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正质量定理简介 (三)

- 卢昌海 -

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四. 正质量定理

在 上节 中， 我们定义了 ADM 质量。 在最简单的情况下， ADM 质量是很容易计算的。 作为练习， 读者不妨计算一下 Schwarzschild 时空的 ADM 质量， 以验证它与 Schwarzschild 度规中质量参数 m 的等同性。 自 ADM 质量被提出以来， 物理学家们一直有一个猜测， 那就是 ADM 质量作为一个孤立体系的总能量， 应该是非负的。 这个猜测被称为正质量猜想。 20 世纪 70 年代末 80 年代初， 正质量猜想被 Schoen (曾经是 Yau 的学生)、 Yau 及美国数学物理学家 Edward Witten (1951-) 所证明， 从而成为了正质量定理。

正质量定理: 一个孤立体系若其物质分布满足主能量条件， 则其 ADM 质量非负。

在正质量定理中， 孤立体系如我们在 第一节 中所说， 是通过渐近平直时空来定义的。 为了使 ADM 质量本身有定义， 正质量定理隐含了一个条件， 那就是时空中存在具有良好解析性质的渐近平直三维类空超曲面 Σ。 正质量定理是一个有很大普适性的定理， 这普适性主要体现在两个方面： 一是物质分布只需满足主能量条件， 而无需附加更精细的限制； 二是 Σ 的拓扑结构可以有很大的复杂性， 比如说它可以包含不止一个渐近平直区域， 并且各个渐近平直区域中的 ADM 质量可以彼此不同 (这种时空的一个例子是我们以后将要介绍的 虫洞)。 另外要说明的是， 所谓 ADM 质量非负， 更 “协变” 地讲是指 ADM 能量动量非类空。

在文献中， 正质量定理还包含另外一层含义 (我们将不展开讨论)， 那就是如果 ADM 质量为零 (在存在不止一个渐近平直区域的情形下， 则如果 ADM 质量在其中一个渐近平直区域为零)， 那么 Σ 必定是三维 Euclid 空间， 而时空本身则必定是 Minkowski 时空。 这表明， Minkowski 时空不仅是所有时空中能量最低的， 而且是具有最低能量值的唯一时空。 这一点对于确保 Minkowski 时空的稳定性有很重要的意义^[注一]， 同时它也意味着所有非平凡渐近平直时空的 ADM 质量都是正的， 这是正质量定理中 “正” 字的含义所在。

正质量定理的证明花费了数学家和物理学家们整整 20 年的时间， 它的证明者 Yau 和 Witten 由于其在证明这一定理及若干其它领域中的卓越贡献， 于 1982 和 1990 年先后获得了有 “数学诺贝尔奖” 之称的 Fields 奖 (Fields Medal)。 这些事实都说明， 正质量定理是一个艰深的数学问题， 它的证明是第一流的数学成就。 但另一方面， 从物理上讲， 一个孤立体系——尤其是经典意义下的孤立体系——的总能量非负难道不应该是显而易见的结果吗？ 事实上， 在经典物理学的任何其它分支中， 都从未出现过如此艰深的正质量定理， 却唯独在广义相对论中出现了例外， 这是为什么呢？ 定性地讲， 一个孤立体系——哪怕是经典意义下的孤立体系——的总能量非负之所以不像想象的那样显而易见， 是因为物质之间的引力结合能是负的。 在 Newton 引力理论中， 一个孤立点质量产生的引力场的能量不仅是负的， 而且可以趋于负无穷， 这样的孤立体系的总能量也完全可以是负的^[注二]。 由此可见， 类似于正质量定理这样的结果在 Newton 引力理论中是不存在的， 孤立体系的总能量非负非但不是显而易见的结果， 而且还是广义相对论有别于 Newton 引力理论的一个重要特征 (请读者想一想， 电磁理论中也存在负的相互作用能， 为什么却没有造成同样的困难？)。

细心的读者也许会提出这样一个问题： 我们在本节一开始曾经提到， Schwarzschild 时空的 ADM 质量正好等于 Schwarzschild 度规的质量参数 m。 如果我们将这个质量参数取为负的， 即 m<0， 不就可以得到一个负的 ADM 质量了吗？ 从单纯的数学计算上讲情况的确如此。 但是， m<0 与 m≥0 的 Schwarzschild 时空之间存在着一些本质差异。 对于我们所讨论的 ADM 质量来说， 最重要的差异在于： 在 m<0 的 Schwarzschild 时空中， 所有渐近平直三维类空超曲面都会经过奇点 r=0， 从而破坏 ADM 质量的定义 (m≥0 的 Schwarzschild 时空中则存在不经过奇点的渐近平直三维类空超曲面， 从而使 ADM 质量有良好的定义)^[注三]。 此外， 我们在 第二节 的末尾曾经提到， 在研究广义相对论动力学的时候， 人们往往在时空流形上附加一定的因果条件， 比如全局双曲条件。 m<0 的 Schwarzschild 时空很不幸地会破坏这类条件。 从这个意义上讲， 它的动力学本身就缺乏良好的定义， 更遑论 ADM 质量。 如果要追根溯源的话， 那么这一切的困难都是由奇点 r=0 造成的。 对于 m<0 的 Schwarzschild 时空来说， 这一奇点是一种很特殊的奇点， 被称为裸奇点， 这是一种人见人怕 (甚至连上帝都怕) 的东西， 我们将会在下一个专题——宇宙监督假设简介——中加以讨论。 有读者可能会进一步问： 既然问题出在奇点上， 那么如果我们将点源换成非奇异的物质分布， 是否就可以绕开这些问题呢？ 答案是否定的， 因为 m<0 的 Schwarzschild 时空无法与任何满足主能量条件的物质分布相匹配 (从这里我们可以看到能量条件对于正质量定理的意义)。 因此， m<0 的 Schwarzschild 时空并不满足正质量定理所要求的物理条件， 从而不构成针对这一定理的反例。

就象数学或物理中几乎所有的困难问题一样， 正质量定理在其最终证明出现之前， 就曾经有数学家和物理学家给出过不完整或特殊情形下的证明。 这方面最早的工作甚至出现在有关 ADM 质量的主要论文发表之前。 早在 1959 年， 美国普林斯顿大学 (Princeton University) 的当时还刚刚成为博士的物理学家 Dieter Brill 就在 Σ 上的初始条件轴对称的情形下， 对一类特定的引力波进行了研究 (这类引力波有时被后人称为 Brill 波)， 并证明了其能量非负。 1968 年， Brill 与 Deser (即 “ADM” 中的 “D”) 合作证明了当 Σ 上的初始条件与平坦条件 (即 Minkowski 时空下的初始条件) 之差的二阶以上效应可以忽略时， 正质量定理成立 (这一结果正是我们在 [注一] 中提到的结果， 即 Minkowski 时空起码是准稳定的)。 20 世纪 70 年代， Clement Leibovitz、 Werner Israel (1931-)、 Misner (即 “ADM” 中的 “M”) 等人先后证明了在 Σ 上的初始条件球对称的情形下， 正质量定理成立。 1976 年， 法国数学家 Yvonne Choquet-Bruhat (1923-) 和加拿大数学家 Jerrold Marsden (1942-2010) 对 Brill 和 Deser 1968 年的结果进行了推广， 证明了当 Σ 上的初始条件与平坦条件之差在某种特定的泛函分析意义上 “足够小” (该条件比 Brill 和 Deser 所要求的 “二阶以上效应可以忽略” 更弱) 时， 正质量定理成立。 而 1977 年， Maria Leite 则给出了 Σ 可以等度规嵌入 R⁴ 这一特殊情况下正质量定理的证明。 上面这些研究都是在纯广义相对论的范围内进行的， 其中比较数学化的工作都侧重于从几何角度进行分析， 在这一方向上的集大成者是 Schoen 与 Yau， 他们最终给出了正质量定理的第一种完整证明。

除上述结果外， Deser 和智利物理学家 Claudio Teitelboim (1947-) 于 1977 年在当时还很新颖的超引力 (supergravity) 理论中发现了一个对于正质量定理的研究有着重要意义的结果， 那就是超引力理论的 ADM 质量非负。 这个结果对于广义相对论研究者来说很有些出乎意料， 因为超引力理论从总体上讲是一个远比广义相对论复杂的理论， 但就 ADM 质量非负这一特定结果而言， 其证明从表观上看， 却很奇妙地要比广义相对论中正质量定理的证明容易得多^[注四]。 之所以出现这样的结果， 是由于在超引力理论中， 能量算符可以表示为在纯广义相对论中不存在的旋量性超荷算符 (supercharge) 的平方， 从而具有形式上的非负性。 1978 年， Marc Grisaru 猜测这一结果可以在适当的极限下过渡为广义相对论中的正质量定理。 超引力理论的这一特点——尤其是 Grisaru 的猜测——给了 Witten 很大的启示， 使之于 1981 年给出了正质量定理的第二种证明。

五. Schoen 与 Yau 的证明概述

从几何角度对正质量定理的研究自 1979 年起进入了一个大收获的时期。 那一年， Schoen 与 Yau 发表了一篇长达 32 页的论文， 在假定 Σ 满足一个特定条件 trK = 0 的基础上证明了正质量定理。

trK = 0 这一条件在正质量定理的研究中是很常用的。 我们在 上节 中提到的很多工作， 从 Brill 在 20 世纪 50 年代末年的工作， 到 Brill 和 Deser、 Choquet-Bruhat 和 Marsden 在 60-70 年代的工作， 都用到了这一条件。 我们首先来看一看， 这个条件的几何意义是什么？

读者也许还记得， 我们在 第二节 中介绍 K_ij 的几何意义时， 曾表示要 “为后文介绍 Schoen 与 Yau 的证明埋个伏笔”。 这个 “伏笔” 是什么呢？ 它就是我们在那里介绍的 K_ij 与测地线束形变之间的相似性， 以及 K_ij = n_i;j 这一结果。 从这些结果立刻可以看到， trK——有时被称为平均外曲率 (mean extrinsic curvature)^[注五]——作为 n_i;j 的迹， 对应的是测地线束形变中描述测地线束会聚或发散趋势的膨胀标量 θ (参阅 奇点与奇点定理简介 的 第二节)， 而 trK = 0 表示的显然是测地线束既不会聚也不发散， 换句话说， 其体积取极值。 这个类比表明， Σ (处处) 满足 trK = 0 这一条件意味着三维类空超曲面 Σ 的体积取极值。 进一步的研究表明， 这一极值是极小值。 在微分几何中， 人们将 (处处) 满足 trK = 0 的曲面称为极小曲面， 但在广义相对论的研究中， 它往往被称为极大超曲面 (请读者想一想为什么会出现这样的命名差异？)。 因此， 被 Schoen、 Yau 以及其他研究者所广泛采用的这一条件可以表述为： 时空中存在渐近平直的三维类空极大超曲面。

由于 Schoen 和 Yau 的证明是几何证明， 因此， 他们需要将主能量条件表述为了几何条件。 这可以利用我们在 第二节 中介绍过的 3.2.5 式， 即

来做到。 这两个关系式是 Schoen 和 Yau 的论文的起点， 也是本文前两节为读者理解 Schoen 和 Yau 的论文所做的主要铺垫。 利用这两个关系式， 主能量条件所要求的物质能流密度矢量非类空 ρ ≥ |JⁱJ_i|^1/2 可以被表示为有关几何结构 h_ij 和 K_ij 的约束条件。 由于主能量条件意味着物质能量密度 ρ ≥ 0， 在 Schoen 和 Yau 所考虑的 trK = 0 的情形下， 这显然只有在 ⁽³⁾R ≥ 0 的情况下才能满足 (请读者自行证明这一点)。 因此在 trK = 0 的情形下， 主能量条件要求 ⁽³⁾R ≥ 0， 这个几何条件在正质量定理的几何研究中有着重要作用， 在 Schoen 和 Yau 的证明中也被反复用到。

Schoen 和 Yau 的证明采用的是反证法的思路， 即通过假定 ADM 质量小于零来推出矛盾， 其过程大致分为三步^[注六]： 首先， 他们证明了如果 ADM 质量小于零， 那么在 Σ 中可以构造出一个特殊的二维极小曲面 S， 它在一个紧致集之外满足 ⁽³⁾R > 0。 在这一步中， 他们用到的是 Σ 渐近平直这一特点， 以及 ⁽³⁾R ≥ 0 这一来自主能量条件的推论。 由于 S 是极小曲面， 因此 S 的面积泛函的二次变分必定非负， 利用这一点， Schoen 和 Yau——作为第二步——证明了 S 的 Gauss 曲率 K 在曲面上的积分 ∫KdS > 0。 在这一步中， 他们再次用到了 ⁽³⁾R ≥ 0 这一几何条件， 以及第一步所得到的在 S 上的一个紧致集之外 ⁽³⁾R > 0 这一构造性质。 最后， 为了推出矛盾， Schoen 和 Yau 用两种不同的方法——其中只用到了 Σ 的渐近平直性以及 S 的构造性质——证明了一个与 ∫KdS > 0 完全相反的结果， 即 ∫KdS ≤ 0。 这一矛盾的出现表明 ADM 质量小于零这一假设与证明过程中所用的其它假设不相容。 由于证明过程中所用的其它假设都是正质量定理本身的假设 (比如 Σ 的渐近平直性) 或其推论 (比如 ⁽³⁾R ≥ 0)， 因此这一矛盾的出现表明在正质量定理所假设的条件下， ADM 质量必须非负。 这样 Schoen 和 Yau 就完成了在 trK = 0 这一特定条件下正质量定理的证明。

Schoen 和 Yau 的这一证明无疑是一个很重要的结果， 但由于它依赖于 trK = 0， 或者说 Σ 是极大超曲面这一额外条件， 因此与正质量定理的完整证明还有距离。 如我们在前面所述， trK = 0 这一条件在正质量定理的早期研究中是经常用到的， 在某些研究中人们几乎已将之视为正质量定理的前提之一。 在 Schoen 和 Yau 的证明问世前不久， Choquet-Bruhat 等人曾对这一条件进行了研究， 确立了它在一系列合理情形下的有效性。 但是， 这充其量只能说明这一条件具有一定的合理性， 却不足以确立其普遍有效性。 要想得到一个真正普遍的正质量定理， 这一条件必须去除。 但这一条件一旦去除， 从主能量条件中就无法得到 ⁽³⁾R ≥ 0 这一在正质量定理的几何研究中被反复用到的几何条件了 (请读者自己证实这一点)， 从而上面所介绍的 Schoen 和 Yau 的证明， 以及他们之前某些其他人的工作， 就都不复成立了。 因此这看似一步之差的细节， 实际上是牵一发动全身， 其修补难度是非常大的。 不过 Schoen 和 Yau 在发表 1979 年的论文时， 已经对整个证明有了全面构想。 他们在发表那篇论文的同一年还发表了一篇摘要性的短文， 概述了在更普遍 (即不要求 trK = 0) 的情况下证明正质量定理的思路。 在正质量定理被完全证明后， 人们有时会回溯到这一年， 即 1979 年， 将之作为正质量定理被证明的年份。 但事实上， Schoen 和 Yau 的证明细节直到两年后的 1981 年才正式发表。 在同一年的早些时候， 他们还发表了另一篇短文， 将正质量定理的表述由 ADM 质量非负推广为 ADM 能量动量非类空。

Schoen 和 Yau 的完整证明发表后的第二年， 曾在相关领域中做过研究的美国宾州大学 (University of Pennsylvania) 的微分方程及微分几何学家 Jerry Kazdan 撰写了一篇介绍正质量定理的文章， 对于 Schoen 和 Yau 1981 年的证明， Kazdan 写下了一句简短的评语： “任何充分的概述都将太长”。 现在回过头来品味四分之一个世纪前的这句评语， 我们感觉到情况并未发生太大变化， Schoen 和 Yau 的证明在很大程度上维持了当初的复杂性。 因此我们将接受 Kazdan 的忠告， 不试图对它做任何 “充分的概述”。 Schoen 和 Yau 在 1981 年的论文中所做的， 用最简单——从而很不充分——的话来概述的话， 是证明了在保持 ADM 质量不变的情况下， 可以将普遍情形下的初始数据集 (Σ, h_ij, K_ij) 变形为满足 trK = 0 这一条件的初始数据集。 做到了这一点， 普遍情形就被转化成了已经被证明的 trK = 0 的情形。 这样， Schoen 和 Yau 就完成了正质量定理的证明。

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注释

1. 早在正质量定理被证明之前， 人们就已经知道， Minkowski 时空起码是准稳定的 (quasi-stable)， 即它的能量相对于其它时空是 (泛函意义下的) 局部极小值。 这是因为对 Minkowski 时空的二阶微扰是所谓的引力波， 它的能量早已被证明是正的。 不过， 如果正质量定理不成立， 那么 Minkowski 时空仍有可能是不稳定的， 因为它有可能会通过非微扰过程衰变为 ADM 质量为负的时空。
2. 这里我们假定 Newton 引力只取决于物质， 而不受引力场自身能量的影响， 这是 Newton 引力作为线性理论的重要特点。
3. 我们在 奇点与奇点定理简介 的 第一节 中曾经说过， 奇点并不存在于物理时空中， 因此这里所说的 “经过奇点” 实际上是指无限接近 (但不包含) 奇点。 感兴趣的读者可以思考一下， 渐近平直三维类空超曲面无限接近 (但不包含) 奇点 r=0 为什么会破坏 ADM 质量的定义？
4. 严格讲， 超引力理论中的正质量定理只是在形式上得到了证明， 它的真正证明其实还根本不存在。 这是因为超引力理论既不是一个经典理论， 也不是一个可重整的量子理论， 它的真正含义， 以及它的包括能量动量在内的许多物理量的严格定义， 直到今天也还是有待澄清的问题。 因此只能说其证明 “从表观上看” 容易得多。
5. 平均外曲率的定义有时与 trK 差一个常系数。
6. 我们这里所述的步骤与 Schoen 和 Yau 的原始论文对证明步骤的分解略有差异， 本文所述的第一步相当于 Schoen 和 Yau 原始论文中前两步的合并， 而 Schoen 和 Yau 原始论文中的第三步则被我们分解成了两步。

二零零七年九月七日写于纽约
二零零七年九月七日发表于本站
二零一三年四月七日最新修订
https://www.changhai.org/

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