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除了自己的无知， －苏格拉底 |
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本文发表于 2017 年第 1 期的《数学文化》。 |
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站长在 Bluesky 新开了微博帐号 弗雷格的算术 “算术” 一词按《辞海》的定义是 “数学中最基础与初等的部分”。 《辞海》虽不是学术辞典， 但对 “算术” 一词同时用了 “基础” 和 “初等” 两个形容倒是颇为恰当的。 相比之下， 维基百科 (wikipedia) 的 “算术” 定义——“最古老、 最简单的数学分支” (the oldest and most elementary branch of mathematics)——仅仅包含了 “初等” 这一层含义， 就略显欠缺了[注一]。 当然， 这也不怪维基百科， 因为普通现代人听到 “算术” 一词所想到的大约确实只是 “初等” 这一层含义。 不过对数学家、 逻辑学家和哲学家来说， 起码有过一段时间， “算术” 一词中的 “基础” 之意是很被凸显的。
在拙作 罗素的 “大罪”——《数学原理》 中， 曾经提到过 “数学基础” (foundations of mathematics) 这一研究领域的几个主要流派， 并着重介绍了其中的 “逻辑主义” (Logicism) 流派中的集大成人物罗素 (Bertrand Russell)， 以及他和怀特海 (Alfred North Whitehead) 合力打造的《数学原理》 (Principia Mathematica) 这座逻辑主义的高峰——虽然高峰过后几乎是悬崖式的衰落。 在本文中， 我们要介绍逻辑主义的另一位主要人物的著作。 此人名叫弗雷格 (Gottlob Frege)， 是逻辑主义的先驱人物之一， 兼有数学家、 逻辑学家和哲学家的头衔， 是德国人[注二]。 逻辑主义的核心目标是将数学约化为逻辑。 不过数学实在是一个过于庞大的体系， 虽然在弗雷格从事逻辑主义研究的年代 (19 世纪末和 20 世纪初)， 数学体系的庞大跟如今相比还差得很远， 却也早已不是弗雷格所能驾驭的， 而且当时逻辑本身的表达力也还相当有限。 因此弗雷格将研究的目标指向了在他看来具有基础地位、 同时又相对简单的部分——算术， 试图将算术约化为逻辑[注三]。 不过在介绍弗雷格的逻辑主义研究之前， 有一个问题值得首先探讨一下。 这一探讨的背景是： 在数学的诸多分支中， 算术通常是被视为最可靠， 甚至具有先验真理性的分支。 这一观点的渊源可远溯至古希腊， 比如毕达哥拉斯 (Pythagoras) 学派的 “万物皆数” (all things are numbers) 及亚里斯多德 (Aristotle) 所主张的算术先于几何。 一些近代和现代数学家也表示或采纳过类似的观点， 比如 “数学王子” 高斯 (Carl Friedrich Gauss) 曾表示算术比几何更可靠， 是 “以纯粹先验的方式成立的” (stands purely a priori)； 德国数学家克罗内克 (Leopold Kronecker) 曾说过一句很著名的话： “整数是上帝创造的， 其余一切都是人类所为” (God made the integers, all else is the work of man)——由于传统的算术是以整数为研究对象的， 因此克罗内克这句话相当于说 “算术是上帝创造的”； 而德国数学家希尔伯特 (David Hilbert) 则将对理论自洽性的证明归纳为 “在几何与物理理论中， 自洽性证明是通过将之转化为算术的自洽性来完成的”， 从而意味着算术在当时的自洽性证明中起着基石作用。 所要探讨的问题则是： 既然人们对算术的可靠性已有如此高的评价， 为何还有人 “不知足”， 试图将算术约化为逻辑？ 这种本质上是探求动机的问题当然很难有确切答案， 不过从数学史的角度看， 将算术约化为逻辑的一个重要动机来自分析领域， 其中包括德国数学家魏尔斯特拉斯 (Karl Weierstrass)、 戴德金 (Richard Dedekind) 等人对分析基础的研究， 那些研究在当时是有一定争议的——比如弗雷格就对那些研究不太感冒， 而解决争议的思路之一乃是从算术基础入手。 不过更重要的动机则来自一个更具争议性的理论——从 19 世纪 70 年代开始发展起来的德国数学家康托尔 (Georg Cantor) 的无穷集合理论。 康托尔的无穷集合理论部分地也是源自对分析基础的研究——比如试图证明函数傅利叶级数 (Fourier series) 展开的唯一性等。 这一引发高度争议的理论由于含有基数 (cardinal number)、 序数 (ordinal number) 这两个具有整数性质的概念， 使得算术基础问题也在一定程度上被牵扯进了争议之中。 而算术基础一旦成为问题或陷入争议， 则将算术约化为逻辑就成了一条显而易见的出路， 因为可靠性能跟算术相提并论的体系实在少之又少， 这其中逻辑作为推理本身的基础， 几乎称得上是可靠性的 “底线”， 因此算得上是首选。 另一方面， 逻辑本身在当时也已取得了一些重要进展， 比如英国数学家布尔 (George Boole) 在 19 世纪中叶发展了所谓的布尔代数 (Boolean algebra)。 那些进展的本意其实是将逻辑数学化， 但对于将数学逻辑化这一反向的尝试显然也不无裨益， 因为它们显著增强了逻辑的表达力。 弗雷格研究逻辑主义的早期成果之一， 是一本哲学色彩较浓的小册子——《算术的基础》 (The Foundations of Arithmetic)， 出版于 1884 年。 在这本小册子中， 他开宗明义地提到了来自分析领域的挑战： “对函数、 连续性、 极限、 无穷这些概念有更精确地加以界定的必要。 对早已被科学所接受的负数和无理数的可靠性必须作更仔细的考察”， “沿着这些道路， 我们必然会逐渐遇到构成整个算术基础的数的概念， 以及适用于正整数的最简单的命题。”[注四] 这与上面提到的来自分析领域的动机是一脉相承的。 在《算术的基础》中， 弗雷格提出了一种用逻辑关系定义自然数的办法。 具体地说， 他通过引进 “属于概念 F 的数” (the Number which belongs to the concept F) 这样一种表述方式， 将 (自然) 数约化为了 (逻辑) 概念。 在此基础上， 他进一步将 “两个数相等” 约化为它们所从属的概念之间的一种 (逻辑) 关系——被称为等数关系 (equinumerate)。 两个概念具有等数关系——简称为等数——被定义为满足两个概念的对象 (object) 之间存在一一对应 (one-one correlation)[注五]。 这种定义 “两个数相等” 的方式被弗雷格回溯到苏格兰哲学家休谟 (David Hume)， 从而逐渐被称为了 “休谟原理” (Hume's principle)。 接着， 弗雷格开始定义具体的自然数： 0、 1、 2…… (弗雷格的自然数是从 0 开始的)。 由于数的定义已被约化为概念， 因此定义一个数等同于为这个数找到一个合适的概念。 弗雷格用来定义 0 的概念是 “不等同于自身” (not identical to itself)。 由于所有概念都等同于自身， 因此不存在任何满足 “不等同于自身” 这一概念的对象， 这确实符合我们对 0 的期待。 弗雷格用来定义 1 的概念是 “等同于 0”。 由于只有 0 等同于 0， 因此满足这个概念的对象只有一个， 从而确实符合我们对 1 的期待。 弗雷格用来定义 2 的概念是 “等同于 0 或 1”， 或者等价地， “从属于由 0 和 1 组成的自然数序列”。 显然， 只有 0 和 1 这两个对象满足这一概念， 从而确实符合我们对 2 的期待。 更一般地， 在 {0, ..., n} 这一 “到 n 为止的自然数序列” 已被定义了的前提之下， 弗雷格用来定义 n+1 的概念是 “从属于 ‘到 n 为止的自然数序列’”。 显然， 只有从 0 到 n 这 n+1 个对象满足这一概念， 从而确实符合我们对 n+1 的期待。 熟悉自然数皮亚诺公理 (Peano axioms) 的读者不难看出， 弗雷格的上述定义与皮亚诺公理存在一定的相似性[注六]。 比如通过 “到 n 为止的自然数序列” 来定义 n+1 的做法相当于确立了皮亚诺公理里 n 的 “后继数” (successor) 的存在性。 这种相似性从一个侧面体现出了弗雷格定义的效力。 利用这种定义， 弗雷格进一步推导出了自然数的某些基本性质。 不过， 这些还不足以让弗雷格满意， 因为跟后来更流行的偏于抽象和纯形式化的数学观不同， 弗雷格希望自己的体系能回答这样一个问题： 自然数究竟是什么？ 弗雷格虽定义了自然数， 且推导出了它的某些基本性质， 但所有这一切的起点却不过是 “属于概念 F 的数” 这样一种表述方式， 它并未具体告诉我们自然数究竟是什么。 为了能具体确定自然数究竟是什么， 弗雷格借助了逻辑上所谓的 “概念的外延” (extension of concept)。 什么是概念的外延呢？ 它是满足概念的所有对象组成的类 (class)[注七]。 借助 “概念的外延”， 弗雷格将 “属于概念 F 的数” 具体定义为了 “‘与概念 F 等数’ 这一概念的外延”。 这里读者需要回顾一下前文定义 “两个数相等” 时介绍过的两个概念之间的等数关系。 简而言之， 这个念起来有点拗口的定义的实质含义是： 一个自然数乃是可用来定义它的所有概念组成的类[注八]。 由此， 自然数就从 “属于概念 F 的数” 变成了一个具体的类， 从而在一定程度上回答了自然数究竟是什么的问题。 《算术的基础》所包含的大体就是这些内容。 弗雷格这本书如前所述是哲学色彩较浓的， 表述手段则偏于文字。 像 “概念”、 “对象” 那样的东西虽皆可视为逻辑范畴内的东西， 用来表示更具符号化色彩的算术终究有些不够 “给力”。 《算术的基础》完成后， 弗雷格对逻辑主义的兴趣并未终结， 他不仅继续从事逻辑主义研究， 而且试图建立一个符号化的体系， 从而与算术更相配。 弗雷格的这一努力催生了一套两卷本的著作：《算术的基本规律》 (Basic Laws of Arithmetic)。 这套书的第一卷出版于 1893 年， 与《算术的基础》相隔 9 年， 第二卷出版于 1903 年， 与第一卷相隔 10 年， 撰写过程可谓是马拉松式的。 《算术的基本规律》在逻辑主义的发展史上是一个 “传奇”——只可惜是一个不幸的 “传奇”， 并且主要是因为不幸才得以不朽。 在《算术的基本规律》中， 如今常被提及的几乎只有其中的一条 “基本规律”——按其在书中的排序被称为 “第五基本规律” (Basic Law V)， 它是《算术的基本规律》在实质上有别于先前研究的主要部分， 但被提及的主要原因却是它导致了整套书在逻辑结构上的 “垮塌”。 我们先来说说什么是弗雷格的 “第五基本规律”。 简而言之， 弗雷格的 “第五基本规律” 是对他在试图确定自然数究竟是什么时借助过的 “概念的外延” 的一种界定。 具体地说， “第五基本规律” 是对两个概念的外延等同的一种界定， 它的表述是这样的： 第五基本规律： 对于任意两个概念 F 和 G， 它们的外延等同的充要条件是： 任何对象 x 满足概念 F 当且仅当其满足概念 G。 如果我们用 Fx 表示 x 满足概念 F， 用 Gx 表示 x 满足概念 G， 用 {x|Fx} 表示概念 F 的外延， 用 {x|Gx} 表示概念 G 的外延， 则 “第五基本规律” 可用符号表示为： 第五基本规律 (符号版)： {x|Fx} = {x|Gx} ⇔ ∀x[Fx ⇔ Gx] 这其中的 ⇔ 和 ∀ 都是逻辑符号， 分别表示 “充要条件” (或 “当且仅当”) 和 “对所有的” (或 “任何”)。 如果读者被这些符号或术语搞晕了的话， 我们可以用不太严谨的白话将 “第五基本规律” 表述为： 两个概念的外延等同的充要条件是满足它们的对象彼此共同。 这简直是不言而喻的。 但正是这样不言而喻的命题被符号化、 精确化之后， 却显出了严峻的问题。 1902 年， 《算术的基本规律》第二卷付印在即， 弗雷格构筑了近 20 年的逻辑主义算术大厦即将竣工。 就在这时， 他收到了罗素的一封日期为 6 月 16 日的信。 在信的开头和末尾， 罗素都盛赞了弗雷格及他已经出版的《算术的基本规律》第一卷， 表示 “我在所有主要方面都完全赞同您”， “在您的工作中我找到了我们时代据我所知最好的工作”， “向您表示我深挚的敬意” 等等。 但实质内容则是 “糖衣” 之内的中间一小段文字， 那段文字以弗雷格的体系为框架表述了如今被称为 “罗素悖论” (Russell's paradox) 的著名悖论。 罗素悖论是罗素在一年前——即 1901 年——发现的， 折磨罗素本人已达一年之久， 对他自己正在撰写的《数学的原理》 (The Principles of Mathematics) 一书造成了重大冲击。 而此刻， 在这个很不巧的关节眼上， 罗素将这个 “烫手的山芋” 呈示给了弗雷格。 用弗雷格的体系来表述， 罗素悖论涉及的是一个特殊的概念 R， 其定义为： 一个对象 z 满足 R 当且仅当存在一个概念 F， 使得 z 是 F 的外延但 z 本身却不满足 F[注九]。 用通俗的话来说， R 是这样一个概念， 所有一方面是某个概念的外延， 另一方面本身却不满足该概念的对象都满足 R。 利用前面采用过的符号， 概念 R 的定义可以表示为： Rz ⇔ ∃F[z = {x|Fx} ∧ ¬(Fz)][注十]。 对于这样定义出来的概念 R， 我们用 r 表示其外延， 即 r = {x|Rx}。 对于 r， 我们可以问这样一个问题： r 是否满足 R？ 这个貌似寻常的问题所引出的就是罗素悖论， 因为答案无论是 r 满足 R， 即 Rr， 还是 r 不满足 R， 即 ¬(Rr)， 都会导致矛盾。 比如答案若是 Rr， 即 r 满足 R， 那么按照 R 的定义， 这意味着存在一个 F， 使得 r = {x|Fx} ∧ ¬(Fr)。 但这里的 ¬(Fr) 却会导致矛盾， 因为 r 按自身的定义是 R 的外延 (即 r = {x|Rx})， 如今又被确定为是 F 的外延 (即 r = {x|Fx})， 可见 R 和 F 的外延相同， 即 {x|Rx} = {x|Fx}。 按照 “第五基本规律”， 这意味着 ∀x[Rx ⇔ Fx]， 具体到 r 本身 (即取 x=r)， 则意味着 Rr ⇔ Fr。 由于 Rr 已被假定为答案， 因此从中可以推出 Fr， 但这跟前面已经推出的 ¬(Fr) 恰好矛盾。 因此 Rr 会导致矛盾。 那答案若是 ¬(Rr)， 即 r 不满足 R， 又如何呢？ 这样的话， r 就一方面——按自身的定义——是 R 的外延， 另一方面——按所假定的答案——本身却不满足 R。 可这样的 r 按 R 的定义就满足 R——因为 R 的定义要求所有一方面是某个概念的外延， 另一方面本身却不满足该概念的对象都满足 R， 因此 r 满足 R， 即 Rr， 而这跟已被假定为答案的 ¬(Rr) 恰好矛盾。 因此 ¬(Rr) 也会导致矛盾。 由此可见对罗素提出的问题， 答案无论是 Rr 还是 ¬(Rr) 都会导致矛盾， 从而构成一个悖论。 而且这个悖论能以弗雷格的《算术的基本规律》作为表述框架 (其中 “第五基本规律” 扮演了重要角色)， 从而无可避免地对后者构成了沉重打击。 别看是在科技远为落后的距今一个多世纪的过去， 英国和德国之间的信件投递还真是快速。 距罗素信件的撰写日期仅隔 6 天， 1902 年 6 月 22 日， 弗雷格就不仅收了信， 而且回了信[注十一]。 他在回信中写道： “您对这一矛盾的发现带给了我最大的意外， 而且差不多可以说是惊愕， 因为它动摇了我试图构筑算术的根基。” 弗雷格承认， 自己的 “第五基本规律” 以及对该规律所做的一切说明都无法应付罗素的悖论， 从而是错误的。 弗雷格同时还表示， 一旦失去他的 “第五基本规律”， 则不仅他的算术基础， 甚至连算术本身唯一可能的基础都似乎消失了 (这后一句话在很大程度上也说中了罗素本人因发现罗素悖论而遭到的挑战)。 虽然罗素悖论沉重打击了弗雷格的算术大厦， 后果极为严重， 但弗雷格依然很有风度地称赞了罗素的发现： “无论如何， 您的发现是非常卓越的， 也许会导致逻辑的重大进展。” 罗素悖论的横空出世对弗雷格即将出版的《算术的基本规律》第二卷造成了直接冲击。 由于付印在即， 对正文的任何修改都为时已晚， 更何况冲击如此剧烈， 也实在无法在短期内作出修改， 弗雷格只能在书末匆匆添加了一个附录， 承认自己的困境。 那样的附录对任何作者都是一种尴尬， 但科学史在冷峻之中自有其宽厚的一面， 在经历了漫长的时光流逝之后， 弗雷格那篇附录从某种意义上讲已成为了全书最有风采的部分， 因为它最好地呈现了一位学者的求真与诚实。 弗雷格在附录里这样写道： 对一位科学作者来说， 很少有东西能比自己的工作完成之后大厦的根基遭到动摇更为不幸了。 在本书付印在即的时候， 伯特兰·罗素的一封信就将我推到了那样的境地…… 弗雷格的算术就这样以戏剧性的方式陷入了困境。 这困境当然并不仅仅属于弗雷格。 事实上， 在逻辑主义从兴起到衰落的不算太长的历史中， 包含了一个巧合度很高的 “轮回”， 那是在弗雷格和罗素这两位逻辑主义代表人物之间的 “轮回”。 读本文至此并且读过拙作 罗素的 “大罪”——《数学原理》 的读者也许已经注意到了， 弗雷格的《算术的基础》很像罗素的《数学的原理》： 两者都是大部头后续著作的 “序曲”， 而且从风格上讲， 跟各自的大部头后续著作相比， 两者都更偏于哲学。 不仅如此， 两者的大部头后续著作——弗雷格的两卷本《算术的基本规律》跟罗素与怀特海的三卷本《数学原理》——本身也不无相似性： 两者都更形式化， 也更详尽。 而 “轮回” 的高潮则是两者最终命运的高度相似： 首先是两者的读者都寥寥无几； 其次是两者都被寥寥无几的读者中的一位所颠覆——前者遭到罗素提出的罗素悖论的颠覆， 后者遭到哥德尔 (Kurt Gödel) 提出的哥德尔不完全性定理 (Gödel's incompleteness theorem) 的颠覆， 而且颠覆者在颠覆时都巧妙地以被颠覆者的著作作为表述框架， 使之无可逃遁， 堪称 “一剑封喉”。 这种不幸的 “轮回” 基本葬送了逻辑主义——或者说起码葬送了弗雷格和罗素最初设想的逻辑主义。 在弗雷格的算术及其历史中， 有一点是富有教义的。 人们很早就知道， 科学是以数学为语言的。 比如伽利略 (Galileo Galilei ) 就曾表示过， 阅读自然这本书必须懂得她的语言——数学； 匈牙利裔美国科学家维格纳 (Eugene Wigner) 则以 “数学在自然科学中的不合理的有效性” (The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences) 为题撰写过文章。 科学为什么以数学为语言？ 这是一个老生常谈的问题， 对于这个问题， 弗雷格的算术及其历史是颇能提供点线索的。 我们前面说过， 弗雷格的 “第五基本规律” 若用不太严谨的白话来表述， 简直是不言而喻的。 这种一方面不太严谨另一方面又不言而喻的命题在历史上可谓比比皆是， 哪怕遇到质疑， 也往往有足够的回旋空间使质疑不了了之。 然而这种命题一旦符号化、 精确化之后， 却无可逃遁地显露了破绽——这就是弗雷格的算术所遭遇的。 别小看这种显露破绽的能力， 虽然在人类社会的很多领域里显露破绽是不受欢迎的， 但对科学来说， 显露破绽甚至比正面验证更能推动其发展， 因为越能洞悉和确认破绽， 也就越能判断和调整方向， 从而越能取得进展。 而数学正是由于她的符号化和精确化， 使得她所表述的命题既便于定量验证， 也便于明确证伪， 这是任何其他表述方式难以比拟的。 更何况数学的严密推理能力更是任何其他体系望尘莫及的， 这些都是对科学至关重要的， 科学以数学为语言， 也就顺理成章了。 结束本文前， 我们再略谈几句弗雷格其人。 弗雷格是数学家、 逻辑学家、 哲学家， 是逻辑主义的先驱之一， 也是分析哲学和语言哲学的创始人之一， 但头衔虽多， 生前却并未受到重视， 至死都只是位副教授， 著作也在很大程度上遭到冷遇。 不过他对待错误的磊落态度赢得了罗素的高度尊敬。 1962 年， 数学史学家范·黑杰诺特 (Jean van Heijenoort) 打算在自己编撰的题为《从弗雷格到哥德尔》 (From Frege To Gödel) 的数学逻辑史料集中收录罗素与弗雷格有关罗素悖论的那两封著名信件。 由于弗雷格早已去世， 范·黑杰诺特便向罗素征询意见。 罗素在回信中嘉许了他的努力， 同时也对弗雷格作出了极高的评价——我们谨以这一评价作为本文的结束： ……据我所知， 没有人在对真理的执着上比得上弗雷格。 他一生的工作即将完成…… 他的 [《算术的基本规律》] 第二卷即将出版， 在发现自己的基本假设出错时， 在他的回应中， 闻道的愉悦明显盖过了个人的失望。 这几乎是超人的， 它鲜明地显示出当人们把执着用于创造性的工作和知识， 而非虚名和权势时， 他们所能达到的境界。
参考文献
2016 年 5 月 15 日完稿 相关链接 站长往年同日 (5 月 16 日) 发表的作品
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