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时空的乐章——引力波百年漫谈 (十三)
- 卢昌海 -
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十六. 致密双星的 “死亡率”
既然知道了最有可能被 LIGO 探测到的引力波源是致密双星合并，
那么接下来就可以介绍第二个问题， 即那样的源大约每隔多久可以产生一次能被 LIGO
探测到的信号[注一]？
这大体上乃是估算致密双星在 LIGO 空间探测范围内的 “死亡率”。
但哪怕粗粗一想， 也能意识到这个问题是不容易回答的， 因为在中子星双星、 黑洞双星、
中子星-黑洞双星这三类致密双星中， 黑洞双星和中子星-黑洞双星的观测证据在 LIGO
之前完全为零， 中子星双星虽早已被发现， 却也只发现了十来对。
利用如此有限的观测结果， 要想估算致密双星在 LIGO 空间探测范围内的 “死亡率” 无疑是不容易的，
并且注定只能是非常粗略的。
因此在本节中， 我们将看到全系列中最粗略——粗略得近乎野蛮，
甚至能给人留下滥用统计之印象——的估算。 不过， 这种估算只是科学家们在
LIGO 投入运行之前对其探测引力波的前景所作的评估， 具有 “仅供内部参考” 的意味。
在 LIGO 成功探测到引力波之后， 对致密双星在 LIGO 空间探测范围内的 “死亡率”
的估算在很大程度上可让位给针对 LIGO 本身的观测结果的统计分析， 这也是未来
LIGO——或者更一般的引力波天文学——可对传统天文学做出补充的诸多领域中的一个。
我们先从相对容易——即存在观测证据——的中子星双星谈起。
在迄今发现的十来对中子星双星中， 只有命名为 PSR J0737-3039
的一对是两个致密天体都作为脉冲星被直接观测到的[注二]，
其余则都跟赫尔斯-泰勒双星相类似， 只是直接观测到作为脉冲星的一个中子星，
然后通过理论推断出另一个中子星的存在。
利用 PSR J0737-3039 这一特例， 科学家们对中子星双星在 LIGO 空间探测范围内的 “死亡率” 展开了如下分析：
首先， 从 PSR J0737-3039 所包含的两颗脉冲星的射电光度 (radio luminosity)，
科学家们估计出了那样的中子星双星可在我们近旁约相当于银河系 10% 的空间体积内被传统天文学手段所发现； 其次，
从对那两颗脉冲星的射电辐射角分布的研究中， 科学家们估计出了 PSR J0737-3039 的射电辐射只涵盖
3% 的天区。 将这两项估计合在一起， 可以得出一个很粗糙的结论， 那就是银河系中像 PSR J0737-3039
那样的中子星双星只有 3‰ (即 10% × 3%) 能被传统天文学手段所发现。 由于我们实际发现了一例，
因此粗略地说， 银河系中目前总共约有 300 (即 1 ÷ 3‰) 多对像 PSR J0737-3039
那样的中子星双星[注三]。
另一方面， 通过对 PSR J0737-3039 作类似于对赫尔斯-泰勒双星所作的分析，
科学家们计算出了这对中子星双星将在约 8,000 万年之后合并，
而它们作为中子星双星的当前年龄约为 9,000 万年[注四]。
这两者合计起来可知 PSR J0737-3039 的总寿命 T 约为 17,000 万年 (即 8,000 万年 + 9,000 万年)。
由于银河系中目前总共约有 300 多对像 PSR J0737-3039 那样的中子星双星，
因此可以粗略地认为银河系中每 17,000 万年间会发生 300 多次像 PSR J0737-3039 那样的中子星双星的合并，
或者说每隔 17,000 万年会有 300 多对像 PSR J0737-3039 那样的中子星双星 “死亡”。
由此得到的 “死亡率” 约为 2×10—6yr—1
(即 300 ÷ 17,000 万年， yr 是年)。 如果进一步认为 PSR J0737-3039 可以代表所有中子星双星，
那么 2×10—6yr—1 也就是银河系范围内中子星双星的 “死亡率”。
这一 “死亡率” 约相当于每 60 万年 (即 17,000 万年 ÷ 300) 才出现一次中子星双星的合并，
这么低的 “死亡率” 哪怕每一例 “死亡” 都被观测到，
也实在是等不起。 不过好在这个 “死亡率” 只涵盖了银河系范围内的中子星双星， 而 LIGO
对中子星双星合并的空间探测范围远远超出了银河系范围。
那么在 LIGO 的空间探测范围内， 中子星双星的 “死亡率” 是多大呢？ 我们可以简单地推算一下。
很明显， 既然知道了银河系范围内中子星双星的 “死亡率”，
那么只要乘上宇宙中像银河系这种规模的物质分布——也称为 “银河等价星系” (Milky Way Equivalent Galaxy，
简称 MWEG)——的空间分布密度， 再乘上 LIGO 对中子星双星合并的空间探测范围的体积 V，
就可以得到中子星双星在 LIGO 空间探测范围内的 “死亡率”。 具体地说， 宇宙中 “银河等价星系”
的空间分布密度一般估计是 10—2 Mpc—3 左右 (这里 Mpc
为星系天文学上常用的距离单位： 百万秒差距， 约合 326 万光年)；
而 LIGO 对中子星双星合并的空间探测范围依据 2002 年索恩参与撰写的一篇题为 “引力波源概览”
(An Overview of Gravitational-Wave Sources) 的论文的估计， 是探测距离 D 约为 300 Mpc，
相应的体积 V = 4πD3/3 则约为 108 Mpc3。
将这几个数字乘起来， 可得中子星双星在 LIGO 空间探测范围内的 “死亡率” 约为每年两次
(即 2×10—6yr—1 × 10—2 Mpc—3 ×
108 Mpc3 = 2 yr—1)， 也就是说 LIGO
平均每年大约能探测到两次中子星双星的合并。
从 LIGO 在最初两年多的运行 (其中有效探测时间约为一年) 中探测到一例中子星合并的情形来看，
这一估计虽大了一倍， 却算得上相当不错了。 对这种高度粗糙的估计来说，
数值相差几个数量级也完全可能， 区区数倍的出入是不足为奇的
(反过来说， 哪怕数值没什么出入， 也只能归为碰巧， 而并不表明精度高， 科学研究是一种冷静的探索，
面对有利证据时尤其要冷静， 不能夸大它的含义)。
接下来再谈谈黑洞双星。
如前所述， 在 LIGO 之前黑洞双星的观测证据为零——这当然毫不足奇，
因为黑洞几乎按定义就不是传统天文学手段能够直接观测的， 因此对单个黑洞的确认就已属间接，
对两个——且几乎注定非常遥远的——黑洞相互绕转的确认则明显鞭长莫及。 不过黑洞双星的观测证据虽然为零，
天文学家们倒是发现了一个很可能会快速演变成黑洞双星的系统： IC 10 X-1。
这是位于不规则星系 IC 10 中的一个 X 射线源， 于 1997 年被发现， 距我们约 200 多万光年，
被认为是由一个黑洞和一颗质量很大， 体积却不太大的所谓 “沃尔夫–拉叶星” (Wolf-Rayet star)
组成的紧密绕转的双星系统 (绕转周期仅为 30 小时左右)。 这个双星系统的两个天体的质量都高达太阳质量的
30 倍左右。 由于大质量 “沃尔夫–拉叶星” 的寿命很短， 只有 20 万年左右，
演化方向则几乎铁定是黑洞， 因此科学家们预期， IC 10 X-1
将会很快演化成黑洞双星[注五]。
利用 IC 10 X-1 这一 “孤证”， 科学家们对黑洞双星的 “死亡率” 进行了粗糙得近乎野蛮的估计， 具体方法是这样的：
首先假设 IC 10 X-1 可以代表所有黑洞双星的前身， 那么如果像 IC 10 X-1 那样由黑洞和
“沃尔夫–拉叶星” 组成的双星系统的空间分布密度为 ρ， LIGO 对黑洞双星合并的空间探测范围的体积为 V，
则在该空间探测范围内类似 IC 10 X-1 的双星系统的总数为 ρV， 如果进一步考虑到 “沃尔夫–拉叶星”
的寿命为 T， 则可以粗略地认为每隔 T 时间， 会有 ρV 那么多个类似 IC 10 X-1 的双星系统演化成黑洞双星，
或者说黑洞双星的 “出生率” 为 ρV/T。 如果认为黑洞双星的寿命彼此相近 (或平均寿命可粗略代表所有寿命)，
则 “死亡率” 大体等于 “出生率”， 由此就得到了 LIGO 空间探测范围内黑洞双星的 “死亡率” 为 ρV/T。
当然， 这种估计还隐含了一个条件， 那就是由类似 IC 10 X-1
的双星系统演化而成的黑洞双星的寿命小于宇宙年龄 (这是必须的， 因为否则的话，
哪怕自宇宙诞生之初就出现的黑洞双星， 也直到目前都还不会合并，
从而也就不可能被 LIGO 探测到。 这一隐含条件对其他两类致密双星也适用)，
这对于由 IC 10 X-1 本身演化而成的黑洞双星是成立的， 因为计算表明后者会在二三十亿年之内合并。
接下来看看这一 “死亡率” 的数值有多大。 由前面提到的大质量 “沃尔夫–拉叶星” 的寿命可知 T 约为
2 × 105 yr (即 20 万年)； 至于 LIGO 对黑洞双星合并的空间探测范围，
我们再次援引索恩参与撰写的 “引力波源概览”， 那里列出的探测距离为 z ≈ 0.4 (z 为宇宙学红移)，
相当于十几亿秒差距[注六]，
相应的体积 V 约为 1010 Mpc3； 最难估计的是像 IC 10 X-1 那样的双星系统的空间分布密度，
因为那样的双星系统只发现了一个， 根本无从推算密度。 正是为了解决这一困难， 最 “野蛮” 的方法登场了：
科学家们以当前传统天文学手段能够发现 IC 10 X-1 的最大距离——据估计约为 2 Mpc——作为了每个像 IC 10 X-1
那样的双星系统所占据的平均空间范围的半径 (相应的体积则约为 30
Mpc3)[注七]，
由此可以推得像 IC 10 X-1 这样的双星系统的空间分布密度 ρ 约为 3 × 10—2 Mpc—3。
将这几个数值代入 ρV/T， 可得黑洞双星在 LIGO 空间探测范围内的 “死亡率” 约为 103 yr—1，
也就是说 LIGO 平均每年能探测到上千次黑洞双星的合并。
从 LIGO 运行前两年多的情形看， 黑洞双星的合并是最频繁被探测到的，
但每年探测上千次显然还是大大高估了。 但考虑到这一估计的极度粗糙性，
这种出入同样算不上出人意料。
最后谈谈中子星-黑洞双星。
与黑洞双星相类似， 在 LIGO 之前中子星-黑洞双星的观测证据也是零。 不仅如此，
中子星-黑洞双星还是唯一一类直至本文撰写之时——即 2017 年底——仍无观测证据的致密双星。
不过在理论上， 这类致密双星的存在是没有悬念的，
因为它跟另两类致密双星的本质区别只在于质量——只要两个星体的质量落在适当的范围内， 它就必然会出现。
事实上， 天文学家们已经发现了一个有可能会演变成中子星-黑洞双星的双星系统：
天鹅座 X-3 (Cygnus X-3)。
天鹅座 X-3 是位于天鹅座的一个 X 射线源， 距我们约 23,000 多光年。
跟 IC 10 X-1 相类似， 天鹅座 X-3 也是由一个黑洞和一颗 “沃尔夫–拉叶星” 组成的，
所不同的是， 天鹅座 X-3 稍显 “迷你”， 其中的黑洞质量仅数倍于太阳质量， “沃尔夫–拉叶星”
的质量也仅为太阳质量的十倍左右。 由于质量较小， 天鹅座 X-3 中的 “沃尔夫–拉叶星” 不像 IC 10 X-1
中的大质量 “沃尔夫–拉叶星” 那样几乎铁定会演化成黑洞， 而是有一定的概率以中子星告终，
从而使整个双星系统演化成中子星-黑洞双星。 据粗略估计，
天鹅座 X-3 演化成中子星-黑洞双星的概率约为 15%[注八]，
而中子星-黑洞双星在单位体积内的 “死亡率” (用上文的符号表示， 即 ρ/T)
则——基于对这种体系的非常粗糙的演化理论——被估计为 10—8 Mpc—3yr—1。
这种估计的手法——从而 “野蛮” 程度——跟对黑洞双星的估计是完全相似的， 不仅作了相似的假设
(比如假设了天鹅座 X-3 可以代表所有中子星-黑洞双星的前身)， 而且也同样是以一个 “孤证” (即天鹅座 X-3)
为核心的。
LIGO 平均每年能探测到多少次中子星-黑洞双星的合并呢？ 我们依然援引索恩参与撰写的
“引力波源概览”[注九]，
那里列出的 LIGO 对中子星-黑洞双星合并的探测距离约为 650Mpc， 相应的体积 V 约为 109 Mpc3。
以之乘上前面得到的单位体积内的 “死亡率” (即 ρ/T) 便可推算出 LIGO 平均每年能探测到的中子星-黑洞双星的合并次数
(即 ρV/T) 约为十来次。
从 LIGO 运行前两年多的情形看， 中子星-黑洞双星的合并是唯一完全缺席的，
由此判断， 每年十来次显然也是很大的高估——但当然同样也可以归为不足为奇。
以上就是对致密双星 “死亡率” 的估算。 需要指出的是，
以上所介绍的只是两类主要估算手段之一： 基于观测数据的估算
(虽然所谓 “观测数据” 其实都是 “孤证”)； 除这类手段外， 还有一类手段是理论估算，
即通过双星演化理论来作估计， 那类手段也很粗糙， 因为理论本身还很不健全。
在 LIGO 之前的那些年里， 两类手段都被反复尝试过， 细节则各有不同
(因此以上所介绍的其实是一类手段中的一组特定尝试)。
比如 LIGO 对引力波的探测能力不是沿所有方向都相同的， 因此空间探测范围的体积 V
要比以探测距离 D 为半径的球体积 4πD3/3 来得小， 这种因素在有些估计中被略去了，
在另一些估计中则得到了考虑； 又比如几乎所有物理量都有一定的取值范围， 有些估计的取值偏于乐观，
有些估计则偏于悲观， 这些也都会影响估计结果。
另外值得一提的是， 这两类手段并非完全独立， 比如前面提到的对估计黑洞双星及中子星-黑洞双星 “死亡率”
起到核心作用的那两个由黑洞和 “沃尔夫–拉叶星” 组成的双星系统 (即 IC 10 X-1 和天鹅座 X-3)
对双星演化理论的发展曾有过很大影响。 双星演化理论一度得出过很悲观的结论，
认为作为致密双星前身的两颗大质量恒星在共同演化的某个阶段会出现一个 “共有包层” (common envelope)，
在它的阻尼作用下， 两颗恒星会没来得及演化成致密双星就直接合并， 从而使得致密双星的出现几乎没有可能。
这种悲观结论后来得到了修正， 修正的理由正是 IC 10 X-1 和天鹅座 X-3，
因为那两个双星系统都已度过了 “共有包层” 阶段却依然存在。 另一方面，
修正后的双星演化理论又反过来对这种由黑洞和 “沃尔夫–拉叶星” 组成的双星系统的寿命估计提供了帮助。
因此， 两类手段有着紧密的互动。
将两类手段的各种尝试综合起来， 可以得出对 LIGO 每年能探测到的致密双星合并次数的估计，
该估计对所有三类致密双星都有很宽的范围， 其中下限都在零点几次左右， 上限则高达数百或数千次。
这也正是第二个问题的答案——确切地说是在 LIGO 正式运行之前有关第二个问题的答案。
这个答案一方面凸显了估计的糟糕程度——数值上的相互偏差高达三四个数量级，
另一方面却也清楚地显示出， 哪怕依照最悲观的估计， LIGO 的成功也是预料中的事。
因此， 韦斯曾经强烈期望， LIGO 会在 2016 年之前， 在广义相对论诞生 100 周年的时候探测到引力波。
很幸运的是， LIGO 没有像 “韦伯棒”
辜负韦伯那样辜负韦斯的期望[注十]。
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2017 年 12 月 20 日完稿
2017 年 12 月 21 日发布
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