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繁星笔谈之量子物理篇
- 卢昌海 -
本文汇集了我在繁星客栈上所发的
现代物理中的因果律、
从光谱线到电子轨道、
Planck 是如何提出 Planck 公式的？、
Schrödinger 方程与态迭加原理
等四篇有关量子物理的短文。
现代物理中的因果律
Heisenberg 和 Bohr 等量子力学的前辈们曾说过许多关于因果律的 “坏话”。
不过在量子力学的早期， 人们所说的因果律指的是用经典物理预言粒子的位置、 速度意义上的因果律，
因为当时量子力学让人最感困惑的是诸如 “能级跃迁过程中电子在哪里” 之类带有明显经典思维印迹的问题。
这种意义上的因果律对 “因” 与 “果” 的涵意及彼此的联系做了比较狭义的界定， 与今天我们更关心的因果顺序是否可以逆转、
时间是否可以逆转、 信息和能量传递是否可以超光速等意义上的因果律有很大差别。
利用量子力学来破坏普遍意义上的因果律后来也有人尝试过。
比如 EPR 悖论提出后， 就有人设想用 EPR 悖论中的自旋关联来瞬时传递信息， 结果并不成功。
不过因果律的存在在理论层面上的确有其奇特的地方。 除了量子场论的公理化体系以外，
在其它物理理论中似乎很少明确地把因果律直接作为理论的出发点， 但是几乎所有的理论都遵循因果律。
或者说在几乎所有理论中， 要想构造出违反因果律的情形， 都或多或少要涉及一些从其它角度看也比较 “非物理” 的东西。
总体来讲， 我的感觉是因果律在现代物理形式体系中的地位的确有点模糊， 理论中也存在一些灰色地带
(比方说在某些奇特的物质分布下， 广义相对论允许带闭合类时曲线的解 - 如 Gödel 模型、 wormhole 等)，
不过现在就宣称物理学已经实质性地违反或者放弃了因果律， 其时机还不成熟。:-)
二零零三年二月二十七日写于纽约
从光谱线到电子轨道
“如果知道了原子辐射出来的光的频率、 强度等可观察量， 就等于知道了电子在原子中的轨道”
这类的说法在量子理论发展的早期比较流行。 当时之所以盛行这类说法，
一个很重要的原因是为了要强调量子理论与经典理论的差异，
特别是经典理论中象运动轨道这样的概念在量子理论中丧失了基础地位，
要让位给频率、 强度这样的所谓可观察量。 事实上在上个世纪二十年代，
有些物理学家 (比如 Heisenberg) 曾一度认为理论必须严格建立在可观测量之上。
因此早年人们提出这类说法更多地是出于观念上的考虑 (当然在某些阶段 - 比如在矩阵力学的发展中 -
对理论的具体发展也起到过不可忽视的启示作用)。 如果我们把这类说法作为具体的技术问题来考虑，
即考虑是否可以从原子的光谱特性中反推出电子的状态 (即 “电子在原子中的轨道”)？
或者更一般地， 考虑是否可以从对一个量子体系的可观测量的观测中反推出量子体系的波函数？
那么它们其实是非常困难的问题。
这类问题目前是否已经有普遍的答案我不清楚 (我的印象是， 对于许多体系， 在原则上是可能的)。 一般来说，
从对一个量子体系的可观测量的观测中反推量子体系的状态即使在原则上可能， 在技术上也是极其困难的。
一个有点类似、 但相对简单的例子是所谓的逆散射问题 (Inverse Scattering Problem)，
即通过对散射现象的细致观测反推相互作用的 Hamiltonian， 这在许多情况下是可以实现的，
但是计算已经十分复杂。 反推原子中的电子态其复杂性更远在一般的逆散射问题之上 (除非是类氢原子)。
通常的做法是通过对光谱的观测来确定原子的类型， 再用量子力学来计算电子的状态，
这是相对容易的， 不过这不能算是直接反推电子的状态。
二零零三年十一月十五日写于纽约
Planck 是如何提出 Planck 公式的？
在 1900 年左右， 描述黑体辐射最好的公式是 Wien 类比于 Maxwell 分子速率分布而提出的 Wien 公式。
但 Wien 公式在长波极限下与实验有系统的偏差。 1900 年 6 月， Rayleigh 运用经典能量均分定律提出了一个公式，
在短波下一塌糊涂， 但在长波极限下却与实验相符。 当时 Planck 通过自己的研究也建立了黑体空腔模型，
可以推导出这两个公式， 两者的差别只在于对谐振子熵与能量关系的假定。
他对这两个关系作了线性内插就得到了现在我们所知的 Planck 黑体辐射公式
(稍微具体点讲： Planck 发现在他的空腔模型中如果熵与能量的关系为
(d2S/dU2)—1 = aU 就可以得到 Wien 公式，
如果熵与能量关系为 (d2S/dU2)—1 = bU2 就可以得到
Rayleigh-Jeans 公式，他的内插法就是把这两个关系式合并，即假定
(d2S/dU2)—1 = aU + bU2)。
得到黑体辐射公式后， Planck 想为他的公式找到一个解释 (A. Pais 曾经评论说如果 Planck 就此止步，
他对黑体辐射公式的贡献也足以让后人永远把他作为杰出的物理学家来纪念。 但是他没有止步，
这正是他的伟大之处)。 他求助于 Boltzmann 曾经用过的一个手段， 即对能量进行离散化处理 (便于统计求和)。
他成功地得到了自己的辐射公式， 但他发现对 Boltzmann 来说能量离散化只是一种计算手段，
最后可以让离散程度趋于零。 而对于黑体辐射， 如果他这么做， 就只能得到 Rayleigh 的结果。
因此能量离散化是黑体辐射的一个基本特点， 具有物理实在性， 这就是能量量子化的发现。
后来 Planck 曾花好几年的时间试图退回经典物理学的框架， 但未能如愿。
二零零四年四月七日写于纽约
Schrödinger 方程与态迭加原理
在一些非技术性的文章及部分教材中， 往往将量子力学的态迭加原理作为 Schrödinger 方程解的性质来介绍。
这有时会在读者中引起一种误解， 即以为态迭加原理是 Schrödinger 方程的一个推论。 事实上，
在现代量子力学的数学表述中， 态迭加原理是 “态空间为可分的复 Hilbert 空间 (separable complex Hilbert
space)” 这一基本假设的推论， 并不从属于 Schrödinger 方程。
对于任何一个特定的量子力学体系及给定的 Schrödinger 方程，
如果我们把注意力完全放在 Schrödinger 方程上， 而把态空间为 Hilbert 空间这一点视为其推论或干脆弃之不理，
的确并不会妨碍我们解决具体物理问题， 这也是 working physicists 的通常做法。
但如果我们想要讨论量子力学的一般结构， 那么试图用 Schrödinger 方程替代或导出态的 Hilbert
空间结构是行不通的。 原因在于当我们考虑量子力学的一般结构时，
Schrödinger 方程中的 Hamiltonian 不是预先给定的，
它是一个与具体体系有关的东西。 在量子力学的一般结构中只对它做一个一般性的描述。
这种描述中很重要的一条就是线性厄密性[注一]。
但是为了能定义线性厄密性， 必须先引进态空间的 Hilbert 空间结构 (其中包括了态迭加原理)，
因此态空间的 Hilbert 空间结构 (及其所包含的态迭加原理) 是先于 Schrödinger 方程而不是由后者导出的。
二零零五年七月十七日写于纽约
二零零五年七月十七日整理
二零零五年七月十七日发表于本站
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