挑战轮盘赌

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本文发表于《科学画报》 2013 年第 11 期 (上海科学技术出版社出版)。

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挑战轮盘赌

- 卢昌海 -

本文是替《科学画报》撰写的专栏短文，发表稿因字数所限，有一定幅度的删节。本站版本在若干人名和术语初次出现时注有英文。

轮盘赌 (Roulette) 是一种很流行的赌博方法，通常被认为是起源于 18 世纪的法国，也有人将之推前到 17 世纪，归 “功” 于概率论先驱帕斯卡 (Blaise Pascal)，认为是他在研究永动机时妙手偶得的。

轮盘赌的玩法十分简单，一个转盘被分为若干格——通常为欧洲 37 格，美国 38 格，由玩家猜测射入转盘的小球 “花落谁家” (停在哪个格子)，猜对了赌场以 35:1 的比率赔钱给玩家。简单的计算表明，玩家的赢率 (即赢钱数量的期望值与所压本钱的比率) 在欧洲和美国分别约为 —2.7% 和 —5.3%。赢率为负意味着只要玩得足够久，玩家是注定要输钱的，这当然是完全 “合理” 的，因为赌场正是靠这个维生。除猜测具体格子外，轮盘赌也有其它玩法，比如猜测小球停在转盘的哪一半——当然，那赢率也是负的。

这些赢率计算有一个前提，那就是小球停在哪个格子是随机的。这一点并非很容易做到。比如 1873 年，有玩家对蒙特卡罗大赌场 (Monte Carlo Casino) 的轮盘赌进行了五个星期的细致观察，结果发现了系统偏差，并因此赢得了约 65,000 英镑——在当时是不小的数目。不过，只要制作和调试足够仔细，系统偏差是能被有效除去的。

除去了系统偏差，玩家若还想系统性地赢利，就得通过推算小球的运动，来发掘随机性背后的规律。这从游戏规则上讲倒是可能的，因为轮盘赌允许玩家在开球之后才下注，从而有机会观察推算小球运动所必需的初始条件。不过在这方面，赌场也做了防范，使小球在停下之前经历多次碰撞，以确保其运动具有所谓的混沌性。而混沌性的基本特点是：初始条件的细微变化就能导致截然不同的后续运动——对轮盘赌来说就是小球停在截然不同的格子里。由于玩家对初始条件的观察总是有误差的，从而也就不可能推算出它停在哪个格子。轮盘赌的这一特点被法国科学家庞加莱 (Henri Poincaré) 写入了名著《科学与方法》(Science and Method) 中，成为混沌现象的经典例子之一。

两条路都被堵死，看来玩家只能 “愿赌服输” 了。但一些科学家却不甘心，仍要挑战轮盘赌。

1967 年，一位名叫艾普斯坦 (Richard Epstein) 的数学家发表了一组计算与实验混杂的结果，宣称能推算出小球落在转盘的哪一半。但他的实验是在自己家中而非赌场进行的，且因计算手段所限，无法实时推算，更不能实地检验。 1969 年，美国数学家索普 (Edward Thorp) 则在一篇论文中指出，只要轮盘赌的转盘有 0.2° 的倾角，他就能通过对小球运动的推算达到约 15% 的赢率。索普并且披露，他的研究是跟信息理论之父香农 (Claude Shannon) 合作进行的。不过，索普的论文并未给出数学细节，从而虽然拉上香农作大旗，也并不能使人信服。 1977 年，当时还是研究生的美国物理学家法默 (Doyne Farmer) 伙同几位朋友也对轮盘赌展开了研究，并逐渐深入，不仅成为混沌理论专家，还将混沌理论应用到了金融领域，成为该方向上的早期探索者。

这类挑战断断续续进行着，虽未取得太可信的战果，却不时激励着新的研究。 2012 年，澳大利亚西澳大学 (The University of Western Australia) 及香港理工大学 (Hong Kong Polytechnic University) 的数学家斯莫尔 (Michael Small) 等人也加入了挑战行列，并在美国物理联合会 (American Institute of Physics) 的《混沌》(Chaos) 杂志上发表了论文。

读者也许会觉得奇怪，轮盘赌的小球运动既然是混沌的，科学家们为何还 “前赴后继” 地进行挑战？是庞加莱搞错了，小球运动并非混沌吗？不是。那些科学家的所谓推算其实是只针对部分环节的。比如斯莫尔等人的推算只针对小球碰撞之前的运动，那部分运动不是混沌的。通过对那部分运动的推算，斯莫尔等人可以判断出小球初次碰撞的位置，虽然此后的运动仍只能被视为随机，但斯莫尔等人表示，他们已可获得 18% 以上的赢率。

斯莫尔等人的论文也有一些显而易见的缺陷，比如未曾阐述对碰撞之后的随机运动的处理，也未考虑摩擦及小球自转等因素。不过，若他们的思路有效 (哪怕效果没有 18% 那么显著)，或存在改进空间，那么与之相应的应用软件的问世应该不会遥远。至于推算小球运动所必需的初始条件，则可以通过谷歌眼镜之类的增强现实技术来获取。也许在不远的将来，戴着谷歌眼镜的玩家会横行赌场，向轮盘赌发起面对面的挑战——当然， “道高一尺，魔高一丈”，赌场也不会坐以待毙。

二零一三年八月十七日写于纽约
二零一三年十一月一日发表于本站
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