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奇点与奇点定理简介 (二)

- 卢昌海 -

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二. Raychaudhuri 方程

在 上一节 中我们对广义相对论中的奇点作了定义。 这样定义的奇点究竟会在什么条件下出现？ 它是否如某些物理学家猜测的那样来源于对称性？ 这些都是奇点定理所要回答的问题。

由于我们对奇点的定义是建立在测地不完备性之上的， 因此为了研究奇点产生的条件， 很自然的做法就是对测地线的性质进行研究。 我们用 V 表示测地线的切矢量， 对于类时测地线来说， V 满足两个条件： V^aV_a=1 (归一化条件) 及 V^aV^b_;a=0 (自平移条件， 其中 “;” 为协变导数)。 我们效仿线性代数中引进投影算符的做法， 引进一个辅助张量 h_ab=g_ab—V_aV_b。 不难证明 (请读者自行验证)， h^a_b 是与 V 相垂直的子空间上的投影算符， 因此 h_ab 有时被称为时空度规 g_ab 的 “空间部分” (请读者想一想， 这里所说的 “空间” 是什么含义？)。

我们知道， 时空曲率的存在会导致沿相邻测地线运动的试验粒子之间的距离发生变化， 这是所谓的测地偏离 (geodesic deviation) 效应， 它是引力相互作用的一种体现。 我们对测地线性质的研究也从这个角度入手， 考察一个测地线束中的测地偏离效应。 对一个测地线束来说， 如果我们用与切矢量 V 相垂直的基矢 S 表示测地偏离矢量， 则两者——作为矢量场——的对易子 [S, V]=0， 即 (请读者自行证明)： dS^a/dτ ≡ V^bS^a_;b = V^a_;bS^b (其中 τ 为固有时间)。 这表明， V^a_;b 描述了测地偏离矢量沿测地线的变化。 如果我们把沿测地线束运动的一群粒子看成一种类似于连续介质的东西， 那么 V^a_;b 描述的就是这一连续介质的形变。 由于这种形变是纯 “空间” 的 (请读者想一想这是什么含义？ 并且予以证明)， 因此我们可以仿照连续介质力学的做法， 用前面定义的时空度规的 “空间部分” h_ab 将这种形变分解为 (请读者加以验证)：

其中 θ， σ_ab 及 ω_ab 分别定义为：

这里 V_(a;b) 与 V_[a;b] 分别为 V_a;b 的对称与反对称部分。 上面这三项均有明确的物理意义： θ 被称为膨胀标量 (expansion scalar)， 是 V_a;b 的迹， 描述的是测地线束会聚或发散的趋势； σ_ab 被称为切变张量 (shear tensor)， 是 V_a;b 的无迹对称部分， 描述的是测地线束的空间截面在体积不变 (由无迹条件所保证) 的情况下产生形变的趋势； ω_ab 被称为涡旋张量 (vorticity tensor)， 是 V_a;b 的反对称部分， 描述的是测地线束在空间截面形状不变的情况下相互缠绕的趋势^[注一]。 这其中描述测地线束会聚或发散的膨胀标量 θ 对于奇点定理的讨论有着特别重要的意义， 因此我们将着重对它进行研究。

为了研究 θ， 我们注意到从物理上讲， 影响 θ 的因素是时空曲率 (或者说物质分布——两者通过 Einstein 场方程彼此联系)。 因此我们从曲率张量的定义式 V^a_;bc — V^a_;cb = R^a_dbcV^d 出发^[注二]。 将这一表达式对指标 a 和 b 进行缩并， 与 V^c 取内积， 并利用 V_a;b 的分解式及类时切向量 V 的性质， 便可证明 θ 沿测地线的变化为：

其中 τ 为固有时间。 这个方程被称为 Raychaudhuri 方程 (Raychaudhuri equation) ^[注三]， 是印度物理学家 Amal Raychaudhuri (1923-2005) 与俄国物理学家 Lev Landau (1908-1968) 彼此独立地提出的。 Raychaudhuri 方程的提出恰好是在 Einstein 逝世的那一年 (1955 年)， 它与能量条件的结合将成为证明奇点定理的重要环节。

三. 测地线束与共轭点

在 Raychaudhuri 方程中， 如果所考虑的测地线束局部正比于某个梯度场， 或者说垂直于某个超曲面， 则称该线束是超曲面垂直 (hypersurface orthogonal) 的。 可以证明， 对于这样的测地线束来说， 涡旋张量 ω_ab 为零， 从而 Raychaudhuri 方程可以简化为：

由于 σ_abσ^ab 总是非负的， 因此从这个方程中我们可以得到：

如果进一步假定强能量条件成立， 即 R_abV^aV^b 处处非负， 则上述不等式可以进一步简化为：

对这个不等式进行积分可得：

其中 θ₀=θ(τ₀)。 从这个不等式我们可以得到一个重要的推论， 那就是倘若 θ₀<0， 即线束在 τ=τ₀ 时出现会聚效应， 则 θ 会在有限固有时间 τ—τ₀≤3/|θ₀| 内趋于负无穷。 可以证明， 这意味着测地线束在该处会聚为一点， 或者说测地偏离矢量场——也称为 Jacobi 场 (Jacobi field)——在该处为零。 如果一个从 p 点发出的非平凡 (即各测地线不处处重合， 或者说 Jacobi 场不处处为零) 的类时测地线束在 q 点会聚， 我们就把 q 和 p 称为该测地线束上 (即其中每一条测地线上) 的一对共轭点 (conjugate points)。 从上面的分析中我们看到， 如果从 p 点发出的一个类时测地线束在未来某一点上出现会聚效应 θ<0， 则在该线束上距离 p 有限远的地方必定存在一个与 p 共轭的点 q——当然， 这里我们要假定该测地线束可以延伸到 q 点。

显然， 在一个测地完备时空中， “测地线束可以延伸到 q 点” 这一假定是自动满足的。 因此， 对于测地完备时空来说， 上面这个结果是所有类时测地线都满足的普遍性质。 进一步的分析表明， 上述结果所要求的条件， 即测地线束在 “某一点上出现会聚效应 θ<0”， 可以转化为一个有关曲率张量的条件。 事实上， 由 2.3.1 式和 2.3.4 式可以看到， 即便在 σ_abσ^ab 与 R_abV^aV^b 处处为零 (此时 2.3.4 式取等号形式)， 且 θ₀>0 这一对于形成 θ<0 来说最为不利的条件下， θ 仍将在 τ→∞ 时趋于零 (即几乎就要形成 θ<0 这一结果)。 这使人想到， 上述最为不利的条件只要在某一点上 (从而由连续性条件可知在该点的一个邻域内) 被破坏， 比如 R_abV^aV^b>0 在某一点上成立， 就足可造成当 τ 足够大时 θ<0。 可以证明， 事实的确如此。 因此 “某一点上出现会聚效应 θ<0” 这一条件可以转化为某一点上 R_abV^aV^b>0。 如果我们进一步把 σ_abσ^ab 所起的作用也考虑进去， 这一条件还可以继续减弱， 最终可以得到这样一个结果： 在一个测地完备的时空中， 如果强能量条件成立， 并且在每条类时测地线上至少有一个点使得 R_abcdV^bV^d≠0， 则所有类时测地线上都存在共轭点对， 简称共轭对。

从物理意义上讲， 每条类时测地线上至少有一个点使得 R_abcdV^bV^d≠0， 意味着每条类时测地线都至少会在一个时空点上遇到由物质分布或引力波所造成的某种测地偏离效应。 这一条件——称为类时一般性条件 (timelike generic condition)——在理论上可以被一些非常特殊的情形， 比如曲率张量与测地线切矢量形成特殊分量匹配的情形， 所违反。 但对于具有现实物理意义的情形来说， 由于物质及引力波的分布往往足够弥散及随机， 类时一般性条件被认为是得到满足的。

上面这些结果都是针对类时测地线的。 不过可以证明， 除了一些不影响定性结果的差异 (比如固有时间 τ 变成仿射参数 λ， Raychaudhuri 方程中的数值因子 1/3 因垂直子空间维数的改变而变成 1/2， 等) 外， 类光测地线也具有类似性质。 类光测地线所满足的一般性条件为： 每条类光测地线上至少有一个点使得 k_[eR_a]bc[dk_f]k^bk^c ≠ 0。 这个条件被称为类光一般性条件 (null generic condition)^[注四]。 类时与类光一般性条件统称为一般性条件^[注五]。 把类时与类光情形合在一起， 我们前面所介绍的结果可以重新表述为： 在一个测地完备的时空中， 如果强能量条件与一般性条件成立， 则每条非类空测地线上都存在共轭对^[注六]。 这是一个不依赖于对称性的普遍结果， 它对于奇点定理的证明及确立奇点定理的普适性都有极其重要的作用。

细心的读者可能还记得， 在上述结果的证明伊始， 我们曾经作过一个假设， 即所考虑的测地线束是超曲面垂直的。 这个假定保证了 ω_ab=0， 从而消除了 Raychaudhuri 方程中与其它各项符号相反——因而会对我们的证明造成极大干扰——的 ω_abω^ab 项 (请读者想一下， 这一项的符号与其它各项相反的物理意义是什么？)。 那么这个假设具有多大的普遍性呢？ 或者说， 这个假设是否会使上述结果——进而使整个奇点定理的证明——失去应有的普遍性呢？ 答案是否定的， 因为在数学上可以证明， 经过某一时空点的类时测地线束必定在该点的某个凸邻域内具有超曲面垂直性， 因此 ω_ab 在该邻域内必定为零。 不仅如此， 通过一个与 Raychaudhuri 方程类似的描述 ω_ab 沿测地线变化的方程可以证明， ω_ab 沿一条测地线只要在某一点上为零， 就沿该测地线处处为零。 因此， 假定测地线束为超曲面垂直不会有损结果的普遍性。

综合上述分析， 我们看到， 在一个具有适当物质分布的测地完备时空中共轭点的存在是普遍现象。 假如有一个适当的物质粒子群沿某个非类空测地线束运动， 那么当它们运动到共轭点上时， 由于测地线的会聚， 粒子的数密度 (以及质量密度) 将趋于发散， 从而形成一个奇点。 Raychaudhuri 发表于 1955 年的原始论文就涉及了这样的情形^[注七]。 不过， 在一般情况下显然并没有理由假定存在那样的物质粒子群， 因此共轭点的存在只是一个抽象的几何结果， 不会直接导致奇点， 上述结果也不足以作为奇点存在性的证明 (如果一定要算证明的话， 只能算是非常弱的证明， 因为它所要求的条件太过特殊)。 但是， 这一结果为十年后 Penrose 等人的工作奠定了基础， 是证明奇点定理的第一步。 这一步所侧重的是引力理论中的动力学因素， 强能量条件的引进是这种因素的体现。

在 下一节 中我们将会看到， 当我们把有关测地线的上述结果与看似风马牛不相及的时空的因果性质结合起来时， 奇点在广义相对论中的出现就变得几乎不可避免了。

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注释

1. 文献中对这一张量的称呼很多， 除 “涡旋” 外， 常见的叫法还有 “扭变” (twist) 与 “旋转” (rotation)。
2. 确切地讲， 这是将曲率张量的定义用于测地切矢量场所得到的关系式。
3. 需要提醒读者注意的是， 这里介绍的只是 Raychaudhuri 方程应用于测地切矢量场的特例， 一般情况下 Raychaudhuri 方程的适用范围并不限于测地切矢量场。 另外， 对抽象记号感兴趣的读者可以试着将我们所介绍的 Raychaudhuri 方程改写成一个不变形式： V(trK)+tr(K²)+Ric(V,V)=0， 其中 V 为测地线的切矢量场， K=grad(V)， Ric 表示 Ricci 张量场。
4. 类时一般性条件也可以表示成这一形式， 因此有些文献对两类一般性条件统一使用这一形式。
5. 从某种意义上讲， 一般性条件也是对物质分布的间接限定。 这种限定不同于我们在 能量条件简介 的 第二节中介绍的那些能量条件， 因为平直时空满足所有那些能量条件， 却不满足一般性条件。 有鉴于此， 有些文献把一般性条件通俗地表述为 “时空中存在物质”。 不过要注意的是： 由于一般性条件涉及的是曲率张量而不是 Ricci 张量， 因此不能被简单地约化为对物质能量动量张量的直接限制。
6. 在某些文献中， 强能量条件与一般性条件被合称为一般能量条件 (generic energy condition)。
7. Raychaudhuri 当时研究的是非旋转尘埃物质的运动。 在 Raychaudhuri 之前， 奥地利逻辑学家 Kurt Gödel (1906-1978) 在 1949 年发表的有关 Gödel 解的著名论文中率先用到了一些在奇点定理的证明中有着重要作用的技巧及思路。 这些工作都是奇点定理的先声。

二零零六年五月十六日写于纽约
二零零六年五月二十四日发表于本站
二零一三年四月四日最新修订
https://www.changhai.org/

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