阿基米德的方法

除了自己的无知，我什么都不懂。－苏格拉底

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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 9 期 (科学出版社出版)，发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明，但不含注释。

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阿基米德的方法

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

在阿基米德对科学的贡献中，用 “穷竭法” 计算面积和体积是常被提及的——在一定程度上可视为微积分思想的滥觞，从而是极重要的。不过这个系列是随笔而非通史，独特性重于全面性，故而倾向于不谈——或少谈——别人已谈得很多的东西。

我们来谈点别的。

阿基米德的杠杆原理 (principle of the lever) 也是常被提及的，不过阿基米德是如何推导这一原理的，多数读者大概并不清楚，我们就从这里切入。沿这个话题，我们还将介绍阿基米德用杠杆原理计算球和锥体的体积，这是现代读者极少有机会接触的奇异而精彩的推理。本文的介绍将略带 “技术性细节”，还是那句话，希望我的 21 世纪读者不至于被本质上是公元前的 “技术性细节” 吓跑。

在《论平面图形的平衡》一书的开篇，阿基米德给出了有关杠杆平衡的若干公设，其中的前三条为 (本文中的所有命题及证明皆以现代术语作了转述，文中的平衡皆指杠杆的平衡，距离皆指离杠杆支点的距离)：

相同的质量在相同的距离上相互平衡，相同的质量在不同的距离上不会平衡，而会往距离大的一侧倾斜。
若两个质量相互平衡，则往一个质量上添加质量会造成往添加质量的一侧倾斜。
若两个质量相互平衡，则从一个质量中去除质量会造成往质量不变的一侧倾斜。

利用这些公设，阿基米德证明了若干命题，其中的命题 3 是一个有关杠杆的定性结论：

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注释

为节省篇幅，同时也为了不偏离主线，对这两个命题就不作介绍了。不过有一点值得说明，那就是阿基米德在证明这两个命题时援引了自己证明过的一个结论，即两个物体的联合质心在各自质心的连线上，但该命题在现存的阿基米德著作中并未找到，从而可视为失传著作的证据或线索。
细心的读者也许会抱怨此证明的不甚严谨，因为由公设所谈论的质量到此处反复使用的质心，隐含了在此类问题中——起码在质量对称分布时——可用质心取代质量分布的思想，却并未以足够清晰的方式加以论述或列为公设，从而有一定的逻辑断层。这种抱怨是有道理的，不过这有可能是著作不全造成的，一般认为 (并且如 [注一] 所显示的)，阿基米德有关质心的某些论述失传了。
这里其实隐含了一些假设，感兴趣的读者请想一想，隐含了什么假设？
这其实不是一个完全平庸的推论，感兴趣的读者请试着证明一下。
显然，这里隐含了将截面视为薄层，将体积视为薄层之和的类似于积分的思路。
参阅欧几里得与《几何原本》 (下)。
用现代读者熟悉的公式来表示，半径为 r 的球的体积为 (4/3)πr³，以其大圆面为底，以其半径为高的圆锥的体积为 (1/3)πr³，以其大圆面为底，以其直径为高的圆柱的体积为 2πr³，阿基米德所证明的结果是一目了然的。但是，那些公式本身的证明并非轻而易举，阿基米德正可视为其鼻祖之一。

参考文献

E. J. Dijksterhuis, Archimedes (Princeton University Press, 1987).
T. L. Heath, The Works of Archimedes (Cambridge University Press, 1897).
T. L. Heath, The Method of Archimedes: Recently Discovered by Heiberg (Cambridge University Press, 1912).
A. W. Hirshfeld, Eureka Man: The Life and Legacy of Archimedes (Walker & Company, 2004).
G. Sarton, Hellenistic Science & Culture in the Last Three Centuries B.C. (Dover Publications, 1959).
S. Stein, Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka? (The Mathematical Association of America, 1999).

2019 年 7 月 16 日完稿
2019 年 10 月 1 日发布
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