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虫洞物理学简介 (三)
- 卢昌海 -
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四. 奇异物质——负能量的挑战
在 上节 中， 我们得到了一个很可能适用于所有可穿越虫洞的普遍结论，
那就是可穿越虫洞的物质分布 (即物质能量动量张量的分布) 会破坏零能量条件 (从而也破坏弱能量条件、
强能量条件和主能量条件)。 物理学家们把那样的物质称为
“奇异物质” (exotic matter)[注一]。
很明显， 奇异物质之所以 “奇异”， 就在于零能量条件遭到了破坏。 但是， 零能量条件的破坏本身到底又 “奇异”
在哪里呢？ 对普通读者来说恐怕不是一清二楚的， 因为能量条件哪怕对于物理专业的人来说， 也并不属于
“日常用语”。 在本节中， 我们首先要做的， 就是将零能量条件的破坏具体化， 将它与物理专业乃至普通人的
“日常用语” 联系起来， 以显示其 “奇异” 之所在。
我们知道 (参阅 能量条件简介 的
第二节)， 零能量条件要求对于任何一个主压强
p， ρ + p ≥ 0。 因此， 零能量条件的破坏意味着起码对于某个主压强 p， ρ + p < 0。
为了显示这一条件的物理实质， 让我们引进一个沿 p 所代表的主方向以速度 v 运动的惯性系 Σ。
由能量动量张量 Tab = diag(ρ, p) (这里我们略去了对当前计算没有影响的两个空间维度)
的 Lorentz 变换可以得到 Σ 系中的能量密度为 (感兴趣的读者请自行计算一下)：
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ρ' = T00' =
TabΛa0Λb0 =
γ2(ρ + p) — p
|
(5.4.1) |
其中 Λ 为 Lorentz 变换矩阵， γ = (1 — v2)—1/2 是 Lorentz 因子
(Lorentz factor)。 由于 ρ + p < 0， 而 γ 可以任意大 (只要速度足够接近光速)，
因此总可以选择惯性系 Σ， 使得 ρ' < 0， 即总可以选择惯性系 Σ，
使得其中观测到的能量密度小于零！ 这种负能量密度就是零能量条件的破坏所具有的 “奇异” 性质。 由于这一性质，
奇异物质也被称为负能量物质。
如果说得更浅白一点的话， 那么奇异物质之所以 “奇异”， 是因为在物理学中， 能量的零点是用真空来定义的。
相对于这一零点， 任何其它状态 (即有物质的状态) 都具有正能量， 物质越多， 能量就越高； 物质越少，
能量则越低。 依照这样的定义， 负能量作为比零能量更低的能量， 意味着比号称一无所有的真空具有 “更少”
的物质， 这在经典物理学中是不可思议的， 甚至近乎于语义上矛盾的说法。
假如这种 “不可思议” 或 “语义上矛盾的说法” 就是故事的终点， 那么通过虫洞进行星际旅行或所谓 “可穿越虫洞”
的美丽设想也就可以算走到终点了。 幸运的是， 这种 “不可思议” 或 “矛盾” 来自于真空 “一无所有”
这样一个经典物理学的观念， 而我们知道， 经典物理学并不是物理学的终点， 在它之后还有所谓的量子理论。
量子理论的出现修正甚至颠覆了许多经典物理学的观念。 那么， 使负能量陷入困境的真空 “一无所有”
的观念是否也在此列呢？ 答案是肯定的， 因为量子理论的发展彻底改变了我们对真空的理解。
在量子理论中， 真空所表示的乃是量子场的基态， 它与其它状态 (即有物质的状态) 的区别，
远没有像经典物理学中的 “无” 和 “有” 的区别那样截然。 从某种意义上讲，
量子理论中真空与其它状态的区别， 不过是量子场能级的 “低” 和 “高” 之间的区别而已， 定量多过定性。
真空在量子理论中不仅像其它状态一样有自己的结构， 而且还是高度动态的， 随时可以有虚粒子对的产生和湮灭。
在这种全新的、 不再 “一无所有” 的真空下， 负能量至少从概念层面上讲不再是不可思议，
更不是语义上矛盾的了。
当然， 这只是为负能量扫清了概念障碍，
而并不足以确立它的实际存在。 负能量的实际存在——如果可以确立的话——必须诉诸实验，
最低限度——假如实验一时无法实现的话——也需要有更具体、 更直接的理论支持。
这是负能量对虫洞物理学的基本挑战。 幸运的是， 这种挑战得到了很正面的回应。
经过理论物理学家与实验物理学家长期而共同的努力， 理论支持与实验确立先后得以实现。
我们先来看看理论支持。 既然量子理论的真空是有结构的， 那么不难想象， 这种结构与几乎所有其它物理体系的结构一样，
会受边界条件的影响。 这就启示我们考虑特定边界条件下的真空， 假如那种真空的能量比 “普通”
(即边界可以忽略的) 真空具有更低的能量， 那么就可以被视为是一种负能量。 沿这一思路的最著名的结果，
是荷兰物理学家 Hendrik Casimir (1909-2000) 提出， 并以他名字命名的 Casimir 效应 (Casimir effect)。
1948 年， Casimir 发表了一篇题为 “论两块理想导体板之间的吸引” (On the attraction between two perfectly
conducting plates) 的论文， 对两块相互平行的理想导体板——以下将简称为平行导体板——之间的真空能量面密度
(即单位面积导体板之间空间内的总真空能量) 进行了计算。 结果表明， 那能量面密度确实是负的！ 更重要的是，
那能量面密度与平行导体板的间距有关 (这是可以预料的， 因为当间距趋于无穷时，
因边界条件而产生的能量面密度必须消失)， 从而意味着平行导体板之间会因这种能量的存在而产生一种相互作用力。
这种相互作用力被称为 Casimir 力 (Casimir force)， 它的存在为从实验上检验 Casimir 效应提供了直接途径。
平行导体板情形下 Casimir 效应的计算并不复杂，
只不过是对有边界条件和没有边界条件下的量子场基态能量， 即所谓的零点能 (zero-point energy)， 进行比较而已，
并且已被一些标准量子场论教材所收录， 就不在这里重复了[注二]。
不过， 直接把结果罗列出来又显得太偷懒， 因此我们决定采取 “中庸之道”， 介绍一种很有用的半定量方法：
量纲分析法 (dimensional analysis)， 用它来给出计算结果的主要部分。
众所周知， 理论物理所用的方法几乎清一色是数学方法， 如果一定要从中找出一些具有 “物理特色”
的方法的话， 那么量纲分析法或许就是其中之一。 这一方法虽然也披着简单的数学外衣，
但其核心是属于物理的， 因为量纲是物理量特有的东西。 量纲分析法主要由两个步骤组成：
- 通过对物理意义的分析， 列出结果有可能依赖的所有物理量和物理常数。
- 通过对量纲的比较， 确定结果对那些物理量和物理常数的具体依赖关系。
通过这两个步骤， 运气好的话， 可以将结果确定到只差一个常数 (比例系数) 的程度。 平行导体板情形下的 Casimir
效应就是如此。
在 Casimir 效应的理论研究中， 我们通常假定平行导体板足够大，
从而导体板——作为二维客体——的边缘可以忽略[注三]。
在这种近似下， 结果 (即真空能量面密度) 所能依赖的物理量只有一个， 那就是平行导体板的间距，
我们用 d 来表示， 其余的就都是物理常数了。 由于导体板所施加的边界条件是针对电磁场的，
因此 Casimir 效应所涉及的量子场是电磁场， 零点能则是电磁场的零点能， 这种零点能只依赖于两个物理常数：
光速 c 和 Planck 常数 ħ[注四]。
因此， 平行导体板情形下 Casimir 效应中的真空能量面密度 U 只依赖于平行导体板的间距 d、 光速 c 和
Planck 常数 ħ， 即 U = f(d, c, ħ)。 这就完成了两个步骤中的第一个。
那么具体的依赖关系是什么呢？ 这就需要对量纲进行比较了。 为了简洁起见，
我们用 [X] 表示物理量或物理常数 X 的量纲， 用 M、 L 和 T 分别表示质量、 长度和时间的量纲， 则：
|
[U] = MT—2
[d] = L
[c] = LT—1
[ħ] = ML2T—1
|
(5.4.2) |
很明显， 唯一能让函数关系 U = f(d, c, ħ)
的左右两边具有相同量纲的函数形式是 (请读者自行证明)：
这就完成了第二个步骤。 可惜， 用量纲分析法无法得到比例系数 (这是该方法被称为 “半定量方法” 的原因所在)。
对零点能的具体计算表明， 比例系数为 —π2/720。 这样， 我们就得到了真空能量面密度的确切表示式，
即：
相应的体密度和能量动量张量则为：
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ρ = U/d = —π2ħc/720d4
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(5.4.5) |
和 (假定平行导体板的法向为 z 方向)[注五]：
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Tab =
—(π2ħc/720d4)diag(1, —1, —1, 3)
|
(5.4.6) |
由能量面密度， 立刻可以得到平行导体板之间沿法向的相互作用力的面密度 (即作用于单位面积导体板上的力) 为：
|
F = —∂U/∂d = —π2ħc/240d4
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(5.4.7) |
其中结果中的负号表示这种力是相互吸引的。
以上就是有关平行导体板情形下 Casimir 效应的主要结果。 在 Casimir 效应的研究中，
有一段小小的历史值得一提。 比针对平行导体板情形的研究稍早， Casimir 与荷兰物理学家
Dirk Polder (1919-2001) 曾合作发表过一篇论文， 以类似于推导分子间 van der Waals 力
(van der Waals force) 的方法， 在大距离极限下， 对理想导体板与单个的原子或分子，
以及原子或分子彼此之间的相互作用进行了研究。 那项研究通常被视为是研究 Casimir 效应的先导，
它所采用的方法也被视为是对 Casimir 效应的另一种理解[注六]。
在那项先导研究的进行期间， Casimir 有一次访问哥本哈根 (Copenhagen)
时遇到了著名丹麦物理学家 Niels Bohr (1885-1962)。 玻尔问了一句物理学家们见面时的
“标准问候”： 你最近在研究什么？ Casimir 就将他与 Polder 正在进行的研究告诉了 Bohr，
并表示自己希望能用更简单、 更优美的方法来进行推导。 玻尔思考了一下， 然后——依照 Casimir
的回忆——嘟哝了一句： “肯定跟零点能有点关系”。 姜不愧是老的辣！ 这句 “嘟哝语” 给了 Casimir 极大的启示，
使他很快通过对零点能的计算， 完成了平行导体板这一新情形的独立研究 (即得到了我们上面介绍的若干结果)。
这一研究因避免了原先依赖的大距离极限， 而——如我们很快将会看到的——大大增加了实验验证的可能性。
Casimir 效应是一种非常微小的量子效应 (这并不奇怪， 量子效应本就是以微小著称的)。
从上面的公式中可以很容易地计算出有关物理量的数值 (当然，
一切都是跟平行导体板的间距有关的)。 比如能量密度 ρ——由 5.4.5 式可知——约为：
|
ρ = —4.3×10—28/d4
|
(5.4.8) |
这里所有的物理量都采用了国际单位制 (SI) 中的单位， 即能量密度 ρ 以焦耳每立方米 (J/m3) 为单位，
平行导体板的间距 d 以米 (m) 为单位。 如果用质能关系式将能量密度折合成质量密度， 则约为：
|
ρ = —4.8×10—45/d4
|
(5.4.9) |
其中质量密度 ρ 以千克每立方米 (kg/m3) 为单位。 这无疑是非常微小的密度。 类似地，
Casimir 力的面密度也非常微弱， 由 5.4.7 式可知， 约为：
|
F = —1.3×10—27/d4
|
(5.4.10) |
其中面密度 F 以牛顿每平方米 (N/m2) 为单位。
接下来简单提一下 Casimir 效应的实验确立。 前面说过， Casimir 力的存在为从实验上检验
Casimir 效应提供了直接途径。 但是途径虽然有了， 测量由 5.4.10
式所表示的那么微小的力对实验物理学家来说依然是极大的挑战。 唯一有利的，
是这种力反比于平行导体板间距的四次方， 从而可以通过缩小平行导体板的间距而得到非常显著的 “放大”，
这堪称是实验验证中一个最重要的努力方向 (前面提到的因避免大距离极限而大大增加实验验证的可能性， 原因正在于此)。
比如平行导体板的间距若能缩小到微米 (μm) 量级， 力密度就可以增加到千分之一牛顿每平方米的量级。
只不过， 让两块导体板靠得如此之近而又互不接触绝非易事， 通常只有对很小的导体板才能做到。
而导体板越小， 作用在导体板上的力的总量也将变得越小， 从而又反过来增加了检测难度。
不过幸运的是， Casimir 效应并不局限于平行导体板， 而早已被理论物理学家们推广到了各种更复杂的情形，
比如针对其它形状、 非理想导体板， 电介质板、 有限温度， 等等， 为实验研究提供了多种选择。
那些更复杂的情形由于偏离理想条件而使得理论计算更为复杂，
但对于实验验证来说， 却因为所要求的条件不那么苛刻， 而变得更容易实现。
唯一不变的是， 无论哪种情形下的 Casimir 效应都是非常微小的。
因此， 对 Casimir 效应的实验研究虽然从 1950 年代起就陆续有人在做， 却直到 1990 年代后期，
才开始有了较高精度的验证[注七]。
除 Casimir 效应外， 还有一些其它量子效应也能在某些特定区域产生负能量。 因此， 奇异物质的存在是毋庸置疑的，
这对于可穿越虫洞来说无疑是 “利好消息”。 只不过， 这个 “利好消息” 是否真能让我们 “获利”， 却是大为可疑的。
因为所有那些 (源于量子效应的) 负能量都是非常微小的， 而且全都依赖于非常特殊的环境条件的配置才会出现，
从而完全不像普通物质那样可以被随心所欲地、 独立于其它物体地移动， 并建造我们所需要的结构。
从这个意义上讲， 奇异物质的 “奇异” 虽是货真价实的， 能否对得住 “物质” 这一 “光荣称号” 却大可商榷。
起码， 它远没有普通物质那样的独立性。 奇异物质的存在离不开以特殊方式配置起来的环境条件，
它的移动也必须伴随环境条件的变更， 就像垂危病人的移动必须伴随着医疗器械的移动一样。
而那些无可或缺的环境条件——它们都是由普通物质构成的——完全有可能对奇异物质的 “效用” (主要是引力效应)
产生重大干扰， 甚至彻底地抵消和淹没之[注八]。
因此， 负能量 (或奇异物质——如果我们依然愿意这么称呼它的话) 虽然确实是存在的，
它能否被用来构筑可穿越虫洞， 却是一个很大的未知数——而且恐怕是极不容乐观的未知数。
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二零一三年二月九日写于纽约
二零一三年二月十日发表于本站
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