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正质量定理简介 (四)

- 卢昌海 -

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六. Witten 的证明概述

1981 年对于正质量定理的证明来说是一个决胜之年。 与 Schoen 和 Yau 发表完整的证明几乎同时， 美国普林斯顿大学 (Princeton University) 的数学物理学家 Witten 也完成了一篇文章， 给出了正质量定理的一种全新的证明方法。 我们在 第四节 中曾经提到过， Witten 的证明受到了超引力理论中 ADM 质量非负这一结果的启发。 超引力理论的结构相当复杂， 它与广义相对论的最大差别， 乃是除引力场外， 还引进了作为引力子超对称伙伴 (supersymmetric partner) 的引力微子 (gravitino) 的场。 由于引力子是一种玻色子 (boson)， 而超对称理论中玻色子的超对称伙伴是费米子 (fermion)， 因此引力微子是一种费米子， 它的场是一种旋量场 (spinor field)， 它所满足的量子化条件则是反对易的， 这意味着其 “大小” 正比于 Planck 常数 (Planck's constant) 的平方根， 从而在 Planck 常数趋于零这一经典极限下应该能被忽略。 有鉴于此， Grisaru——如 第四节 所述——提出了一个猜测， 那就是超引力理论的 ADM 质量非负这一结果可以在经典极限下过渡为一个经典广义相对论的结果。 显然， 这一结果——如果存在的话——应该就是正质量定理。 Grisaru 的这一猜测从未得到过证明， 但它对 Witten 的证明起了很大的启发作用^[注一]。

Witten 证明的出发点是 Σ 上的 Dirac 方程 (Dirac's equation) γⁱD_iψ = 0^[注二]， 其中 γⁱ 是 Dirac 矩阵 (Dirac matrices)， D_i 是四维协变导数在 Σ 上的分量， ψ 是旋量场。 Witten 着重研究了这一方程的渐近于某个常数旋量 ε， 即 ψ→ε+O(1/r)， 的特殊解 (这种特殊解有时被后人称为 Witten 旋量)。 Witten 之所以要研究这一 Dirac 方程的这类特殊解， 是因为这样的解出现在超引力理论中超荷算符的积分表达式中， 这也正是超引力理论对 Witten 的启示所在。

利用 Σ 的渐近平直性， 经过不太复杂的推理， Witten 证明了对于任何 ε≠0， 上述 Dirac 方程必定存在满足 ψ→ε+O(1/r) 的特殊解 ψ^[注三]。 不过， Witten 在证明这一存在性时用到了一些并非显而易见的结果， 却未予严格论述。 类似的不严密性在他的论文中还不止一处， 有些甚至可以归为错误。 这么多小缺陷同时出现在一篇论文中， 对于数学功力极其深厚的 Witten 来说是颇为罕见的。 因此从严密性上讲， Witten 的原始证明与 Schoen 和 Yau 的证明有一定的差距。 但幸运的是， Witten 的证明发表之后， 哈佛大学 (Harvard University) 的数学物理学家 Thomas Parker 和 Clifford Taubes (1954-) 很快就对他的证明作了改进， 弥补了那些缺陷。

Witten 的证明中另一个关键步骤， 是将 Σ 上的 Dirac 算符 γⁱD_i 与物质的能量动量分布联系起来。 这一步的逻辑地位与 Schoen 和 Yau 的证明中那些将主能量条件表述为几何条件的关系式相类似， 其重要性是显而易见的。 因为只有建立了那样的联系， 才能将主能量条件应用到证明中来。 Witten 在证明这一步时也出现了疏漏， 忽略了 Dirac 算符平方展开式中的一个曲率项， 不过这一疏漏恰好被他在后文将 Dirac 算符的平方展开式作用于 Ψ， 并与 Ψ 作内积时出现的另一个疏漏所抵消， 因此未对整个论证造成实质性的破坏。 而且更幸运的是， 这一错误在文章付印前就被人发现， 使 Witten 得以及时在文章中增添一个补注加以纠正。 经过纠正后的这一联系可以表示为：

其中最后一项中的 K_i^j 就是我们在 第二节 中引进的 Σ 的外曲率 (起初被 Witten 忽略的正是这一项)。 这一结果其实是微分几何中的 Weitzenböck 公式 (Weitzenböck formula) 应用于旋量场的情形。 唯一的差别， 是利用 Einstein 场方程对某些几何量进行了替换， 从而出现了与物质能量动量张量有关的项。

将上述结果作用于前面提到的特殊解 Ψ， 显然可以得到：

用 Ψ 与这一方程作 Σ 上的内积， 并经过分部积分 (正是在分部积分中， Witten 出现了另一个疏漏， 恰好抵消了他在 Dirac 算符平方展开式中的疏漏)， 可以得到这样一个结果：

在这一结果中， 右端的第一项显然是非负的。 而第二项由于 T_0jγ⁰γ^j 的本征值为 ±‖T_0j‖， 加上主能量条件要求 T₀₀ ≥ ‖T_0j‖， 因此也是非负的。 这表明：

粗看起来， 这个有关旋量场的不等式似乎与正质量定理没什么关系， 但 Witten 注意到它左侧的边界积分是 Σ 上的不变量， 而且除 Ψ 的渐近值 (常数旋量) ε 外， 它只与度规张量 h_ij 的 O(1/r) 渐近行为有关 (更高阶的渐近项对面积分没有贡献)。 另一方面， ADM 能量 E 和动量 pⁱ 乃是由 h_ij 的 O(1/r) 渐近分量所能构成的仅有的不变量。 因此 Witten 意识到这个不等式左侧的边界积分必定与 ADM 能量动量有关。 那么它们之间究竟是什么样的关系呢？ 显然需要通过对这一面积分进行计算来揭示。 在一般情况下， 这将是一个很困难的计算， 不过好在 Σ 具有渐近平直性， 而面积分又处于渐近平直区域中， 这使计算得到了极大的简化。 计算的结果给出了一个相当简洁的关系式：

因此前述不等式可以改写成：

不难看到——与前面运用主能量条件证明 ∫dS^kΨ⁺D_kΨ ≥ 0 时所用的推理相类似——由于 p_iγ⁰γⁱ 的本征值为 ±‖p‖， 而且 ε≠0， 因此上述不等式意味着 E ≥ ‖p‖， 即 ADM 能量动量非类空。 这样， Witten 就完成了正质量定理的证明。 正质量定理也因此有了两种截然不同的证明。

七. 讨论

与数学物理中的很多其它定理一样， 正质量定理的证明并不代表这一研究方向的终结。 事实上， 正质量定理被证明之后， 很快就有物理学家将注意力转向了它的推广。 在本节中我们将对这方面的工作做一个简单介绍。

Witten 的证明发表后隔了两年， 英国理论物理学家 Gary Gibbons (1946-) 等人就将他的证明推广到了渐近平直时空中包含黑洞的情形 (Schoen 与 Yau 的证明则无需推广就直接适用于 Gibbons 等人所考虑的情形)。 他们并且还证明了， 如果所涉及的黑洞含有电荷与磁荷， 则 ADM 质量 m ≥ (Q_e² + Q_m²) (其中 Q_e 和 Q_m 分别为总电荷与总磁荷)。 Gibbons 等人的证明完全沿用了 Witten 的方法， 只是在协变导数中加入了电磁相互作用项。 不过他们的结果有赖于一个附加条件， 即电荷密度与磁荷密度的平方和不大于 (不包括电磁场的) 物质能量密度的平方。 稍后， Osvaldo Moreschi 和 George Sparling 将该结果进一步推广为一个带参数的不等式族。 不过， 他们的这一工作更多地只是一种纯粹的数学推广， 而并无显著的物理意义。

渐近平直时空中包含有黑洞时， 一个比 Gibbons 等人所考虑的更重要的命题是 Penrose 于 1973 年提出的 Penrose 猜想 (Penrose Conjecture)， 也叫 Penrose 不等式 (Penrose inequality)， 它可以表述为：

其中 M 为 ADM 质量， A 为所有黑洞的最外部视界面积之和。 假如所讨论的黑洞为质量 m 的 Schwarzschild 黑洞， 则 A=16πm²， Penrose 猜想可以简化为 M ≥ m， 即如果渐近平直时空中存在一个质量为 m 的 Schwarzschild 黑洞， 则整个时空的 ADM 质量必定不小于 m。 与正质量定理所包含的 ADM 质量为零意味着时空为 Minkowski 时空这层含义相类似， Penrose 猜想要求等号只在时空为 Schwarzschild 时空时才成立。 显然， Penrose 猜想比 (包含黑洞的) 正质量定理 (M ≥ 0) 更强。 在 后文 中我们将会看到， Penrose 猜想与所谓的宇宙监督假设颇有渊源。

Penrose 猜想提出后隔了二十几年， 2001 年， 数学物理学家们在证明一类特殊情形——即渐近平直超曲面的曲率标量 R ≥ 0 的情形——下的 Penrose 猜想上取得了重要进展。 我们在 第五节 中介绍 Schoen 与 Yau 的证明时曾经介绍过 R ≥ 0 这一条件， 它是 Σ 为极大超曲面情形下主能量条件的推论。 数学物理学家们通常把满足这一额外条件的 Penrose 猜想称为 Riemannian Penrose 猜想 (Riemannian Penrose conjecture)^[注四]。 1997 年， Gerhard Huisken 和 Tom Ilmanen 在时空中只包含一个黑洞 (确切地说是时空只包含一个单连通视界) 的情形下证明了 Riemannian Penrose 猜想。 两年后 (1999 年)， Hubert Bray 给出了更普遍情形下 Riemannian Penrose 猜想的证明^[注五]。 但迄今为止还没有人能够将 R ≥ 0 这一额外条件去除， 因此一般情形下的 Penrose 猜想仍未得到证明。

对正质量定理的另一类推广是试图将之推广到四维以上的时空。 这也是一个迄今尚未完全解决的问题。 在我们介绍过的两种正质量定理的证明中， Schoen 和 Yau 的证明往高维方向可以直接推广到八维及八维以下时空， 但对于高于八维的时空， 他们的方法会遭遇迄今无人能够克服的奇点困扰^[注六]； 而 Witten 的证明所依赖的旋量结构在高维时空中并不普遍存在， 因而也不能直接推广到高维情形。 尽管困难重重， 人们仍在这方面作着艰难努力。 2006 年， Joachim Lohkamp 发表了一篇文章， 试图将 Schoen 和 Yau 的证明推广到八维以上时空。 可惜的是， 在这一工作中他不得不重新引进了 R ≥ 0 这一阴魂不散的额外条件。 这表明， 即便他的证明本身无误， 其结果也并不具有普遍性。

除上面提到的推广外， 数学物理学家们还考虑了在某些特定的非渐近平直时空——比如渐近 AdS 时空 (Anti-de Sitter spacetime)——中的正质量定理。 另外， 除了 Schoen 和 Yau 以及 Witten 的经典证明外， 也有人尝试用其它方法来证明正质量定理。 比如 Penrose、 Rafael Sorkin 和 Eric Woolgar 在 1993 年提出过一种以时空的因果结构 (具体地讲是以类光测地线的性质) 为基础的新证明^[注七]。 这些我们就不在这里介绍了。

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注释

1. 需要强调的是， 超引力理论及 Grisaru 的猜测对 Witten 的证明虽然有着启示作用， 但 Witten 的证明并不依赖于超引力理论或 Grisaru 的猜测在现实世界中的适用性。 也正因为如此， 尽管超引力理论的 ADM 质量非负——如我们在 第四节 中所说——只是一个形式上的结果， 它能在经典极限下过渡为经典广义相对论中的正质量定理也只是一个猜测， 但 Witten 对正质量定理的证明却是一个严格证明。
2. 这里略去了对我们的介绍没有实质影响的常数因子， 不同文献对这类因子的约定各不相同。
3. 如果 ε=0， 则可以证明不存在满足上述 Dirac 方程的非平凡解。
4. 相应地， 满足这一额外条件的正质量定理也常被称为 Riemannian 正质量定理。 不过德国数学家 Bernhard Riemann (1826-1866) 跟这些冠着他名字的结果并没有直接关系。
5. 这里所说的时间——即 1997 年和 1999 年——是这两项工作实际完成的时间。 它们直到 2001 年才正式发表在知名学术刊物《微分几何杂志》(Journal of Differential Geometry) 上， 其中 Bray 的文章发表在 9 月刊上， Huisken 和 Ilmanen 的文章发表在 10 月刊上。
6. 2007 年 5 月， Bray 与 Dan Lee 采用了类似于 Schoen 和 Yau 的技巧， 将 Bray 本人所证明的 Riemannian Penrose 猜想也推广到了八维及八维以下时空。
7. 他们的这一工作响应者寥寥无几， 除作者之一的 Woolgar 本人曾试图对这一证明进行推广外， 极少有其它文献提及这一工作。

二零零七年十一月十二日写于纽约
二零零七年十二月一日发表于本站
二零一三年四月八日最新修订
https://www.changhai.org/

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