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弗雷格的算术

- 卢昌海 -

“算术” 一词按《辞海》的定义是 “数学中最基础与初等的部分”。 《辞海》虽不是学术辞典， 但对 “算术” 一词同时用了 “基础” 和 “初等” 两个形容倒是颇为恰当的。 相比之下， 维基百科 (wikipedia) 的 “算术” 定义——“最古老、 最简单的数学分支” (the oldest and most elementary branch of mathematics)——仅仅包含了 “初等” 这一层含义， 就略显欠缺了^[注一]。 当然， 这也不怪维基百科， 因为普通现代人听到 “算术” 一词所想到的大约确实只是 “初等” 这一层含义。 不过对数学家、 逻辑学家和哲学家来说， 起码有过一段时间， “算术” 一词中的 “基础” 之意是很被凸显的。

戈特洛布·弗雷格 (1848-1925)

在拙作 罗素的 “大罪”——《数学原理》 中， 曾经提到过 “数学基础” (foundations of mathematics) 这一研究领域的几个主要流派， 并着重介绍了其中的 “逻辑主义” (Logicism) 流派中的集大成人物罗素 (Bertrand Russell)， 以及他和怀特海 (Alfred North Whitehead) 合力打造的《数学原理》 (Principia Mathematica) 这座逻辑主义的巅峰——虽然巅峰过后几乎是悬崖式的衰落。 在本文中， 我们要介绍逻辑主义的另一位主要人物的著作。 此人名叫弗雷格 (Gottlob Frege)， 是逻辑主义的先驱人物之一， 兼有数学家、 逻辑学家和哲学家的头衔， 是德国人^[注二]。

逻辑主义的核心目标是将数学约化为逻辑。 不过数学实在是一个过于庞大的体系， 虽然在弗雷格从事逻辑主义研究的年代 (19 世纪末和 20 世纪初)， 数学体系的庞大跟如今相比还差得很远， 却也早已不是弗雷格所能驾驭的， 而且当时逻辑本身的表达力也还相当有限。 因此弗雷格将研究的目标指向了在他看来具有基础地位、 同时又相对简单的部分——算术， 试图将算术约化为逻辑^[注三]。

不过在介绍弗雷格的逻辑主义研究之前， 有一个问题值得首先探讨一下。

这一探讨的背景是： 在数学的诸多分支中， 算术通常是被视为最可靠， 甚至具有先验真理性的分支。 这一观点的渊源可远溯至古希腊， 比如毕达哥拉斯 (Pythagoras) 学派的 “万物皆数” (all things are numbers) 及亚里斯多德 (Aristotle) 所主张的算术先于几何。 一些近代和现代数学家也表示或采纳过类似的观点， 比如 “数学王子” 高斯 (Carl Friedrich Gauss) 曾表示算术比几何更可靠， 是 “以纯粹先验的方式成立的” (stands purely a priori)； 德国数学家克罗内克 (Leopold Kronecker) 曾说过一句很著名的话： “整数是上帝创造的， 其余一切都是人类所为” (God made the integers, all else is the work of man)——由于传统的算术是以整数为研究对象的， 因此克罗内克这句话相当于说 “算术是上帝创造的”； 而德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 则将对理论自洽性的证明归纳为 “在几何与物理理论中， 自洽性证明是通过将之转化为算术的自洽性来完成的”， 从而意味着算术在当时的自洽性证明中起着基石作用。

所要探讨的问题则是： 既然人们对算术的可靠性已有如此高的评价， 为何还有人 “不知足”， 试图将算术约化为逻辑？

这种本质上是探求动机的问题当然很难有确切答案， 不过从数学史的角度看， 将算术约化为逻辑的一个重要动机来自分析领域， 其中包括德国数学家魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass)、 戴德金 (Richard Dedekind) 等人对分析基础的研究， 那些研究在当时是有一定争议的——比如弗雷格就对那些研究不太感冒， 而解决争议的思路之一乃是从算术基础入手。 不过更重要的动机则来自一个更具争议性的理论——从 19 世纪 70 年代开始发展起来的德国数学家康托尔 (Georg Cantor) 的无穷集合理论。 康托尔的无穷集合理论部分地也是源自对分析基础的研究——比如试图证明函数傅利叶级数 (Fourier series) 展开的唯一性等。 这一引发高度争议的理论由于含有基数 (cardinal number)、 序数 (ordinal number) 这两个具有整数性质的概念， 使得算术基础问题也在一定程度上被牵扯进了争议之中。

而算术基础一旦成为问题或陷入争议， 则将算术约化为逻辑就成了一条显而易见的出路， 因为可靠性能跟算术相提并论的体系实在少之又少， 这其中逻辑作为推理本身的基础， 几乎称得上是可靠性的 “底线”， 因此算得上是首选。

另一方面， 逻辑本身在当时也已取得了一些重要进展， 比如英国数学家布尔 (George Boole) 在 19 世纪中叶发展了所谓的布尔代数 (Boolean algebra)。 那些进展的本意其实是将逻辑数学化， 但对于将数学逻辑化这一反向的尝试显然也不无裨益， 因为它们显著增强了逻辑的表达力。

弗雷格研究逻辑主义的早期成果之一， 是一本哲学色彩较浓的小册子——《算术的基础》 (The Foundations of Arithmetic)， 出版于 1884 年。 在这本小册子中， 他开宗明义地提到了来自分析领域的挑战： “对函数、 连续性、 极限、 无穷这些概念有更精确地加以界定的必要。 对早已被科学所接受的负数和无理数的可靠性必须作更仔细的考察”， “沿着这些道路， 我们必然会逐渐遇到构成整个算术基础的数的概念， 以及适用于正整数的最简单的命题。”^[注四] 这与上面提到的来自分析领域的动机是一脉相承的。

在《算术的基础》中， 弗雷格提出了一种用逻辑关系定义自然数的办法。 具体地说， 他通过引进 “属于概念 F 的数” (the Number which belongs to the concept F) 这样一种表述方式， 将 (自然) 数约化为了 (逻辑) 概念。 在此基础上， 他进一步将 “两个数相等” 约化为它们所从属的概念之间的一种 (逻辑) 关系——被称为等数关系 (equinumerate)。 两个概念具有等数关系——简称为等数——被定义为满足两个概念的对象 (object) 之间存在一一对应 (one-one correlation)^[注五]。 这种定义 “两个数相等” 的方式被弗雷格回溯到苏格兰哲学家休谟 (David Hume)， 从而逐渐被称为了 “休谟原理” (Hume's principle)。

接着， 弗雷格开始定义具体的自然数： 0、 1、 2…… (弗雷格的自然数是从 0 开始的)。 由于数的定义已被约化为概念， 因此定义一个数等同于为这个数找到一个合适的概念。 弗雷格用来定义 0 的概念是 “不等同于自身” (not identical to itself)。 由于所有概念都等同于自身， 因此不存在任何满足 “不等同于自身” 这一概念的对象， 这确实符合我们对 0 的期待。

弗雷格用来定义 1 的概念是 “等同于 0”。 由于只有 0 等同于 0， 因此满足这个概念的对象只有一个， 从而确实符合我们对 1 的期待。

弗雷格用来定义 2 的概念是 “等同于 0 或 1”， 或者等价地， “从属于由 0 和 1 组成的自然数序列”。 显然， 只有 0 和 1 这两个对象满足这一概念， 从而确实符合我们对 2 的期待。

更一般地， 在 {0, ..., n} 这一 “到 n 为止的自然数序列” 已被定义了的前提之下， 弗雷格用来定义 n+1 的概念是 “从属于 ‘到 n 为止的自然数序列’”。 显然， 只有从 0 到 n 这 n+1 个对象满足这一概念， 从而确实符合我们对 n+1 的期待。

熟悉自然数皮亚诺公理 (Peano axioms) 的读者不难看出， 弗雷格的上述定义与皮亚诺公理存在一定的相似性^[注六]。 比如通过 “到 n 为止的自然数序列” 来定义 n+1 的做法相当于确立了皮亚诺公理里 n 的 “后继数” (successor) 的存在性。 这种相似性从一个侧面体现出了弗雷格定义的效力。 利用这种定义， 弗雷格进一步推导出了自然数的某些基本性质。

不过， 这些还不足以让弗雷格满意， 因为跟后来更流行的偏于抽象和纯形式化的数学观不同， 弗雷格希望自己的体系能回答这样一个问题： 自然数究竟是什么？ 弗雷格虽定义了自然数， 且推导出了它的某些基本性质， 但所有这一切的起点却不过是 “属于概念 F 的数” 这样一种表述方式， 它并未具体告诉我们自然数究竟是什么。

为了能具体确定自然数究竟是什么， 弗雷格借助了逻辑上所谓的 “概念的外延” (extension of concept)。 什么是概念的外延呢？ 它是满足概念的所有对象组成的类 (class)^[注七]。 借助 “概念的外延”， 弗雷格将 “属于概念 F 的数” 具体定义为了 “‘与概念 F 等数’ 这一概念的外延”。 这里读者需要回顾一下前文定义 “两个数相等” 时介绍过的两个概念之间的等数关系。 简而言之， 这个念起来有点拗口的定义的实质含义是： 一个自然数乃是可用来定义它的所有概念组成的类^[注八]。 由此， 自然数就从 “属于概念 F 的数” 变成了一个具体的类， 从而在一定程度上回答了自然数究竟是什么的问题。

《算术的基础》所包含的大体就是这些内容。 弗雷格这本书如前所述是哲学色彩较浓的， 表述手段则偏于文字。 像 “概念”、 “对象” 那样的东西虽皆可视为逻辑范畴内的东西， 用来表示更具符号化色彩的算术终究有些不够 “给力”。 《算术的基础》完成后， 弗雷格对逻辑主义的兴趣并未终结， 他不仅继续从事逻辑主义研究， 而且试图建立一个符号化的体系， 从而与算术更相配。 弗雷格的这一努力催生了一套两卷本的著作：《算术的基本规律》 (Basic Laws of Arithmetic)。 这套书的第一卷出版于 1893 年， 与《算术的基础》相隔 9 年， 第二卷出版于 1903 年， 与第一卷相隔 10 年， 撰写过程可谓是马拉松式的。

《算术的基本规律》在逻辑主义的发展史上是一个 “传奇”——只可惜是一个不幸的 “传奇”， 并且主要是因为不幸才得以不朽。 在《算术的基本规律》中， 如今常被提及的几乎只有其中的一条 “基本规律”——按其在书中的排序被称为 “第五基本规律” (Basic Law V)， 它是《算术的基本规律》在实质上有别于先前研究的主要部分， 但被提及的主要原因却是它导致了整套书在逻辑结构上的 “垮塌”。

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注释

1. 由于《辞海》和维基百科都不是一成不变的， 在这里注明一下： 所引《辞海》的 “算术” 词条来自 1999 年版； 所引维基百科的 “Arithmetic” 词条则来自截至本文完稿之日的版本。
2. 有必要说明一下， “逻辑主义” 这一名称有可能是德裔美国哲学家卡尔纳普 (Rudolf Carnap) 于 20 世纪 20 年代末才提出的， 弗雷格和罗素虽是逻辑主义的代表人物， 自己却并未用过这一名称， 其主要工作也远远早于这一名称的流行。
3. 弗雷格的逻辑主义研究始终未能超越这一初始目标， 比如他始终未能将逻辑主义推向实数与几何——这其中实数是他一度认为应被归化为逻辑， 后来却放弃了的； 几何则完全不在他认为应被归化为逻辑的数学之列 (从这个意义上讲， 弗雷格的逻辑主义是不彻底的)。 说到这个， 顺便也提一下， 在弗雷格之后， 罗素和怀特海终于将实数纳入了逻辑主义的框架之中， 但付出的代价十分沉重， 是通过在逻辑中引进诸如可化归性公理 (axiom of reducibility) 那样饱受批评的新公理， 而几何则哪怕在罗素和怀特海的庞大体系中也未能涵盖 (虽然他们一度希望能涵盖)。 对这些后续发展感兴趣的读者可参阅拙作 罗素的 “大罪”——《数学原理》。
4. 据《算术的基础》一书的英译者奥斯丁 (J. L. Austin) 的注释， 弗雷格此处提到的 “数的概念” 中的 “数” 乃是指 “基数”。
5. 熟悉集合论的读者不难看出弗雷格的术语与集合论之间的某种平行性： “概念” 对应于集合， “满足概念的对象” 对应于集合的元素， “属于概念 F 的数” 则对应于集合 F 的元素个数——也就是集合 F 的基数。 不过尽管从集合论的角度看不足为奇， 在哲学领域中弗雷格的表述却有很大的新颖性 (事实上集合论本身的某些发展在当时也是新颖的)， 他对 “概念” 和 “对象” 的区分与他的若干其他贡献一同， 使他成为了分析哲学 (analytic philosophy) 和语言哲学 (philosophy of language) 的创始人之一。
6. 皮亚诺公理是意大利数学家皮亚诺 (Giuseppe Peano) 提出的， 在时间上与弗雷格的逻辑主义研究有不小的重叠， 但一般认为两人的研究是彼此独立的。
7. 从 [注五] 提到的弗雷格的术语与集合论之间的平行性来看， 所谓 “概念的外延” 只不过是对应于 “概念” 的集合的元素之全体 (“所有对象组成的类”)， 从而也就是对应于 “概念” 的集合本身。 但在弗雷格的定义中两者——即 “概念” 与 “概念的外延”——是被视为不同的， 在《算术的基础》一书中他还对两者的不同特意作了说明。
8. 如果这还不够明白， 我们可以再次利用 [注五] 提到的弗雷格的术语与集合论之间的平行性。 从这种平行性的角度看， 弗雷格对自然数的具体定义相当于将每个自然数定义为了元素个数等于该自然数的所有集合的集合。
9. 现代读者可能会对这个定义感到陌生， 为便于理解， 不妨用集合论的术语转述一下： 我们在 [注七] 中提到过， 所谓 “概念的外延” 其实就是对应于 “概念” 的集合本身， 因此， 作为概念 F 外延的 z 其实就是作为集合的 F， 而 z 本身不满足 F 则表明它不是自身的元素。 这说明 z 是一个 “不是自身元素的集合”， 而以这种集合为对象的概念 R 用集合论的术语来表示， 则正是罗素悖论中大名鼎鼎的 “所有不是自身元素的集合组成的集合”。
10. 这里的 ∃、 ∧ 和 ¬ 都是逻辑符号， 分别表示 “存在”、 “与” 和 “非”。 值得一提的是， Fx 和 ¬(Fz) 的实质含义为 “Fx 为真” 和 “Fz 为假”， 这种对命题真值与命题本身的区分是弗雷格对逻辑的原创贡献之一。 另外需要说明的是， 本文所用的符号乃是 “现代化” 了的， 跟弗雷格的原始符号很不相同， 因为后者非常不便——比如罗素就曾表示因符号的缘故他很长时间无法看懂弗雷格的书， 直到后来他自己独立得到了弗雷格的多数结果后才改观。 符号的不便对弗雷格著作的传播也不无负面影响。
11. 说到当时英国和德国之间的信件投递之快速， 一个更好的例子其实是罗素对弗雷格这封 6 月 22 日信件的回信， 那回信的日期是 6 月 24 日， 与来信仅隔两天。 而且可以补充的是： 从信件内容上看， 罗素 6 月 24 日的信确实是回复弗雷格 6 月 22 日的信； 而从信件地址上看， 两人当时确实一个在英国——具体地点为伦敦西南的海索米亚 (Haslemere)， 一个在德国——具体地点为德国中部偏东的耶拿 (Jena)， 相距上千公里， 且还跨海。 考虑到当时飞机尚未问世， 信件投递速度快到这种程度真有些不可思议。

参考文献

1. M. Davis, The Universal Computer: The Road from Leibniz to Turing (W. W. Norton & Company, 2000).
2. G. Frege, The Foundations of Arithmetic: A Logico-Mathematical Enquiry into the Concept of Number (Harper Torchbook, 1960).
3. G. Frege, Philosophical and Mathematical Correspondence (The University of Chicago Press, 1980).
4. P. Geach and M. Black (eds), Translations from the Philosophical Writings of Gottlob Frege (Basil Blackwell Oxford, 1960).
5. I. Grattan-Guinness, The Search for Mathematical Roots, 1870-1940 (Princeton University Press, 2000).
6. J. Gray, Plato's Ghost: The Modernist Transformation of Mathematics (Princeton University Press, 2008).
7. M. Kline, Mathematics: The Loss of Certainty (Fall River Press, 1980).
8. B. Russell, Autobiography (Routledge, 1998).
9. S. Shapiro, Thinking about Mathematics: The Philosophy of Mathematics (Oxford University Press, 2000).
10. J. van Heijenoort (eds), From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931 (toExcel Press, 1967).

2016 年  5 月 15 日完稿
2016 年  5 月 16 日发布
https://www.changhai.org/

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网友讨论选录

• 网友： 快刀浪子   (发表于 2016-05-19)

  逻辑主义的代表人物是弗雷格、 罗素、 奎因， 奎因的影响相对较小。 王浩是奎因的学生， 对他的工作亦有贡献。

• 网友： zhangqq   (发表于 2016-05-19)

  超级好文章！ 拜读。 站长要是有时间写一本数理逻辑学方面的书， 象 黎猜 那样的就太棒了！

• 网友： 星空浩淼   (发表于 2016-05-24)

  昌海兄好文章！ 我对数学基础和物理有相同浓厚的兴趣， 只是最终选择物理。 数学在我眼里跟物理一样实在。

• 网友： 快刀浪子   (发表于 2016-05-27)

  策墨罗他们的集合论也是将数学归结为集合的概念。 我感到困惑， 集合论和逻辑主义是什么关系呢？ 昌海兄怎么理解这个问题？

• 卢昌海   (发表于 2016-05-28)

  集合论与逻辑的关系非常密切， 但似乎并无定论， 王浩的看法是集合论是逻辑的一部分， 他并且宣称希尔伯特和哥德尔也是这么看的。

  现代集合论是数学中的基础学科， 但 “基础” 的含义仅仅意味着各个数学分支都难免要用到集合论 (从这个意义上讲， 逻辑当然也是基础学科)， 而不是像逻辑主义那样认为全部数学都可以直接由集合论构造出来。——只是我的看法。

• 网友： 快刀浪子   (发表于 2016-05-28)

  罗素的类型论一般认为属于逻辑主义， 而策墨罗的集合论却不属于。 我觉得困惑， 两者有什么本质区别呢。 王浩的看法我不清楚， 应该不是大多数人的看法吧？

• 卢昌海   (发表于 2016-05-30)

  王浩的看法只是一家之言， 他对希尔伯特和哥德尔的看法也可能只是他自己的概括。 如果他的看法不成立， 即集合论并非逻辑的一部分， 那么集合论当然不会被视为逻辑主义。 但即便集合论可以被视为逻辑的一部分， 由于逻辑主义本质上是一种对数学的哲学见解， 而集合论并不主张这种见解， 因此也就不算是逻辑主义——虽然逻辑主义如果愿意， 可以借用集合论的某些结果， 但距离他们的目标仍相差很远。

• 网友： 快刀浪子   (发表于 2016-06-05)

  逻辑主义是从逻辑推出数学。 关键是什么属于逻辑， 什么不属于？ 从来没见过一个标准。 似乎可以把普遍成立的命题看成是逻辑， 而特殊命题不是。 比如 “x=x” 就是逻辑， 而 “存在一个元素” 或 “存在无数元素” 这些命题都不够普遍， 都不属于逻辑。 问题是数学也是普遍成立的。 但逻辑主义不把数学看成逻辑， 而是要把数字和数学运算还原成集合的概念。 所以逻辑的定义似乎是： 关于集合的普遍成立的命题。 而集合论的公理对集合的性质限定过多， 所以不算逻辑？ 比如断定存在空集合， 存在无穷集合， 任一非空集都有极小元。

• 卢昌海   (发表于 2016-06-06)

  确实， 除弗雷格和罗素外， 其他所谓逻辑主义者从未像他们那样作过一本正经的尝试， 而什么属于逻辑， 什么不属于逻辑需要在具体的尝试中才能辨清。 比如罗素——如我在 罗素的 “大罪”——《数学原理》 一文中所述——在具体的尝试中发现必须引进可化归性公理， 不尝试的话根本无从发现。 当然， 被罗素视为逻辑的公理从未全部被公认为逻辑， 这本身也是逻辑主义的一大软肋。 而在罗素之后， 根本就没有人再像他那样具体地、 细节性地贯彻逻辑主义了， 因此我说逻辑主义在巅峰过后几乎是悬崖式的衰落。

• 网友： 快刀浪子   (发表于 2016-06-06)

  谢谢昌海兄的回复。

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