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奇点与奇点定理简介 (一)

- 卢昌海 -

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一. 什么是奇点？

自本节开始， 我们将介绍能量条件在广义相对论中的若干应用， 首先要介绍的是奇点定理。 在广义相对论中， 对奇点的研究是一个重要的课题， 它既是能量条件最早的应用之一， 也是全局方法在广义相对论中初试锋芒的范例。 我们在 能量条件简介 的 引言 中曾经提到， 广义相对论的经典解——比如 Schwarzschild 解——存在奇异性。 这其中有的奇异性——比如 Schwarzschild 解中的 r=2m——可以通过坐标变换予以消除， 从而不代表物理上的奇点； 而有的奇异性——比如 Schwarzschild 解中的 r=0——则是真正的物理奇点。 很明显， 在奇点研究中， 真正的物理奇点才是我们感兴趣的对象。

那么究竟什么是广义相对论中真正的物理奇点 (简称奇点) 呢？

初看起来， 这似乎是一个很简单的问题。 奇点显然就是那些时空结构具有某种病态性质 (pathological behavior) 的时空点。 但稍加推敲， 就会发现这种说法存在许多问题。 首先， “病态性质” 是一个很含糊的概念， 究竟什么样的性质是病态性质呢？ 显然需要予以精确化。 其次， 广义相对论与其它物理理论有一个很大的差异， 那就是其它物理理论都预先假定了一个背景时空的存在， 因此， 那些理论如果出现奇点——比如电磁理论中点电荷所在处的场强奇点， 我们可以明确地标识出奇点在背景时空中的位置^[注一]。 但广义相对论所描述的是时空本身的性质。 因此在广义相对论中一旦出现奇点， 往往意味着时空本身的性质无法定义。 另一方面， 物理时空被定义为带 Lorentz 度规 (Lorentzian metric) 的四维流形^[注二]， 它在每一点上都具有良好的性质。 因此， 奇点的存在本身就是与物理时空的定义相冲突的， 物理时空按定义就是没有奇点的， 或者换句话说， 奇点并不存在于物理时空中^[注三]。

既然奇点并不存在于物理时空中， 自然就谈不上哪一个时空点是奇点， 从而也无法把奇点定义为时空结构具有病态性质的时空点了。 但即便如此， 象 Schwarzschild 解具有奇异性这样显而易见的事实仍然是无可否认的， 因此关键还在于寻找一个合适的奇点定义。

为了寻找这样的定义， 我们不妨想一想， 为什么即便将 Schwarzschild 解中的 r=0 那样的 “麻烦制造者” 排除在物理时空之外， 我们仍然认为 Schwarzschild 解具有奇异性是显而易见的事实？ 答案很简单 (否则就不叫显而易见了)： 当一个试验粒子在 Schwarzschild 时空中沿径向落往中心 (即 r 趋于 0) 时， 它所接触到的时空曲率趋于发散。 由于试验粒子的下落是沿非类空测地线进行的^[注四]， 这启示我们这样来定义奇点： 如果时空结构沿非类空测地线出现病态性质， 则表明存在奇点。 这一定义不涉及奇点的位置， 从而不需要将奇点视为物理时空的一部分， 也就避免了上面提到的与物理时空的定义之间的冲突。 但是， 这一定义还面临两个问题： 一是 “病态性质” 这个含糊概念仍未得到澄清， 二是在这一定义中， 假如试验粒子沿非类空测地线需要经过无穷长的时间才会接触到时空结构的病态性质的话， 奇点的存在就不具有观测意义。 为了解决这两个问题， 物理学家们提出了一个进一步的要求， 即要求定义中涉及的非类空测地线具有有限 “长度”， 并且是不可延拓的 (inextendible)^[注五]。 这种具有有限的 “长度” 的不可延拓非类空测地线被称为不完备非类空测地线 (incomplete non-spacelike geodesics)。

有了不完备非类空测地线这一概念， 我们可以这样来定义奇点： 如果存在不完备非类空测地线， 则时空流形具有奇点。 这就是多数广义相对论文献所采用的奇点定义。 这种存在不完备非类空测地线的时空被称为非类空测地不完备时空， 简称测地不完备时空 (geodesically incomplete spacetime)。 在一些文献中， 按照不完备测地线的类型， 还将测地不完备时空进一步细分为类时测地不完备时空与类光测地不完备时空^[注六]。 这一奇点定义的合理性体现在： 在一个测地不完备的时空流形中， 试验粒子可以沿不完备的非类空测地线运动， 并在有限时间内从时空流形中消失。 这种试验粒子在有限时间内从时空流形中消失的行为——即测地不完备性——可以视为是对时空结构具有 “病态性质” 这一含糊要求的精确表述。 这样我们就既解决了 “病态性质” 的精确化问题， 又使奇点具有了观测意义 (即试验粒子在有限时间内就可以遇到奇点)。 在一些文献中， 还对奇点存在于过去还是未来进行区分： 如果所涉及的非类空测地线是未来 (过去) 不可延拓的， 则相应的奇点被称为未来 (过去) 奇点。

对于上述定义， 还有一点需要补充。 细心的读者可能注意到了， 我们在引进 “非类空测地线具有有限 ‘长度’” 这一要求时， 对 “长度” 一词上加了引号。 这引号所表示的是对长度定义的推广。 具体地说， 类时测地线的长度通常是被定义为固有时间的， 即：

但这一定义不适合描述类光测地线， 因为后者对应的固有时间恒为零。 因此， 为了描述类光测地线， 我们需要对长度定义进行推广， 推广为所谓的广义仿射参数 (generalized affine parameter)。 对于一条时空曲线 C(t) (t 为任意参数)， 广义仿射参数定义为：

其中 V^a(t) 为曲线在 C(t) 处的切向量 ∂/∂t 沿该处某标架场 e_a(t) 的分量 (曲线上各点的标架场定义为由某一点的标架场平移而来)， 求和是欧式空间中的分量求和。 显然， 这样定义的广义仿射参数是恒为正的， 它的数值则与标架场的选择有关。 不过可以证明， 广义仿射参数的有限与否与标架场的选择无关， 从而对于我们表述奇点的定义来说已经足够了 (因为我们只关心 “长度” 的有限性)。 另外值得一提的是， 广义仿射参数对所有 C¹ 类 (即一次连续可微) 的时空曲线都可以定义， 而不限于测地线。 不难证明， 类时测地线的固有时间是广义仿射参数的特例 (请读者自行证明)。

作为一个例子， 我们来看看 Schwarzschild 解中 r=0 的奇点是否满足上面所说的奇点定义。 为此我们来计算从施瓦西视界 (r=2m) 出发， 向内 (即沿 r 减小方向) 延伸的径向类时测地线的长度 (即固有时间)。 由 Schwarzschild 度规可知：

因此 (请读者补全计算细节)

由此可见这种测地线的长度是有限的。 另一方面， 沿这种测地线趋近 r=0 时， Kretschmann 标量 R^μνρσR_μνρσ 发散， 因此这种测地线是不可延拓的。 这表明 Schwarzschild 解中 r=0 的奇点满足上面所说的奇点定义。 从物理上讲， 这个结果表明落入 Schwarzschild 视界的试验粒子会在有限固有时间内从物理时空中消失 (形象地说是 “落入奇点”)。

现在让我们再回到定义上来， 奇点的定义要求时空流形具有测地不完备性。 读者也许会问： 测地线究竟由于什么原因而不完备？ 另外， 虽说测地不完备性是对时空结构所具有的病态结构的精确描述， 但这 “精确” 二字是以数学上无歧义为标准的。 在物理上， 我们仍然可以问这样一个问题： 当试验粒子沿不完备的测地线运动时， 究竟会遇到什么样的时空病态性质？ 或者简单地说， 奇点究竟是什么样子的？ 对此， 物理学家们曾经试图给出直观描述， 可惜一直没能找到一种直观描述足以涵盖所有可能的测地不完备性。 比如， 人们曾经认为奇点的产生意味着某些几何量 (比如 Kretschmann 标量) 或物理量 (比如物质密度) 发散， 如果是这样， 那么沿不完备非类空测地线运动的试验粒子所遇到的将是趋于无穷的潮汐作用或其它发散的物理效应。 Schwarzschild 奇点及大爆炸奇点显然都具有这种性质。 但细致的研究发现， 并非所有奇点都是如此。 一个最简单的反例是锥形时空：

其中 r>0， 0<φ<a (a 为小于 2π 的一个角度)， 并且 φ=0 与 φ=a 粘连在一起。 这个时空是局部平坦的 (曲率张量处处为零)， 并且显然没有任何发散性。 但这一时空无法延拓到 r=0 (被称为锥形奇点)， 因而是测地不完备的 (类时与类光都不完备)^[注七]。 这个反例表明奇点不一定意味着发散性。

对奇点的另一种直观描述是： 奇点是时空中被挖去的点 (或点集)。 比如 Schwarzschild 奇点与刚才提到的锥形奇点是被挖去的 r=0， 大爆炸奇点则是被挖去的 t=0。 但这种描述如果正确的话， 那么通向奇点的所有测地线——无论类时还是类光——必定全都是不完备的。 换句话说， 如果奇点是时空中被挖去的点 (或点集)， 那么它的存在将同时意味着类时测地不完备性与类光测地不完备性。 我们上面举出的所有例子都具有这一特点。 但细致的研究表明， 这一描述同样不足以涵盖所有的奇点。 1968 年， 美国物理学家 Robert Geroch (1942-) 给出了一个共形于 Minkowski 时空的时空 (R⁴, Ω²η_ab)， 其中共形因子 Ω² 具有球对称性， 在区域 r>1 恒为 1， 在 r=0 上满足 t²Ω→0 (t→∞)。 显然 (请读者自行证明)， 对于这样的时空， 类时测地线 r=0 沿 t→∞ 具有不完备性， 因此这个时空流形具有类时测地不完备性。 另一方面， 所有类光测地线都将穿越区域 r≤1 而进入平直时空， 因而都是测地完备的。 由此可见这一时空具有类时测地不完备性， 但不具有类光测地不完备性^[注八]。 这个反例表明奇点并非都能理解为是从时空中被挖去的点 (或点集)。

通过这些例子， 我们对奇点定义所包含的复杂性有了一些初步了解， 它的表述虽然简单， 却巧妙地包含了难以完整罗列的种种复杂的时空类型。 但另一方面， 这个定义虽然已经具有很大的涵盖性， 却仍不足以包含所有的奇点类型。 这一点也是由 Geroch 指出的， 此人在奇点定理的研究中是可以与 Hawking 及 Penrose 齐名的非同小可的人物。 1968 年， 在提出上述反例的同一篇论文中， Geroch 给出了另外一种时空， 它是测地完备的， 但却包含长度有限的不可延拓类时曲线 (注意是类时曲线而非类时测地线)， 并且该曲线上的加速度有界。 从物理上讲， 这意味着在这种时空中， 具有有限燃料的火箭所携带的试验粒子沿特定的类时曲线运动， 可以在有限时间之内从时空流形中消失。 显然， 这与自由下落的试验粒子从时空流形中消失具有同样严重的病态性质 (事实上这里我们还要多损失一枚火箭！)。 因此如果我们认为测地不完备性意味着奇点， 那么就必须承认 Geroch 的时空也具有奇点。 这个反例表明， 我们——以及多数其它文献——所采用的测地不完备性只是定义奇点的充分条件， 而不是必要条件。 也就是说， 一个测地不完备的时空必定具有奇点， 但反过来则不然， 一个测地完备的时空未必就没有奇点。

物理学家们对奇点性质所做的研究还有许多， 限于篇幅， 我们不在这里做进一步介绍了， 不过在后文介绍 宇宙监督假设 时我们还会再涉及这一话题。 在接下来的几节中， 我们将介绍奇点定理及其证明。

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注释

1. 当然， 这里所谓的 “其它物理理论” 指的是不把时空本身作为研究对象的理论。 另外， 人们通常把由非奇异初始条件演化而来的奇点称为理论本身所具有的奇点， 以区别于纯粹通过初始条件而引入的奇点。 显然， 线性理论——比如 Maxwell 电磁理论——不可能有这样的奇点。
2. Lorentz 度规是指符号差 (signature) 为 (1, —1, —1, —1) 的度规 (有些文献的定义与我们的相差一个整体符号)。 除 Lorentz 度规外， 人们还常常在时空定义中附加一些其它条件， 比如 Hausdoff 条件 (Hausdorff condition)、 连通性， 等。 对于度规的可微性则有的假定为 C^∞， 有的假定为 C^r (r 为正整数——请读者思考一下， r 最小应该是多少？)， 等。
3. 有些物理学家试图将奇点视为时空流形的边界， 称为奇异边界 (singular boundary)， 但这方面迄今尚未建立起令人满意的处理方式。
4. 非类空是类时与类光的统称。 这里所说的试验粒子包括零质量粒子。
5. 一条时空曲线不可延拓， 直观地说就是在时空流形内没有端点。 为此我们首先要求时空流形本身是 “不可延拓” 的， 即无法等度规地 (isometrically) 嵌入更大的流形中 (不过如何实现这一要求本身就是一个很艰深的问题)。 这一要求排除了一些平凡的奇点， 比如在 Minkowski 时空 (Minkowski spacetime) 中挖去一个时空点所造成的 “奇点”。 测地线的不可延拓性则可以用来排除诸如 Schwarzschild 视界这样的表观奇点。
6. 我们也可以完全类似地定义类空测地不完备性， 但由于沿类空测地线的运动是物理上不可实现的， 因此这种测地不完备性在奇点研究中不如其它两种测地不完备性那样受重视。
7. 这个例子比较平凡， 一个更复杂的例子是所谓的 Taub-NUT 空间， 它具有 R¹×S³ 拓扑结构， 曲率张量处处有界， 但同样是测地不完备的 (类时与类光都不完备)。
8. 这个例子比较特设， 一个更具物理意义的例子是 Reissner-Nordström 解， 它描述的是带质量及电荷的球对称时空， Reissner-Nordström 解具有类光测地完备性， 但不具有类时测地不完备性。

二零零六年四月二日写于纽约
二零零六年四月二日发表于本站
二零一三年四月三日最新修订
https://www.changhai.org/

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