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Riemann 猜想漫谈 (附录二)

- 卢昌海 -

If you could be the Devil and offer a mathematician to sell his soul for the proof of one theorem - what theorem would most mathematicians ask for? I think it would be the Riemann Hypothesis.

- H. Montgomery

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附录二： 超越 ZetaGrid

我们在 第十五节 中曾经提到由德国 Böblingen IBM 实验室的 Wedeniwski 启动的 ZetaGrid 系统。 这是一个由世界各地的数学和计算机爱好者参与， 互联网上数以万计的计算机组成的分布式计算系统， 在 2004 年以前， 它是 Riemann ζ 函数非平凡零点数值计算的绝对主力及遥遥领先者。 随着计算的推进， 到了 2004 年末的时候， ZetaGrid 的计算渐渐逼近了一个激动人心的里程碑： 一万亿 (10¹²) 个零点。

但常言道 “天有不测风云”， 就在这一目标唾手可得， 三年多的漫长计算即将迎来一个辉煌庆典的时侯， 却传来了一个令人吃惊的消息： 法国人 Xavier Gourdon 与 Patrick Demichel 验证了 Riemann ζ 函数前十万亿 (10¹³) 个零点位于临界线上的消息^[注一]。 那是在二零零四年十月十二日。 那时侯 ZetaGrid 已经把计算推进到了超过九千亿个零点， 距离一万亿只有咫尺之遥。 Gourdon 与 Demichel 的结果在这个时侯公布， 显然让 ZetaGrid 感到了苦涩。 此情此景， 犹如九十多年前英国探险家 Robert Falcon Scott (1868-1912) 率领同伴历尽千辛万苦挺进南极， 却发现挪威探险家 Roald Amundsen (1872-1928) 已经捷足先登 (Scott 及同伴后来在返回的途中因食物与燃料耗尽而全部遇难)。

ZetaGrid 在多少有些黯然的气氛中静静跨越了一万亿个零点。 2005 年 1 月 12 日， Wedeniwski 给所有 ZetaGrid 的成员发了一封电子邮件， 感谢他们对 ZetaGrid 的贡献， 他在信中提到了 Gourdon 与 Demichel 的结果， 他这样写道：

去年底， 许多人看到了 Gourdon 与 Demichel 有关完成了比我们多十倍的验证 (十万亿个零点) 的声明。 但是世界纪录永远只是留给历史的。 我的这一研究计划主要目的是汇集有关零点分布的精确数据。 现在我已经汇集了 20 TB 的数据以及有关 Riemann 猜想的大量启示， 这些将很快被发表并且希望会很快被证明。

到现在为止， 许多人问及我对我们这一群体的下一步打算。 我很高兴看到我们这一强大的群体对复杂并且基础的数学研究所具有的巨大兴趣！ 这一工作无疑已经完成了 (但仍将运行一段时间)， 我也花了一些努力来理解 Gourdon 与 Demichel 的更快速的算法。 但对于我的研究兴趣来说， 这一算法的实现形式还不够精确。

十天后， Wedeniwski 又发了另一封电子邮件 (也是他给 ZetaGrid 成员们的最后一封公开邮件)。 但这第二封邮件的措辞十分含糊， 逻辑也比较混乱， 甚至把 ZetaGrid 的工作与一些用数值方法无法实现的纯理论进展混为一谈， 颇有些出人意料。 而邮件的目的则似乎是想说明 Gourdon 与 Demichel 的结果并未使 ZetaGrid 失去意义， 又似乎是在叙述 ZetaGrid 的未来目标， 结果却是看得人一团雾水， 给人一个乱了方寸的感觉， 就不在这里复述了。 自那以后， ZetaGrid 又运行了一段时间， 但昔日的激情已不复存在。 2005 年 12 月 1 日， Wedeniwski 在 ZetaGrid 上发布了一份最后公告：

这将是我给这一群体的最后一份消息。 请接受我对大家为这一群体所做贡献的诚挚谢意。 在过去四年里， 我收到了大量重要的支持， 我们作为一个前沿研究群体在计算数论及 Riemann 猜想上达到了一个重要的里程碑。 所有细节都将很快发表在 Mathematics of Computation 杂志上。 现在我将关闭这一有着 6617 位成员的群体， 关闭服务器及 zetagrid.net 这一域名。 这对我来说是一个很困难的决定， 因为我原先还打算发布包含很多改进， 并且可以计算 “扩展 Riemann 猜想” 的新 2.0 版本。 但这一年 ZetaGrid 服务的可用性显得特别差。 这真是非常令人头疼， 因为很多贡献者及我收到了很多投诉。 但几乎在所有情形下， 我都无能为力， 因为可用性取决于 zetagrid.net 的服务商。 他们在很多基础系统变更中犯了太多的错误。 我和他们进行了很多磋商， 但无济于事。 请接受我的决定， 我将尽可能回复， 但我无法回复所有的问题及来信。

这份公告宣告了 ZetaGrid 的终结， 它把关闭 ZetaGrid 的原因归咎于服务商， 当然， 谁都知道这并非真正原因。 ZetaGrid 虽然终结了， 但它作为 Riemann ζ 函数非平凡零点计算的一项重要努力， 以及大型分布式计算的一个重要范例， 无疑都将被载入史册。

读者也许会问： 由一万多台计算机组成的强大的分布式运算系统 ZetaGrid 为什么会如此 “轻易” 地被超越， 并且被超越得如此悬殊呢？ 是 Gourdon 与 Demichel 调动了更强大的计算资源吗？ 不是。 超越的关键不在于硬件而在于算法。 Gourdon 与 Demichel 所使用的是一种崭新的算法， 是由 Odlyzko 与计算机科学家 Arnold Schönhage 于 1988 年所提出的， 被称为 Odlyzko–Schönhage 算法 (Odlyzko–Schönhage algorithm)。 我们在 第十六节 介绍过的 Odlyzko 对序号在 10²⁰、 10²²、 以及 10²³ 附近数以百亿记的零点的计算所采用的就是这个算法。 用 Odlyzko-Schönhage 算法对前 N 个零点进行验证所需的计算量为 O(N^1+ε)， 远少于传统的 Euler-Maclaurin 公式所需的 O(N^2+ε)， 以及 Riemann-Siegel 公式所需的 O(N^3/2+ε)^[注二]。 这是 Gourdon 与 Demichel 能够在短时间内大幅超越硬件资源远胜于自己的 ZetaGrid 的根本原因。

那么， Gourdon 与 Demichel 所用的计算资源是什么呢？ 只是几台普通计算机。 他们自 2003 年 4 月开始， 在若干台计算机上运行 Gourdon 依据 Odlyzko-Schönhage 算法编写的零点验证程序。 他们的计算只耗用了相当于一个 Pentium 4 2.4 GHz 处理器一年半的运算时间^[注三]， 同样的计算如果使用 ZetaGrid 的算法， 将需要七百年的时间！

除了对前十万亿个零点进行了验证外， Gourdon 与 Demichel 还完成了对序号在 10²⁴ 附近的二十亿个零点的数值计算， 并公布了对那些数值的统计检验， 其结果非常漂亮地与 Montgomery-Odlyzko 定律 (参阅 第十九节) 相吻合。 与这一计算相呼应的， 是 Odlyzko 的新近计算， 在那些计算中， 他对序号在 10²³ 附近的五百亿个零点进行了计算。 这些都是在 ZetaGrid 之外取得的 Riemann ζ 函数非平凡零点计算中的重要进展。

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注释

1. 在 Gourdon 与 Demichel 的工作中， Gourdon 是主导者， Demichel 主要是提供硬件方面的辅助。
2. 其中 N^ε 代表对数函数的组合。
3. 对数值计算领域的研究来说， 这无疑是相当微不足道的资源。 用如此微不足道的资源就可以缔造一个新的纪录， 也从一个侧面反映出目前人们对零点的数值计算已不再有很大兴趣这一事实。 若非如此， 这样的记录早该被刷新无数次了。

二零零五年六月二十五日写于纽约
二零零五年六月二十五日发表于本站
二零一二年三月三日最新修订
https://www.changhai.org/

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网友讨论选录

• 卢昌海   (发表于 2014-01-04)

  有位读者来信问了一个很好的问题： ZetaGrid 是 2001 年启动的， 而 2004 年超越 ZetaGrid 的 Gourdon 与 Demichel 所使用的 Odlyzko-Schönhage 算法是 1988 年提出的， ZetaGrid 为什么没有采用那个更好的算法呢？ 我把我的回信附在这里， 供读者参考 (如果有读者知道更确切地答案， 欢迎提供)：

  “谢谢来信。 你提的是一个很好的问题， 我也好奇过， 由于没看到什么资料， 因此未在书中述及。 不过， 从我书中引述的 Wedeniwski 给 ZetaGrid 成员的电子邮件来看， 最有可能的原因要么是 Wedeniwski 以前不知道 Odlyzko–Schönhage 算法， 要么是他不完全理解该算法， 因为他在邮件中表示 ‘我也花了一些努力来理解 Gourdon 与 Demichel 的更快速的算法。 但对于我的研究兴趣来说， 这一算法的实现形式还不够精确’。 如果他原先就知道并了解那个算法， 应该不会那么写。”