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除了自己的无知， －苏格拉底 |
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本文发表于《科学画报》 2013 年第 11 期 (上海科学技术出版社出版)。 |
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喜欢本人文字的读者 挑战轮盘赌 本文是替《科学画报》撰写的专栏短文， 发表稿因字数所限， 有一定幅度的删节。 本站版本在若干人名和术语初次出现时注有英文。
轮盘赌 (Roulette) 是一种很流行的赌博方法， 通常被认为是起源于 18 世纪的法国， 也有人将之推前到 17 世纪， 归 “功” 于概率论先驱帕斯卡 (Blaise Pascal)， 认为是他在研究永动机时妙手偶得的。 轮盘赌的玩法十分简单， 一个转盘被分为若干格——通常为欧洲 37 格， 美国 38 格， 由玩家猜测射入转盘的小球 “花落谁家” (停在哪个格子)， 猜对了赌场以 35:1 的比率赔钱给玩家。 简单的计算表明， 玩家的赢率 (即赢钱数量的期望值与所压本钱的比率) 在欧洲和美国分别约为 —2.7% 和 —5.3%。 赢率为负意味着只要玩得足够久， 玩家是注定要输钱的， 这当然是完全 “合理” 的， 因为赌场正是靠这个维生。 除猜测具体格子外， 轮盘赌也有其它玩法， 比如猜测小球停在转盘的哪一半——当然， 那赢率也是负的。 这些赢率计算有一个前提， 那就是小球停在哪个格子是随机的。 这一点并非很容易做到。 比如 1873 年， 有玩家对蒙特卡罗大赌场 (Monte Carlo Casino) 的轮盘赌进行了五个星期的细致观察， 结果发现了系统偏差， 并因此赢得了约 65,000 英镑——在当时是不小的数目。 不过， 只要制作和调试足够仔细， 系统偏差是能被有效除去的。 除去了系统偏差， 玩家若还想系统性地赢利， 就得通过推算小球的运动， 来发掘随机性背后的规律。 这从游戏规则上讲倒是可能的， 因为轮盘赌允许玩家在开球之后才下注， 从而有机会观察推算小球运动所必需的初始条件。 不过在这方面， 赌场也做了防范， 使小球在停下之前经历多次碰撞， 以确保其运动具有所谓的混沌性。 而混沌性的基本特点是： 初始条件的细微变化就能导致截然不同的后续运动——对轮盘赌来说就是小球停在截然不同的格子里。 由于玩家对初始条件的观察总是有误差的， 从而也就不可能推算出它停在哪个格子。 轮盘赌的这一特点被法国科学家庞加莱 (Henri Poincaré) 写入了名著《科学与方法》(Science and Method) 中， 成为混沌现象的经典例子之一。 两条路都被堵死， 看来玩家只能 “愿赌服输” 了。 但一些科学家却不甘心， 仍要挑战轮盘赌。 1967 年， 一位名叫艾普斯坦 (Richard Epstein) 的数学家发表了一组计算与实验混杂的结果， 宣称能推算出小球落在转盘的哪一半。 但他的实验是在自己家中而非赌场进行的， 且因计算手段所限， 无法实时推算， 更不能实地检验。 1969 年， 美国数学家索普 (Edward Thorp) 则在一篇论文中指出， 只要轮盘赌的转盘有 0.2° 的倾角， 他就能通过对小球运动的推算达到约 15% 的赢率。 索普并且披露， 他的研究是跟信息理论之父香农 (Claude Shannon) 合作进行的。 不过， 索普的论文并未给出数学细节， 从而虽然拉上香农作大旗， 也并不能使人信服。 1977 年， 当时还是研究生的美国物理学家法默 (Doyne Farmer) 伙同几位朋友也对轮盘赌展开了研究， 并逐渐深入， 不仅成为混沌理论专家， 还将混沌理论应用到了金融领域， 成为该方向上的早期探索者。 这类挑战断断续续进行着， 虽未取得太可信的战果， 却不时激励着新的研究。 2012 年， 澳大利亚西澳大学 (The University of Western Australia) 及香港理工大学 (Hong Kong Polytechnic University) 的数学家斯莫尔 (Michael Small) 等人也加入了挑战行列， 并在美国物理联合会 (American Institute of Physics) 的《混沌》(Chaos) 杂志上发表了论文。 读者也许会觉得奇怪， 轮盘赌的小球运动既然是混沌的， 科学家们为何还 “前赴后继” 地进行挑战？ 是庞加莱搞错了， 小球运动并非混沌吗？ 不是。 那些科学家的所谓推算其实是只针对部分环节的。 比如斯莫尔等人的推算只针对小球碰撞之前的运动， 那部分运动不是混沌的。 通过对那部分运动的推算， 斯莫尔等人可以判断出小球初次碰撞的位置， 虽然此后的运动仍只能被视为随机， 但斯莫尔等人表示， 他们已可获得 18% 以上的赢率。 斯莫尔等人的论文也有一些显而易见的缺陷， 比如未曾阐述对碰撞之后的随机运动的处理， 也未考虑摩擦及小球自转等因素。 不过， 若他们的思路有效 (哪怕效果没有 18% 那么显著)， 或存在改进空间， 那么与之相应的应用软件的问世应该不会遥远。 至于推算小球运动所必需的初始条件， 则可以通过谷歌眼镜之类的 增强现实技术 来获取。 也许在不远的将来， 戴着谷歌眼镜的玩家会横行赌场， 向轮盘赌发起面对面的挑战——当然， “道高一尺， 魔高一丈”， 赌场也不会坐以待毙。 二零一三年八月十七日写于纽约 相关链接 站长往年同日 (11 月 1 日) 发表的作品
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