定零点的存在——暗示着 Riemann ζ 函数在临界线上 0<t<T 的零点数目大致与 cos[θ(t)] 的零点数目相当。 而后者大约有 (请大家 DIY) θ(T)/π ~ (T/2π) ln(T/2π) - (T/2π) 个。 不知大家是否还记得， 这正是我们在 第五节 中介绍过的 Riemann 那三个命题中迄今无人能够证明的第二个命题！ 当然， 我们这个也不是证明 (真可惜， 否则的话， 嘿嘿……)， 但这应该使大家对我们的休闲手段之高明有所认识吧？

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注释

1. 要注意的是， Z(t) 在一个区间的两端具有不同符号只是 Riemann ζ 函数在该区间内存在零点的充分条件， 而非必要条件。 换句话说， 假如我们不幸发现 Z(t) 在我们所取的两点上具有相同的符号， 我们并不能由此直接得出结论说 Riemann ζ 函数在这两点之间不存在零点。 至于这是为什么， 请大家 DIY。
2. 但另一方面， 随着 t 的增加， Riemann-Siegel 公式中的求和所包含的项数会逐渐增加， 因此计算的总体复杂程度并不呈现下降趋势。
3. 对于求和中有不止一项的情形， 修正所依据的将不仅仅是 R(t)， 但思路是类似的。

二零零四年五月二十三日写于纽约
二零零四年五月二十三日发表于本站
二零一二年一月三十一日最新修订
https://www.changhai.org/

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• 卢昌海   (发表于 2024-01-01)

  新年伊始， 收到读者朱明亮君来信， 指出了本文的以下几处错误：
  
  1. 表格中 C₁ 和 C₃ 项对应于 t=14.2 的数值漏了负号；
  2. 表格中 Z(t) 对应于 t=14.1 的数值错成了 -0.027446 (应为 -0.027466)；
  3. 上述第二处错误也出现在了正文用到该数值处 (计有三处)。
  
  以上错误均已在本站版本 (即本文) 中作了订正， 但这些错误也出现在了实体书中， 特向所有读者致歉。
  
  最后， 郑重感谢来信指正的朱明亮君。