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本文发表于《Newton 科学世界》 2019 年第 9 期 (科学出版社出版), 发表稿含编辑自行配置的插图及插图说明, 但不含注释。

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阿基米德的方法

- 卢昌海 -

本文是替《Newton 科学世界》杂志撰写的科学史专栏随笔

在阿基米德对科学的贡献中, 用 “穷竭法” 计算面积和体积是常被提及的——在一定程度上可视为微积分思想的滥觞, 从而是极重要的。 不过这个系列是随笔而非通史, 独特性重于全面性, 故而倾向于不谈——或少谈——别人已谈得很多的东西。

我们来谈点别的。

阿基米德的杠杆原理 (principle of the lever) 也是常被提及的, 不过阿基米德是如何推导这一原理的, 多数读者大概并不清楚, 我们就从这里切入。 沿这个话题, 我们还将介绍阿基米德用杠杆原理计算球和锥体的体积, 这是现代读者极少有机会接触的奇异而精彩的推理。 本文的介绍将略带 “技术性细节”, 还是那句话, 希望我的 21 世纪读者不至于被本质上是公元前的 “技术性细节” 吓跑。

在《论平面图形的平衡》一书的开篇, 阿基米德给出了有关杠杆平衡的若干公设, 其中的前三条为 (本文中的所有命题及证明皆以现代术语作了转述, 文中的平衡皆指杠杆的平衡, 距离皆指离杠杆支点的距离):

  1. 相同的质量在相同的距离上相互平衡, 相同的质量在不同的距离上不会平衡, 而会往距离大的一侧倾斜。
  2. 若两个质量相互平衡, 则往一个质量上添加质量会造成往添加质量的一侧倾斜。
  3. 若两个质量相互平衡, 则从一个质量中去除质量会造成往质量不变的一侧倾斜。

利用这些公设, 阿基米德证明了若干命题, 其中的命题 3 是一个有关杠杆的定性结论:

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注释

  1. 为节省篇幅, 同时也为了不偏离主线, 对这两个命题就不作介绍了。 不过有一点值得说明, 那就是阿基米德在证明这两个命题时援引了自己证明过的一个结论, 即两个物体的联合质心在各自质心的连线上, 但该命题在现存的阿基米德著作中并未找到, 从而可视为失传著作的证据或线索。
  2. 细心的读者也许会抱怨此证明的不甚严谨, 因为由公设所谈论的质量到此处反复使用的质心, 隐含了在此类问题中——起码在质量对称分布时——可用质心取代质量分布的思想, 却并未以足够清晰的方式加以论述或列为公设, 从而有一定的逻辑断层。 这种抱怨是有道理的, 不过这有可能是著作不全造成的, 一般认为 (并且如 [注一] 所显示的), 阿基米德有关质心的某些论述失传了。
  3. 这里其实隐含了一些假设, 感兴趣的读者请想一想, 隐含了什么假设?
  4. 这其实不是一个完全平庸的推论, 感兴趣的读者请试着证明一下。
  5. 显然, 这里隐含了将截面视为薄层, 将体积视为薄层之和的类似于积分的思路。
  6. 参阅 欧几里得与《几何原本》 (下)
  7. 用现代读者熟悉的公式来表示, 半径为 r 的球的体积为 (4/3)πr3, 以其大圆面为底, 以其半径为高的圆锥的体积为 (1/3)πr3, 以其大圆面为底, 以其直径为高的圆柱的体积为 2πr3, 阿基米德所证明的结果是一目了然的。 但是, 那些公式本身的证明并非轻而易举, 阿基米德正可视为其鼻祖之一。

参考文献

  1. E. J. Dijksterhuis, Archimedes (Princeton University Press, 1987).
  2. T. L. Heath, The Works of Archimedes (Cambridge University Press, 1897).
  3. T. L. Heath, The Method of Archimedes: Recently Discovered by Heiberg (Cambridge University Press, 1912).
  4. A. W. Hirshfeld, Eureka Man: The Life and Legacy of Archimedes (Walker & Company, 2004).
  5. G. Sarton, Hellenistic Science & Culture in the Last Three Centuries B.C. (Dover Publications, 1959).
  6. S. Stein, Archimedes: What Did He Do Besides Cry Eureka? (The Mathematical Association of America, 1999).

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