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除了自己的无知， －苏格拉底 |
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本文与 上篇 合并发表于《数学文化》2013 年 2 月刊 (山东大学与香港浸会大学合办)。 |
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站长在 Bluesky 新开了微博帐号 希尔伯特与广义相对论场方程 (下) << 接上篇
科里等人所得到的希尔伯特论文校样与发表稿一样， 标注了曾在 1915 年 11 月 20 日的会议上作过报告。 除此之外， 它还带有一个打印日期： 1915 年 12 月 6 日， 以及希尔伯特手注的说明 “第一遍校样” (参阅右图)， 从而是一份比发表稿更早的文件。 这一文件的发现， 在一定程度上填补了研究这一课题所面临的早期文献空白。 通过对校样的研究， 科里等人发现了希尔伯特在撰写发表稿过程中所做的若干修改， 其中既包括逻辑结构的调整， 比如校样包含三条公理[注一]， 而发表稿——如 第三节 所述——只含两条； 也包括文字表述的修正， 比如在首次提到表示引力势的度规张量时， 手写加注了 “由爱因斯坦最早引入的” 这一说明。 这些修改的存在， 表明希尔伯特论文的发表稿与 1915 年 11 月 20 日的报告是有差异的， 而早期研究将两者混为一谈的做法则是有缺陷的。 问题是： 缺陷大到什么程度？ 对此， 科里等人作出了一个他们称之为 “迟到的裁决” 的有一定颠覆性的结论， 那就是希尔伯特并未先于爱因斯坦提出广义相对论场方程。 具体地说， 科里等人发现在希尔伯特的论文校样中， 只包含了我们在 第三节 中提到的两条物理结果中的第一条——即引力理论的作用量为 K + L， 以及引力场方程可以通过对度规张量做变分而得到这一泛泛说明， 却没有包含第二条——即引力场方程的具体形式。 以这一发现为基础， 外加对另一处细节的分析 (参阅 [注八])， 科里等人还提出了一个更具颠覆性的观点， 那就是在希尔伯特提出广义相对论场方程的过程中， 有可能 “借鉴” 过爱因斯坦的场方程。 这样， 他们就不仅逆转了希尔伯特与爱因斯坦得到广义相对论场方程的时间顺序， 还冲击了早期研究中一致认定的希尔伯特与爱因斯坦彼此独立地得到广义相对论场方程的结论， 从而在史学界引起了极大的争议。 颠覆性结论引发极大的争议乃是常见现象， 本不足为奇。 不过， 这场有关希尔伯特与广义相对论场方程的争议却有一个奇特之处， 那就是它的切入点出现在了一个几乎没人猜得到的地方。 用旁观者的眼光来看， 科里等人的研究中有一样东西堪称铁证， 那就是希尔伯特的论文校样， 这也是他们整篇文章的核心证据。 但出人意料的是， 争议的切入点居然就出现在了这核心证据上， 并演变成了一场风波！
科里等人的短文发表后的第二年 (1998 年)， 加州理工学院 (California Institute of Technology) 的爱因斯坦文献专家索尔 (Tilman Sauer) 发表了一篇题为 “发现的相对性： 希尔伯特关于物理学基础的第一份笔记” (The Relativity of Discovery: Hilbert's First Note on the Foundations of Physics) 的文章。 在这篇文章中， 他披露了一个令人吃惊的事实， 那就是希尔伯特论文校样的第 7、 8 两页 (那是同一页的正反面) 的上方有一部分是缺失的 (参阅左图)， 而对引力场的作用量或场方程的叙述——如果有的话——恰好位于第 8 页的缺失部分中！ 这情节简直赶上武侠小说了——在古龙小说《陆小凤传奇之金鹏王朝》中陆小凤怀疑有人冒充大金鹏王， 判断的方法是查验脚趾， 因为真的大金鹏王是六趾。 但当陆小凤揭开了盖在大金鹏王腿上的毯子时， 发现他的双腿是锯掉的！ 索尔虽披露了这一缺失， 却未作发挥， 只简单地假定为是希尔伯特本人为了 “偷懒” 将之裁贴到了其它地方以节省时间[注二]。 但几年之后， 这一缺失却不仅引发争议， 而且演变成了风波。 2003 年， 美国内华达大学 (University of Nevada) 的物理学教授温特伯格 (Friedwardt Winterberg) 发表了一篇题为 “论 ‘希尔伯特—爱因斯坦优先权纠纷的迟到的裁决’” 的文章， 对科里等人的短文进行了严厉驳斥， 并对希尔伯特论文校样中的缺失作了阴谋论解读， 认为缺失乃是近期发生的蓄意行为， 目的是抹杀希尔伯特对广义相对论的贡献。 这一阴谋论解读得到了另外几位作者的响应， 比如美国作者毕尔克尼斯 (Christopher Bjerknes) 和德国作者沃恩茨 (Daniela Wuensch) 在分别于 2003 年和 2005 年出版的书中， 对这一 “阴谋” 进行了详细剖析， 甚至像福尔摩斯还原犯罪过程一样， “还原” 了 “阴谋” 的各个环节， 其中包括采用何种工具， 以何种方式裁去文字， 其间犯过何种错误， 采取过何种补救措施， 等等。 他们甚至详细 “还原” 了 “作案者” 的心理活动。 这些阴谋论解读因细节丰富到了可笑的地步， 就不在这里重复了。 它们的致命伤不仅在于缺乏与细节相匹配的证据， 更在于无法解释 “作案动机”， 即为何有人甘冒身败名裂的风险来对希尔伯特的论文校样做手脚？ 阴谋论者认为那是为了能提出如科里等人所提出的那种颠覆性的观点。 但事实上， 且不说在这一冷僻领域中提出颠覆性观点的收益与身败名裂的巨大风险根本就不成比例， 即便真想提出颠覆性观点， 也完全没必要做那样的手脚。 因为在对缺失部分的篇幅及上下文的内容进行分析之后， 史学界已提出了极强的分析理由， 表明缺失部分只包含引力理论的作用量， 而不包含引力场方程。 这首先是因为引入后者及相关说明所需的额外篇幅绝非缺失部分所能容纳 (发表稿中相应内容的篇幅也印证了这一点)； 其次还因为在后文提到缺失部分中的公式时， 表示由它对度规张量做变分可得到引力场方程， 这说明缺失部分包含的是作用量， 而不是场方程 (发表稿同样印证了这一点， 引力场方程是在作出上述表示之后才给出的)。 这一方面说明科里等人的核心证据虽一度成为争议的切入点， 由铁证蜕变成了分析证据， 实质内容却并无问题； 另一方面也说明提出如科里等人所提出的那种颠覆性观点， 根本就无需对校样作手脚[注三]。 此外， 还有一点对阴谋论者很不利， 那就是除无需对校样作手脚的科里等人外， 这一领域并无其他人提出过类似的颠覆性观点 (因此阴谋论的影射对象是极为鲜明的， 那就是科里等人)， 从而根本找不到能从 “阴谋” 中获益的 “作案者”， 阴谋论的荒谬也就更不言而喻了。 另外有一点需要指出的是， 阴谋论者在驳斥科里等人时， 自己也提出了一个颠覆性观点， 那就是明示或暗示爱因斯坦在提出广义相对论场方程的过程中， 有可能 “借鉴” 过希尔伯特的场方程[注四]。 这一观点与科里等人的恰好相反， 却同样冲击了早期研究中一致认定的希尔伯特与爱因斯坦彼此独立地得到广义相对论场方程的结论。 这一对 “互为镜像” 的颠覆性观点， 我们将在后文中加以讨论。 阴谋论提出后， 被作为影射对象的科里等人在普朗克科学史研究所 (即作者之一的雷恩所在的研究所) 发表了一份针对温特伯格的措辞激烈的答复， 不仅指责温特伯格的文字风格偏执 (paranoid)， 而且将其观点与昔日 纳粹德国的反相对论运动 联系了起来， 指控其试图重回纳粹时代反 “犹太物理学” 的老路。 至此， 争议演变成了风波。 科里等人的这份答复因涉嫌人身攻击而遭到温特伯格的抗议， 后来被普朗克科学史研究所 “和谐” 掉了， 取而代之的是一份以研究所名义发表的对双方争议保持中立的声明。 由希尔伯特的论文校样引发的风波就介绍到这里， 其基本结论是， 希尔伯特的论文校样只包含引力理论的作用量， 而不包含引力场方程。 由科里等人的短文引发的争议中， 虽出现了荒谬的阴谋论和令人遗憾的人身攻击， 却也涉及了一些细节性的辨析， 且引起了不少认真讨论。 接下来我们就对细节性辨析作一些介绍。 细节性辨析主要集中在对几封信件的解读上。 其中第一封是 1915 年 11 月 18 日爱因斯坦给希尔伯特的信。 这封信的背景是： 希尔伯特于 11 月 13 日写信邀请爱因斯坦出席自己的报告， 并表示该报告将对爱因斯坦提出的 “大问题” (great problem) 给出一个与爱因斯坦完全不同的公理化解答； 爱因斯坦于 11 月 15 日回信以胃痛和疲惫为由婉拒； 11 月 16 日， 希尔伯特给爱因斯坦发了一张如今已遗失了的明信片。 爱因斯坦 11 月 18 日的信就是对该明信片的回复， 其中包含这样的文字： 您给出的体系——就我所见——与我最近几个星期发现并向科学院报告过的完全一致。 困难之处并不在于找到 gμν 所满足的广义协变方程， 因为这可以在黎曼张量的帮助下很容易地得到， 而是在于证明那些方程是一种推广， 即对牛顿定律的简单而自然的推广。 针对希尔伯特表示自己的解答与爱因斯坦完全不同这一点， 爱因斯坦这段文字有明显的宣示优先权并强调 (自己的) 物理重于 (希尔伯特的) 数学的意味。 这段文字很早就引起过关注， 但自科里等人用希尔伯特的论文校样推翻了原先基于发表稿作出的 “希尔伯特先于爱因斯坦提出广义相对论场方程” 的结论之后， 这段文字有了更重要的地位， 被一些人视为了希尔伯特曾在 11 月 16 日的明信片中给出过广义相对论场方程的间接证据 (因为否则的话， 爱因斯坦所说的 “完全一致” 就失去了比较对象)。 由于明信片比论文校样更早， 假如它包含了场方程， 那么希尔伯特就依然是先于爱因斯坦得到了广义相对论场方程。 比如温特伯格就表示爱因斯坦的这段文字 “证明了希尔伯特先于爱因斯坦得到了正确的场方程”； 沃恩茨则以这段文字为由， 用肯定的语气列举了希尔伯特明信片的内容， 其中包括场方程。 但细究起来， 事情却又不那么简单， 因为爱因斯坦写下这段文字时他自己尚未得到正确的场方程。 他当时以为正确的乃是一星期前 (11 月 11 日) 发表的题为 “关于广义相对论 (补遗)” [On the General Theory of Relativity (Addendum)] 的短文中提出的错误方程： Rμν = —κTμν， 它与正确方程之间相差一个正比于曲率标量的项： —½gμνR[注五]。 这就产生了一个问题： 既然爱因斯坦尚未得到正确的场方程， 那么他所说的 “完全一致” 究竟是什么意思呢？ 对此， 有人提出， 是因为爱因斯坦当时正处于——用他自己的话说——“一生中最激动、 最紧张的时期之一”， 没时间仔细推敲希尔伯特的场方程， 从而误以为它与自己的 (错误的) 场方程相一致。 至于这种 “误以为” 的根源， 有人认为是单纯的粗心大意， 即漏看了希尔伯特的 (正确的) 场方程所多出来的 —½gμνR 项； 也有人认为是爱因斯坦注意到了 —½gμνR 项在能量动量张量的迹 T = 0 时为零， 而他当时恰好短暂地接受了能保证 T = 0 的电磁观 (参阅 [注五])， 从而认为该项的有无并不重要[注六]。 这后一种猜测不无道理， 在早期研究中也确实是对爱因斯坦所说的 “完全一致” 的合理解释。 但希尔伯特论文校样的发现却为这一猜测带来了疑问， 因为这一猜测假定了希尔伯特在 11 月 16 日的明信片中给出过场方程。 如果那样的话， 为什么在比明信片稍晚的论文校样中反而没有场方程呢？ 对此， 有人认为是场方程在希尔伯特心中没什么重要性。 这种说法本身未必没有道理， 希尔伯特有可能确实不像爱因斯坦那样重视场方程， 但用它来说明这一疑问却是没有说服力的， 因为希尔伯特若果真由于不重视场方程而未将之纳入论文校样， 又怎会在小小的明信片中都不忘记写上呢？ 这些问题的存在， 使得 “明信片包含场方程” 这一假定陷入了窘境。 如果小结一下的话， 那么这一假定的有利之处是可以解释爱因斯坦回信中的 “完全一致” 这一说法， 不利之处则是无法解释论文校样不包含场方程。 两者相比， 不利之处显得更为突出， 因为对 “完全一致” 这一说法可以有多种解释 (下面就将给出另外一种)， 而且基于 “明信片包含场方程” 这一假定所做的解释虽不无道理， 却也仅仅是不无道理而已； 而论文校样不包含场方程这一点在 “明信片包含场方程” 的假定下却几乎不存在合理解释 (尤其是从时间上讲， 该明信片应该是对论文校样的概述， 从而更不可能包含超乎后者的内容)。 因此， “明信片包含场方程” 这一假定虽被一些人寄予厚望， 可靠性却并不高。 那么， 希尔伯特的明信片究竟包含什么呢？ 从上面的分析来看， 更有可能的只是引力理论的作用量， 以及引力场方程可以通过对度规张量做变分而得到这一泛泛说明， 而并不包含场方程。 这不仅与论文校样相一致， 而且也同样有可能解释 “完全一致” 这一说法。 因为引力场的作用量对 gμν 的变分， 若没时间推敲的话， 是有可能被误认为或错算成 Rμν， 从而与爱因斯坦的 (错误的) 场方程相一致的 (事实上， 除去无贡献的全微分项， 作用量密度 R 的变分所给出的恰好是 Rμν， 正确场方程中的额外项 —½gμνR 则是来自不变体积元中 √g 的变分， 确实容易被忽视)。 而且爱因斯坦当时甚至认为自己的 (错误的) 场方程是 “唯一可能的广义协变方程” (他在 11 月 18 日的信中就强调了这一点)， 从而还有可能仅凭两者都广义协变这一特点就粗略地判断两者一致。 当然， 有人也许会说： 这种低级错误是爱因斯坦有可能犯的吗？ 对此当然谁也不敢肯定。 高手虽然会犯低级错误 (关于爱因斯坦犯低级错误的一个例子， 参阅 [注五])， 但没有铁证谁也不敢肯定某个特定的低级错误是高手犯的， 而只能猜测， 这是此类历史探究所无法避免的不确定性。 但上述可能性比起爱因斯坦漏看希尔伯特场方程中的 —½gμνR 项来， 恐怕还是大得多的可能性。 另外， 在我看来还有一个未被其他作者注意到的理由， 可以支持希尔伯特的明信片不包含场方程这一结论， 感兴趣的读者可以参阅 [注十]。 另一封引起广泛讨论的信件则是爱因斯坦 1915 年 11 月 26 日 (即得到他自己的正确场方程的第二天) 给好友仓格尔 (Heinrich Zangger, 1874–1957) 的信， 其中包含这样的文字： 这一理论的美丽是无可比拟的， 然而只有一位同事真正理解了它， 而他正以一种聪明的方式试图 “分享” 它 (亚伯拉罕的表述)。 在我的个人经历中， 从未有比这一理论及相关一切所遭遇的更好地让我见识到了人性的卑劣。 这封信转译自《爱因斯坦全集》(The Collected Papers of Albert Einstein) 第八卷的英译部分， 其中 “分享” 一词来自英译 partake (德文原词为 nostrifizieren， 另一种常用的英译为 nostrify， 含义为 “吸纳”)， 对该词的引号来自原文。 “亚伯拉罕的表述” 是指德国大学将其它大学的学位 “吸纳” 为自己学位的做法， 其中的 “亚伯拉罕” 是指经典电子论的代表人物、 德国物理学家亚伯拉罕 (Max Abraham, 1875-1922)。 “卑劣” 一词则来自英译 wretchedness。 撇开可能因翻译而受损的精微词义不论， 关于这段文字， 有两点是史学界公认的： 一是 “一位同事” 指的是希尔伯特 (对 “一位” 的着重来自原文)； 二是这段文字有抱怨希尔伯特抢夺荣誉之意。 除这封信外， 爱因斯坦 1915 年 11 月 30 日给好友贝索 (Michael Besso, 1873-1955) 也写了一封信， 其中提到 “我的同事在此事中表现得很丑恶” (“丑恶” 一词来自英译 hideously)， 也印证了上述抱怨。 这些信也被一些认为爱因斯坦 “借鉴” 过希尔伯特场方程的人解读为希尔伯特先于爱因斯坦得到广义相对论场方程的证据， 比如德国康斯坦茨大学 (University of Konstanz) 的物理学教授艾伯纳 (Dieter W. Ebner) 在 2006 年发表的文章 “希尔伯特如何先于爱因斯坦发现爱因斯坦方程及对希尔伯特校样的伪造” (How Hilbert has found the Einstein equations before Einstein and forgeries of Hilbert's page proofs) 中就这样解释爱因斯坦的愤怒： “他必定对自己为解决 ‘大问题’ 工作了 8 年， 而希尔伯特只用几个星期就先于他优雅地找到答案感到非常愤怒。 爱因斯坦的愤怒表明希尔伯特 11 月 16 日的明信片对他有过显著帮助。” 这种解释的逻辑是： 倘若希尔伯特没有先于爱因斯坦得到广义相对论场方程， 爱因斯坦就不会如此愤怒， 因此爱因斯坦的愤怒反证出了希尔伯特先于他得到广义相对论场方程。 这种解读的最大问题， 除采信了希尔伯特明信片包含广义相对论场方程这一本身就并不可靠的假定外， 还与世所公认的爱因斯坦人品有着巨大矛盾。 因为假如这种解读成立， 那爱因斯坦就不仅 “借鉴” 了希尔伯特的场方程， 而且还在给朋友的信中倒打一耙， 反诬希尔伯特 “丑恶”， 其人品可就不是一般的无耻了。 在没有铁证之前， 对世所公认的爱因斯坦人品做出如此颠覆性的推测， 是极度草率的。 因此， 这种以爱因斯坦的抱怨信为依据反证希尔伯特先于爱因斯坦得到广义相对论场方程的做法， 是非常可疑的。 相反， 如果我们认为世所公认的爱因斯坦的人品更有公信力的话， 倒是恰恰应该由抱怨信推证出爱因斯坦不可能 “借鉴” 希尔伯特的场方程。 而更平和的说法也许是， 无需对爱因斯坦的人品作任何极端假设， 就有很多理由可以解释爱因斯坦为什么会写下那样的抱怨信。 比如前面提到的误以为希尔伯特的体系与他自己的 “完全一致” (如前所述， 这并不意味着希尔伯特在明信片中给出了场方程)， 就有可能对处于冲刺阶段的爱因斯坦造成极大的危机感和恼怒感， 因为那意味着希尔伯特这位听了他几次报告后半路杀出的竞争者有可能分享优先权。 某些传记作者喜欢渲染爱因斯坦对名利的超脱， 其实爱因斯坦起码对广义相对论的优先权是非常在乎的， 别说希尔伯特， 就连对昔日的 “亲密战友” 格罗斯曼 (Marcel Grossmann, 1878-1936) 的贡献， 他也曾在 1915 年 7 月 15 日给索末菲的信中近乎冷酷地表示： “格罗斯曼永远无法宣称是 [广义相对论的] 共同发现者， 他只是在数学文献方面引导过我， 而对结果没有任何重要贡献。”[注七] 对格罗斯曼尚且如此， 希尔伯特这样一个 “陌生人” 分享优先权的可能性， 自然不会让爱因斯坦开心， 在给朋友的信中有所流露也就不足为奇。 他信中的措辞虽然严苛， 但与对格罗斯曼的评价相比， 考虑到彼此关系的亲疏之别， 并不能算出格。 而且他不仅隐去了希尔伯特的名字， 所选择的倾诉对象也都是圈外人士 (仓格尔是法医学教授， 贝索是专利局职员)。 更何况， 他当时恐怕不会想到自己在几年之后会成为每封私信都将被人细细推敲的公众人物。 将这些因素综合起来， 那两封抱怨信并没有什么不可理解的地方， 需要靠颠覆爱因斯坦的人品， 及采信希尔伯特明信片包含广义相对论场方程那样的假定才能解释。 以上就是对受到较多关注的爱因斯坦信件的分析， 其基本结论是： 爱因斯坦的信件并不构成对 “希尔伯特先于爱因斯坦提出广义相对论场方程” 的有效支持。 在前文中， 我们多次触及了希尔伯特与爱因斯坦是否彼此独立地得到广义相对论场方程的问题。 这个问题在早期研究中曾有过肯定答案， 但在科里等人的短文发表后却出现了两种针锋相对的否定看法： 一种是认为希尔伯特有可能 “借鉴” 了爱因斯坦的场方程； 另一种则认为爱因斯坦有可能 “借鉴” 了希尔伯特的场方程。 下面我们就对这两种观点做一些介绍与分析。 认为希尔伯特有可能 “借鉴” 了爱因斯坦场方程的观点从某种意义上讲， 是早期就有过的诸如 “希尔伯特的工作只是用变分原理对爱因斯坦的工作作了重新表述” (参阅 第四节) 之类泛泛看法的延续。 只不过利用希尔伯特的论文校样不包含引力场方程这一新证据， 具体提出了希尔伯特在看到爱因斯坦 11 月 25 日的论文之后才添加场方程， 且在添加过程中 “借鉴” 了爱因斯坦场方程的观点。 这种观点的前半部分从现有资料来看是成立的， 因为希尔伯特的论文确实是在校样之后才添加场方程的， 不仅时间上晚于爱因斯坦 11 月 25 日的论文， 而且还援引了后者， 从而表明希尔伯特看过爱因斯坦 11 月 25 日的论文 (以希尔伯特当时对引力理论的关注， 这是显而易见的)。 在这种情况下， 希尔伯特确实有可能因受到爱因斯坦 11 月 25 日论文的影响， 而对自己的论文作出调整。 不过， 认为希尔伯特在添加场方程的过程中 “借鉴” 了爱因斯坦的场方程， 却仍是缺乏依据的。 在说明这一点之前， 让我们稍稍离题一下， 先介绍另一个本身也值得一提的争议。 科里等人的短文发表之后， 有人提出了这样一个观点， 那就是希尔伯特既然给出了广义相对论的作用量， 就应该算是给出了场方程， 因为后者不过是前者的变分而已， 而且那变分用某些持这一见解的人的话说， 乃是 “普通研究生就能完成的常规练习”。 这个说法有道理吗？ 应该说既有道理又没道理。 说它有道理， 是因为作用量确实可以算是间接确定了场方程， 而变分计算也确实不是很困难的问题； 说它没道理， 则是因为如今很简单的东西在初次探索时未必简单。 比如广义相对论的牛顿极限如今正是 “普通研究生就能完成的常规练习”， 当年却让爱因斯坦和格罗斯曼栽了跟斗 (参阅 [注五])。 广义相对论中的变分计算也是如此， 起码在当年绝非是 “普通研究生就能完成的常规练习” (参阅 [注十])。 另外， 对广义相对论来说， 场方程是一切物理计算的基础， 重要性远高于作用量， 这一点与现代读者所熟悉的量子场论之类以作用量为核心的理论完全不同。 因此， 在广义相对论的场方程尚未被提出之时， 将它的提出归附于作用量的提出是很不恰当的。 现在回到希尔伯特对场方程的推导上来， 这一推导实质上就是计算变分。 如上所述， 这在当年绝非是 “普通研究生就能完成的常规练习”。 但尽管如此， 要说像希尔伯特那样的数学大师在决定由变分原理推导场方程时， 会要 “借鉴” 爱因斯坦的场方程， 却是令人难以置信的。 而且， 爱因斯坦在短短一个月的时间里就提出了好几种不同的场方程， 我们这些事后诸葛虽然知道 11 月 25 日那个是正确的， 对当年的希尔伯特来说却未必显而易见， 他又怎会将自己的荣誉压在上面， “借鉴” 其结果而不亲自计算变分呢？ 不仅如此， 爱因斯坦对正确场方程的推导——如 第三节 所提到， 并即将介绍的——有一定的 “歪打正着” 的意味， 与希尔伯特对严密性的要求相距甚远， 极不可能使他萌生 “借鉴” 之意。 因此， 希尔伯特得到广义相对论场方程的时间虽晚于爱因斯坦， 说他 “借鉴” 爱因斯坦的场方程却是缺乏依据的[注八]。 认为爱因斯坦有可能 “借鉴” 希尔伯特场方程这一观点则基本上是近年才出现的。 在早期， 哪怕是曾经显著贬低过爱因斯坦狭义相对论贡献的英国数学家惠特克 (Edmund Whittaker, 1873-1956)， 在其 1953 年出版的《以太和电学的历史》(A History of the Theories of Aether and Electricity) 的第二卷中述及广义相对论时， 也不曾提出过那样的观点。 持这一观点的人除了利用我们前面辨析过的那些信件外， 还提出了一个理由， 那就是爱因斯坦给出正确的场方程时没有进行推导。 前文提到过的艾伯纳、 哥廷根大学的理论物理学家托德洛夫 (Ivan T. Todorov) 等人都持此见。 但这种理由却是相当粗心的， 因为事实上， 爱因斯坦在给出正确的场方程时是进行了推导的， 只不过那推导有一定的歪打正着之处。 粗略地说， 爱因斯坦的推导是这样的： 利用 √—g = 1 这一他在那些年时常使用的简化条件， 将真空场方程 Rμν = 0 用一个被他称为引力场的 “能量分量” (energy components) 的量 tμν 来改写， 在改写的结果中出现了 tμν — ½gμνt 这一组合。 然后他假定物质场的能量动量张量 Tμν 与引力场的 “能量分量” tμν 应该以相同方式出现在理论中。 这就导致了 Tμν — ½gμνT 这一构成正确场方程 Rμν = —k(Tμν — ½gμνT) 的关键组合[注九]。 之所以说这一推导有一定的歪打正着之处， 是因为引力场的 “能量分量” tμν 并非张量， 而物质场的能量动量张量 Tμν 则是张量， 假定两者以相同方式进入理论是没有充分依据的。 爱因斯坦自己也在 1916 年 1 月 17 日给洛仑兹的信中承认： “基本表述终于正确了， 但推导仍是糟糕的”[注十]。 确实， 爱因斯坦直至 11 月 25 日为止的所有广义相对论论文在结构上都远不如希尔伯特的论文严整。 但正是那种不严整， 与他过去若干年中近乎于用试错法寻找场方程的努力一脉相承， 从而深具 “爱因斯坦特色” (这一点爱因斯坦自己也知道， 并在给洛仑兹的那封信中表示 “我那一系列有关引力的论文是一条错误足迹的链条”)。 更何况， 爱因斯坦 “借鉴” 希尔伯特场方程的前提是 “希尔伯特先于爱因斯坦得到广义相对论场方程”， 而如前所述， 目前的证据并不支持这一前提。 因此， 认为爱因斯坦有可能 “借鉴” 希尔伯特的场方程也同样是缺乏依据的。 以上是对希尔伯特与爱因斯坦在推导场方程这一环节上是否相互 “借鉴” 的分析， 其基本结论是： 希尔伯特与爱因斯坦在推导广义相对论场方程这一环节上是相互独立的。 至此， 本文就接近尾声了。 由希尔伯特论文校样激起的争议也许还不能算是尘埃落定， 但倘若没有新的原始资料被发现， 那么透过飞扬的尘土我们已可大致窥见结果。 总体来说， 与早期研究相比， 以较高可信度被改变的结论只有一个， 那就是希尔伯特并未先于爱因斯坦得到广义相对论场方程。 早期研究中的其它结论， 比如希尔伯特与爱因斯坦在推导广义相对论场方程这一环节上是彼此独立的， 则虽有新争议， 却不足以推翻早期结论； 而 “爱因斯坦是广义相对论物理理论的唯一提出者” (派斯语) 则更是无可撼动。 如果考虑到一些人提出的 “给出了广义相对论的作用量， 就应该算是给出了场方程” 这一并非完全没有道理的观点， 对那段历史中的优先权部分也许可以作这样一个无争议的表述： 希尔伯特最先得到了广义相对论的作用量。 有意思的是， 对这段历史的研究虽不无波折， 学术界对若干术语的命名却似乎早就预见到了结果： 广义相对论的场方程通常被称为爱因斯坦场方程 (Einstein field equations)， 而作用量则被称为爱因斯坦—希尔伯特 (或希尔伯特—爱因斯坦) 作用量 (最先得到作用量的虽是希尔伯特， 爱因斯坦作为整个理论的奠基者， 享有共同 “冠名权” 应该不算过分)。 在本文的最后， 让我们提一下那段历史对希尔伯特与爱因斯坦个人关系的影响， 爱因斯坦给仓格尔和贝索的抱怨信可能会让某些读者为这两位大师级人物的关系捏一把汗， 担心他们之间会出现 李杨之争 那样的局面。 不过幸运的是， 爱因斯坦的抱怨信虽折射出对优先权的敏感， 他的整体人品与智慧终究还是让他摆脱了优先权之争的泥潭。 而更值得称道的则是希尔伯特， 他不仅在诸多场合公开承认广义相对论是爱因斯坦的理论， 而且还在评选第三届波尔约奖 (Bolyai Prize) 时推荐了爱因斯坦， 并提名使爱因斯坦当选为了哥廷根数学学会 (Göttingen Mathematical Society) 的通讯会员 (corresponding member)[注十一]。 1915 年 12 月 18 日， 希尔伯特写信将当选消息告知了爱因斯坦。 两天后， 爱因斯坦给希尔伯特回了这样一封信[注十二]： 感谢您友好地告知我当选了通讯会员。 借此机会， 我觉得有必要跟您说一件对我来说比这更重要的事情。 我们之间近来有着某种我不愿分析其原因的不良感觉。 我一直在努力抵御这种感觉带来的苦涩， 并取得了完全的成功。 我已在心中恢复了与您的往日友谊， 并希望您也这样待我。 两个已在一定程度上将自己从这个肮脏世界中解脱出来的真正的研究者若不能彼此欣赏， 那将是一种真正的遗憾。 让史学界争议了近一个世纪的话题在那两位睿智的当事人之间， 就这样放下了。 他们都放下了， 我们还放不下吗？ 就让这封信也成为本文的终结吧。
参考文献
二零一二年八月十五日写于纽约 站长往年同日 (8 月 15 日) 发表的作品
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