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宇宙监督假设简介 (三)

- 卢昌海 -

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四. 壳层穿越奇点与壳层会聚奇点

由于黑洞无毛发定理的存在, 以及摧毁黑洞的努力所遭遇的困难, 利用广义相对论的稳定解来寻找裸奇点的可能性起码在经典广义相对论的范围内, 可以说是基本被排除了[注一]。 不过, 对裸奇点的直接寻找依然是研究宇宙监督假设的主要途径之一, 只是进一步努力的方向在很大程度上转向了动态解。 这其中, 动态但具有良好对称性的解要比缺乏对称性的解容易研究得多, 从而成为了最早获得突破的方向。

在广义相对论的所有具有良好对称性的动态解中, 最简单的无疑是球对称动态解。 不过我们知道, 球对称引力场本身是不具有动力学自由度的——这是所谓的 Birkhoff 定理 (Birkhoff theorem), 它表明真空中的球对称度规必定是 Schwarzschild 度规[注二]。 因此, 非平凡的球对称动态解必须涉及物质, 从而必须涉及由物质能量动量张量带来的额外复杂性。 作为起步, 最明智的做法显然是选择尽可能简单的能量动量张量。 那么, 什么样的物质具有最简单的能量动量张量呢? 答案是理想尘埃物质, 这种物质的能量动量张量为 Tμν = ρuμuν, 它是理想流体能量动量张量 Tμν = pgμν + (p + ρ)uμuν 在压强恒为零时的特例 (由于这一缘故, 理想尘埃也被称为零压理想流体), 只带一个与物性有关的标量函数 ρ。 因此研究理想尘埃物质的球对称动态解成为了寻找裸奇点的最佳切入点之一。

另一方面, 在所有动态过程中, 与奇点的形成最有关系的显然是坍缩过程, 因此在所有球对称动态解中, 描述球对称坍缩过程的解是最值得关注的。 当然, 球对称坍缩过程倘若在引力的支配下进行到底, 其最终产物将是 Schwarzschild 黑洞, 从而是不带裸奇点的。 但在坍缩的过程中, 即尚处于动态的阶段中, 却完全有可能出现复杂的情况。 特别是, 如果我们能找到一个球对称坍缩过程, 使得当奇点在某个半径——包括坍缩中心——出现时, 包裹该奇点的任一同心球面之内都尚未积累起使该球面成为 Schwarzschild 视界所需的物质 (从而 Schwarzschild 视界尚无法形成), 则这种先于视界而出现的奇点就是裸奇点——虽然它只在有限的时间内才是裸露的[注三]

这样的裸奇点究竟会不会出现呢? 凭空想象是得不出结果的, 答案只能来自计算。 这方面最早的计算比宇宙监督假设早了整整 30 年就已经出现了。 1939 年, 美国物理学家 Robert Oppenheimer (1904-1967) 和他的学生 Hartland Snyder (1913-1962) 研究了最简单的球对称坍缩过程: 一个均匀理想尘埃球的坍缩。 他们发现, 这样的坍缩在随尘埃物质一同运动的观测者——即所谓的随动观测者 (comoving observer)——看来, 将会在有限的时间内完成, 这其中奇点只有在坍缩过程彻底完成时才会出现, 而这时的时空已经完全变成了 Schwarzschild 时空。 不仅如此, 其实早在奇点出现之前, 一旦尘埃物质进入到相应的 Schwarzschild 半径以内, 视界就已经形成。 因此, 均匀理想尘埃球的坍缩是一个视界先于奇点而形成的例子, 它显然不会产生裸奇点。

看来, 这又是一个有关宇宙监督假设的 “利好消息”, 但这一次它同时也是 “利空消息” 的邻居。

Oppenheimer 与 Snyder 的计算如今已是每位学习广义相对论的学生都能完成的 “小习题”。 但广义相对论计算的困难之处就在于, 哪怕是在这样的 “小习题” 当中加入一些额外因素, 比如非均匀、 有压强 (即不再是尘埃物质)、 或有自转 (即不再是球对称), 问题就会急剧复杂化, 甚至复杂到让 Oppenheimer 那样的人物也不得不退避三舍。 这方面的研究直到 30 多年后才有了新的突破。 1973 年, 德国汉堡大学的物理学家 Peter Yodzis、 Hans Seifert 等人再次对理想尘埃球的坍缩进行了研究。 在他们的研究中, 压强仍保持为零, 物质的分布也仍维持球对称, 唯一被松绑的只有均匀性条件。 可以说, 他们只是把潘多拉盒子打开了一条小小的缝隙。

从这条小小的缝隙里, 他们会发现什么呢?

Yodzis 等人发现, 当尘埃物质的密度分布满足一定的条件时[注四], 不同壳层上尘埃物质的坍缩速度会出现显著差异——特别是, 快速坍缩的外壳层可以穿越缓慢坍缩的内壳层。 当两层尘埃物质彼此穿越时, 某些物理量或几何量会出现奇异性, 而此时物质的整体坍缩尚未进行到足以形成视界的程度。 换句话说, 在这种特殊的坍缩过程中, 奇点的出现可以早于视界的形成, 这意味着裸奇点出现在了坍缩过程中! Yodzis 等人的这一结果是人们最早发现的能导致裸奇点的坍缩过程之一, 这种由壳层穿越而导致的奇点 (实际上是球对称的奇异面) 被称为壳层穿越奇点 (shell-crossing singularity)。 研究表明, 壳层穿越奇点是一种奇异性较弱的奇点。 不过, 宇宙监督假设并未对奇点奇异性的强弱进行限定 (我们也因此而未对奇异性的强弱作具体介绍), 因此 Yodzis 等人的这一结果对于宇宙监督假设具有一定的冲击性。

不过, Yodzis 等人所采用的理想尘埃模型无可避免地削弱了这一结果的现实意义。 因为理想尘埃的压强恒为零, 而物理直觉告诉我们, 在足以形成奇点的坍缩过程中, 物质将会受到高度挤压, 在这种过程中压强是绝不可能为零的。 有鉴于此, Yodzis 等人很快就展开并完成了一系列后续研究。 在那些研究中, 他们将理想尘埃换成了理想流体 (从而压强不再为零), 而结果则不仅维持了裸奇点的存在, 还进一步证明了裸奇点在球对称微扰下具有稳定性。

除 Yodzis 等人所发现的壳层穿越奇点外, 人们在球对称坍缩过程中还发现了一类比壳层穿越奇点更为棘手的裸奇点: 壳层会聚奇点 (shell-focusing singularity)。 这类裸奇点位于坍缩球体的中心[注五], 只要物质分布满足特定的物态及初始条件, 它既可以出现在理想流体 (包括理想尘埃) 的坍缩过程中, 也可以出现在所谓辐射物质的坍缩过程中, 后者的能量动量张量为 Tμν = ρkμkν (其中 kμ 为类光矢量)。 研究表明, 壳层会聚奇点的奇异性要高于壳层穿越奇点。

这么看来, 在特定的物质坍缩过程中裸奇点的出现已是 “铁证如山” 的事实, 宇宙监督假设尽管寄托了一些物理学家的良好愿望, 并且也得到了不少旁证, 却早在几十年前就该寿终正寝了。 但事实上, 这一假设却迄今仍被视为是一个尚未解决的问题, 这是怎么回事呢? 为什么如此直接的反例, 却未被认为是推翻了宇宙监督假设呢? 这其中的诀窍还得到我们在 第一节 中提到的那个 “半拉子工程” 的表述中去寻找。

五. 走向严密表述

现在让我们回顾一下 第一节 中提到的那个 “半拉子工程” 的表述: “在正常的物质性质及初始条件下, 时空是强渐近可预测的”。 我们当时就已指出, 这个表述没有对 “正常的物质性质及初始条件” 做出明确界定, 因而充其量只是一个 “半拉子工程”。 解决前述问题的诀窍就在这所谓 “正常的物质性质” 上——这个含糊其辞的条件简直就是为对付上面提到的那些 “反例” 而量身定做的。

上节 提到的两种裸奇点中, 壳层穿越奇点相对来说是不足为患的, 因为这种因内外壳层彼此穿越而产生的奇点在 Minkowski 时空, 甚至在非相对论流体力学中就已经存在, 从而并不是广义相对论特有的。 我们知道, 在广义相对论之前的经典物理学中并不存在类似于奇点定理那样的结果, 那里出现的奇点即便在经典物理本身的范围之内, 也只不过是来自于对现实世界的过度理想化, 而不具有基础意义。 壳层穿越奇点既然在普通流体力学中就存在, 它的起源也就昭然若揭了, 那便是来自于理想流体对现实流体的过度理想化。 现实流体虽然也有壳层穿越现象, 但在穿越过程中是绝不会出现奇异性的。 因此, 出现在理想流体中的壳层穿越奇点只是理想流体这一物质模型的缺陷, 而不是广义相对论的麻烦。 这种本身就有问题, 却想把糊涂账转嫁到广义相对论头上的物质模型, 理所当然地遭到了广大爱好宇宙监督假设之士的 “痛斥”, 被定性为不具有 “正常的物质性质”, 而遭驱逐出境。

与壳层穿越奇点不同——从而更为棘手——的是, 壳层会聚奇点并不总是出现在普通流体力学中, 因此它起码可以部分地归因于广义相对论。 但是, 既然理想流体本身已经因为不具有 “正常的物质性质” 而遭驱逐, 它所造成的一切麻烦——包括壳层会聚奇点——当然也就得一并卷铺盖了, 正所谓 “皮之不存, 毛将焉附”, 壳层会聚奇点傍错了老板, 只能怪自己命苦了。

细心的读者也许会问: 辐射物质的坍缩不也可以产生壳层会聚奇点吗? 难道连辐射也不具有 “正常的物质性质” 吗? 答案是肯定的, 不过不是因为辐射不具有正常的物质性质, 而是因为在 上节 中被称为 “辐射” 的东西乃是 “披着羊皮的狼”, 是一种冒牌的辐射。 它之所以被称为 “辐射”, 只不过是因为其能量动量张量 Tμν = ρkμkν 中的 kμ 类光。 将这种 “辐射” 与理想尘埃的能量动量张量相对比, 可以看到它所描述的物质相当于类光的 “尘埃”, 这是使用 “辐射” 一词的核心依据。 由于类光矢量也叫零矢量, 因此这种 “辐射” 也称为零尘埃 (null dust)。 可惜的是, “零尘埃” 虽与普通辐射一样具有类光性, 其能量动量张量却并不描述任何现实世界中已知的辐射, 比如电磁波 (要从数学上证明这一点虽不算困难, 却也不是完全轻而易举的, 不过请读者想一想, 有什么简单的特性可以让我们从物理上判定象零尘埃这样的 “辐射” 并不是象电磁波那样的真实辐射?)。 因此, 这种挂着羊头卖狗肉的 “辐射” 并不具有 “正常的物质性质”。

这样一来, 上节 提到的那些裸奇点就全都被扫地出门了, “正常的物质性质” 这一 “无招胜有招” 的含糊术语算是在关键时刻挽救了宇宙监督假设。 但是, 这一仗却胜得并不漂亮, 因为这种一味依靠含糊术语来打游击的做法, 终究是不够堂正, 甚至可以说是有些无赖的。 我们不禁要问: 说了半天, 究竟什么才 “正常的物质性质”? 能不能对 “正常的物质性质” 给出一个正面的定义, 而不要总等到反例逼上门来, 才事后诸葛般地从反面告诉我们什么不是 “正常的物质性质”?

这是一个合情合理的问题, 也是一个合情合理的要求。 幸运的是, 物理学家们为这份合情合理找到了一个合情合理的答案。 这个答案是这样的: 如果用 φ1, ..., φn 表示物质场或其分量, 那么具有 “正常的物质性质” 的物质场被定义为满足以下形式的准线性二阶双曲运动方程组

gμν(x, φj, φj;ρ) φi;μν = Fi(x, φj, φj;ρ)

(4.5.1)

这里, 准线性 (quasilinear) 指的是相对于最高阶 (对于本方程组来说即二阶) 协变导数为线性。 这一定义参照了包括电磁场在内的物理学中所有基本动力学体系的主要特征, 并且作了适当的推广 (比如允许度规张量 gμν 依赖于物质场的一阶协变导数), 因而被认为具有极大的普适性[注六]。 更重要的是, 早在 1952 年人们就已证明, 满足 4.5.1 式的物质场在全局双曲背景时空中具有良好的初值表述 (initial value formulation), 即给定光滑类空 Cauchy 面上的一组初始条件 (在本系列中, 若无特殊说明, 凡初始条件都是指非奇异的), 运动方程在该 Cauchy 面的一个邻域内存在唯一且连续依赖于初始条件的解。 物质场所满足的这一性质保证了它在 Minkowski 时空 (那是全局双曲背景时空的最简单特例) 中具有良好的动力学性质。 而既然物质场在 Minkowski 时空中具有良好性质, 那么假如它与引力的耦合体系出现了问题 (比如出现裸奇点), 则那种问题就可以被认为是与引力的存在密切相关, 而不是象壳层穿越奇点那样的 “诬告”。 这一特点使得上述定义很适合于宇宙监督假设的讨论。 当然, 对于宇宙监督假设来说, 我们还要求物质场满足适当的能量条件, 比如主能量条件, 以排除诸如 m<0 的 Schwarzschild 时空那样的情形 (m<0 的 Schwarzschild 时空——如我们在 正质量定理简介第四节 中所说——是带有裸奇点的)。

现在我们已经接近对宇宙监督假设给出一个比较严格的表述了, 不过为了完成这一表述, 除 “正常的物质性质” 外, 还必须对粗略定义中 “正常的初始条件” 也给出一个直接定义。 这一点初看起来是不复杂的, 因为考虑到黑洞和视界的定义有赖于时空的渐近平直性 (参阅 第一节), 所谓 “正常的初始条件”, 显然就应该定义为某个渐近平直类空超曲面 Σ 上的满足一定渐近条件的 hij 和 Kij——简单地讲, 就是渐近平直的初始数据集。 有关这一点, 我们在讨论广义相对论的动力学时已经表述过了, 读者们可参阅 正质量定理简介第二节, 尤其是该节的 [注三]。 不过我们稍后将会看到, 这 “正常的初始条件” 其实也是颇有玄机的。

综合上面的讨论, 现在我们正式给出宇宙监督假设的一个比较严格的表述:

宇宙监督假设: 在广义相对论中, 如果:

  1. 物质场的运动方程组为形如 4.5.1 式的准线性二阶双曲方程组。
  2. 物质的分布满足主能量条件。
  3. (Σ, hij, Kij) 为渐近平直的初始数据集。

则 (Σ, hij, Kij) 的最大 Cauchy 展开是强渐近可预测的。

这里 (Σ, hij, Kij) 的 “最大 Cauchy 展开” (maximal Cauchy development) 指的是该初始数据集所对应的解 (M, gμν) 在微分同胚 (diffeomorphism) 意义上保持 Σ 为 Cauchy 面的最大延拓[注七]

好了, 现在我们终于有了一个关于宇宙监督假设的明确表述。 宇宙监督假设也已经闯过了上面介绍过的所有关卡。 那么, 在现在这样一个明确表述下, 它还能继续过关斩将吗?

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注释

  1. 只能说是 “基本被排除” 而不是彻底被排除, 因为并不存在关于这一排除的严格证明, 而且直到近期仍有个别物理学家在进行这方面的努力。
  2. Birkhoff 定理的一种早期, 并且直到现在依然很流行的表述形式是 “真空中的球对称度规必定是静态度规”。 不过后来人们发现 Schwarzschild 度规在延拓区域内不一定是静态的, 因此 “真空中的球对称度规必定是 Schwarzschild 度规” 被认为是更准确的表述。
  3. 严格地讲, 使该奇点成为裸奇点还要求当 Schwarzschild 视界形成时, 从奇点发出的光信号已经传播到视界之外 (请读者想一想这是为什么?)。
  4. 那些条件全都是在满足适当的能量条件——比如主能量条件——的基础之上提出的。
  5. 壳层会聚奇点既可以位于有限半径处, 也可以位于坍缩球体的中心, 不过位于有限半径处的壳层会聚奇点通常晚于视界而出现, 从而不是裸奇点。
  6. 请读者想一想, 理想流体为什么不满足这一定义?
  7. Cauchy 面的定义可参看 奇点与奇点定理简介第四节, “最大 Cauchy 展开” 的详细定义可参阅 Wald 的教材。

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