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欧几里得与《几何原本》 (下)

- 卢昌海 -

<< 接中篇

在《几何原本》的煌煌 13 卷中， 内容分布大体是这样的： 第 1~4 卷主要为平面几何， 但间杂了数的理论——比如第 2 卷给出了乘法对加法的分配律等， 并求解了若干代数方程； 第 5~6 卷为比例理论及相似理论， 但同样间杂了数的理论， 且其中第 5 卷关于数有很深刻的洞见； 第 7~9 卷以对数学分支的现代分类观之， 是对几何与数的相对比例的的逆转——转入了以数为主的数论范畴， 其中包括了对 “素数有无穷多个” (第 9 卷命题 20) 等重要命题的证明； 第 10 卷延续了以数为主的局部 “主旋律”， 对 “不可公度量” (incommensurable)——也就是无理数——做了详细讨论^[注一]； 第 11~13 卷重返几何， 但由平面走向立体， 以对包括 “柏拉图正多面体” (Plato solid) 在内的诸多立体几何话题的探讨结束了全书。

由于前文对《几何原本》的介绍主要集中在几何方面， 在余下的篇幅里， 我们将改换视角， 跟这部恢宏巨著中几何以外的内容做一点 “亲密接触”——当然， 依然是在概述的层面上。

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注释

1. 不过值得指出的是， 除 “不可公度量” 外， 《几何原本》也定义了 “无理数” (irrational) 概念， 但《几何原本》定义的 “无理数” 要求在长度和面积上都不可公度， 跟我们如今所说的 “无理数” 很不相同。 比如 √2 是我们所说的无理数， 也是《几何原本》里的不可公度量， 却不是《几何原本》里的无理数——因为以它为边的面积是 2， 并非不可公度， 从而不满足 “无理数” 定义。 另外需要指出的是， 《几何原本》里的 “不可公度量” 和 “无理数” 都是相对的， 也就是说， 是在若干个量互为 “不可公度量” 或 “无理数” 的意义上定义的。
2. 这里假定了 A, B, C, D 都是正的， 对于《几何原本》的第 5 卷来说这是没问题的——因为所有的量都是线段长度， 从而必定是正的。
3. 当然， 史学界关于欧几里得本人对第 5 卷的贡献有多大就如对他在整部《几何原本》中的贡献有多大一样， 是有争议的。 比如有一种看法认为这一卷的很多内容来自公元前 4 世纪的古希腊数学家欧多克索斯 (Eudoxus)， 从而不能完全归功于欧几里得。 不过最起码， 欧几里得在构筑这一卷的逻辑框架上的贡献就如他对整部《几何原本》的此类贡献一样， 是得到公认的。
4. 不过由于《几何原本》中的线段往往是通过所谓 “尺规作图” (ruler-and-compass construction) 的方法得到的， 其对无理数的表示能力是有限的。 困扰数学界达两千多年的 “尺规作图三大难题” 便跟这种表示能力的有限有关， 这是后话。
5. 以证明圆的面积正比于直径的平方为例， 欧几里得的证明思路是首先引进圆的内接正方形， 证明其面积超过圆面积的一半， 然后对正方形四边与圆弧所围的四块弓形的每块引进内接等腰三角形， 证明其面积超过弓形面积的一半， 如此连续进行， 便可由第 10 卷命题 1 推知剩余面积将变得任意小——也就是圆面积被 “穷竭” 了。 至于所要证明的面积正比于直径的平方， 则可转化为对所涉及的内接正方形和三角形的面积正比于直径的平方的证明。
6. 如果 “学习欧几里得” 是指学习《几何原本》， 则所谓 “第五个命题” (the fifth proposition) 该是指第 1 卷命题 5， 即 “等腰三角形的两个底角相等”。 这个命题其实一点也不难， 不过在中世纪时， 却一度被称为 “驴桥” (Bridge of Asses)， 也即对愚者而言的难关。 “被普遍认为是困难的” 大约是那时留下的名声， 在很大程度上反映了中世纪思维水准的低下。

参考文献

1. Complete Dictionary of Scientific Biography (Charles Scribner's Sons, 2008).
2. J. Christianidis (eds.), Classics in the History of Greek Mathematics (Springer, 2004).
3. Euclid, The Thirteen Books of the Elements, 3 vols. (Cambridge University Press, 1908).
4. W. B. Frankland, The Story of Euclid (George Newnes Limited, 1902).
5. T. Heath, A History of Greek Mathematics, vol. 1, (Oxford University Press, 1921).
6. M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, vol. 1 (Oxford University Press, 1972).
7. G. E. R. Lloyd, Greek Science after Aristotle (W. W. Norton & Company, 1973).
8. G. Sarton, Hellenistic Science & Culture in the Last Three Centuries B.C. (Dover Publications, 1959).
9. A. Wedberg, A History of Philosophy, vol. 1 (Oxford University Press, 1982).
10. [荷] 安国风, 《欧几里得在中国》 (凤凰出版传媒集团, 2008).

2019 年  1 月 20 日完稿
2019 年  4 月  1 日发布
https://www.changhai.org/

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